新定義“便利點”，上下兩乾坤

這是一道比較特別的新定義壓軸題，源于某次九年級上學期期中考試，背景材料給得十分接地氣，可望文生義，便利點，自然是讓人們覺得便利的點。從某種意義上講，這也屬于數學綜合與實踐的范疇，將新定義納入到綜合與實踐版塊，非常有新意，值得進一步深入研究。

在我們學習幾何圖形的性質或函數圖象的性質時，研究過不少類似動態圖形的問題，當圖形位置不同，相應的性質也會有變化，能否準確理解這種變化，取決于對圖形概念或函數概念的理解，學會用已有數學概念去解讀新定義，運用新定義，正對應新課標中“三會”，對學生的數學素養提出了較高要求。

題目

某郊區公園設計了賞花步道和書畫展覽，吸引了大量市民和游客爭相“打卡”留念。已知賞花步道與公園主干道之間是一片開闊的休閑廣場，計劃在賞花步道與公園主干道之間設計一條美食街（美食街寬度忽略不計），使得美食街上的每一個攤位到賞花步道與到展覽館的距離相等。為了便于設計，在地圖上建立如圖平面直角坐標系，賞花步道所在直線為y=4，公園主干道所在直線為y=-8，展覽館坐標為（0，-4），設美食街攤位N（x，y）。

（1）若攤位在格點處，寫出符合條件的兩個攤位坐標_________________；

（2）求y與x之間的關系式，并在圖中畫出美食街；

（3）對于休閑廣場上的某一點M，記點M到美食街上某點N的距離，與點N到展覽館的距離之和的最小值為l，若8≤l≤10，則稱點M為便利點.

為了滿足市民游客的露營需求，公園打算設置一片長方形的露營地，記為矩形ABCD，其中點A（a，-4），B（a+4，-4），C（a+4，-6），D（a，-6），當露營地上的任意一點都是便利點時，直接寫出a的取值范圍.

解析：

01

(1)根據“使得美食街上的每一個攤位到賞花步道與到展覽館的距離相等”的要求，我們用數學語言重新描述，在直線y=4和y=-8之間，找到點N，點N到展覽館(點P)的距離等于它到直線y=4的距離；

然后分別表示出點N到直線y=4的距離，這相對容易，為4-y，然后表示點N到點P的距離，這利用兩點距離公式可得，為√x2+(y+4)2，推導如下：

顯然這是一條拋物線，攤位在格點處，意味著只要在拋物線上找整數點(橫縱坐標均為整數的點)即可，例如(0,0)，(4,-1)；

02

(2)我們在前面的推導中已經得到了y與x之間的關系式，但要注意自變量取值范圍，題目來自真實情境，休閑廣場是有范圍的，因此畫拋物線圖象的時候，要有邊界，如下圖：

圖中的點P為展覽館，拋物線上的每一個點N到點P的距離都等于點N到直線y=4的距離，這不禁令人想到拋物線的焦點和準線，這是后話，暫且不提；

03

(3)現在整個休閑廣場被美食街(函數y=-1/16x2圖象)分成了上下兩個部分，因此某一點M，自然也要分兩種情況探究；

①當點M位于拋物線上方時

我們連接MP之后，在△MPN中，利用兩邊之和大于第三邊，可知MN+PN>MP，當這三點共線時，取最小值，即l=MP；

②當點M位于拋物線下方時

分別過點M、N向直線y=4作垂線，垂足分別為F、E，由前面條件可知PN=EN，因此MN+PN=MN+EN，根據垂線段最短，可知MN+EN

我們可以用更通俗的解讀：當點M位于拋物線上方時，距離和l最小值就是線段MP的長度；當點M位于拋物線下方時，距離和l最小值就是垂線段MF的長度；

然后我們作出矩形ABCD，如下圖：

我們先考慮其中一種情況，矩形ABCD有一部分在拋物線上方，另一部分在拋物線下方：

在拋物線上方的部分(矩形左邊紅色區域)，根據前面理解的距離和l的最小值為區域中任意點到點P的距離，我們將距離最遠的點D與點P連接，只要DP≤10即可，距離最近的點H坐標可以求出來，H(-8,-4)，它到點P距離恰好等于8；

當DP=10，即DP2=100，則a2+(-6+4)2=100，我們取負值，解得a=-4√6；

在拋物線下方的部分(矩形右邊空白部分)，根據前面理解的距離和l的最小值為區域中任意點到直線y=4的距離，區域內點縱坐標最大值-4，最小值-6，因此到直線y=4的距離最大值為10，最小值為8，符合便利點定義，即矩形位于拋物線下方的部分全都是便利點；

因此我們只需要考慮矩形在拋物線上方的部分，并且只需要找到矩形上距離點P最遠的頂點即可，所以當矩形ABCD位于拋物線右側時，同理可證，如下圖：

同樣我們只用考慮CP≤10即可，

CP2=100，則(a+4)2+(-6+4)2=100，我們取正值，解得a=-4+4√6；

綜上，-4√6≤a≤-4+4√6.

解題思考

先借助真實情景構造出拋物線，這段描述本質上是源自于人教版高中數學選擇性必修第一冊130頁，對拋物線的規范定義，如下圖：

如果學生在讀懂題意之后，用它去理解后面的便利點概念，會輕松許多。

在新定義便利點描述中，距離和最小，讓我們想起八年級學習軸對稱時著名的“將軍飲馬”問題，那也是距離和問題，當時我們是將直線同側的兩個點通過軸對稱，變成直線異側兩點，因此“兩點之間，線段最短”，在本題中，我們同樣將兩條線段和轉化成了某條線段，所利用的依據除前面的公理之外，還有一個“垂線段最短”，這都是學生所熟知的公理；

便利點的新穎之處，就在于以拋物線為界，上下有別，呈現兩種完全不同的性質，從而導致距離和的計算方法不同，在矩形運動過程中，當矩形在拋物線下方時，所有點都滿足條件8≤l≤10，這是解題關鍵；

學生在實際解題中，困惑于“露營地上的任意一點都是便利點”，因為便利點本身需要判斷一次最值，而任意一點又需要學生從圖形通性上去尋找，思維難度較高；而本題對于學霸是十分友好的，前面的推導幾乎可以在腦中瞬間完成，外在表現就是秒殺了。