數(shù)學(xué)不好，真的不能成為數(shù)學(xué)家嗎？數(shù)學(xué)思維到底是什么？數(shù)學(xué)要如何應(yīng)用到我們的生活中呢？等等諸如此類的問(wèn)題，一直困擾著我們，也同樣曾經(jīng)困擾著蘇珊·達(dá)戈斯蒂諾（Susan D’Agostino）。

在《喚醒心中的數(shù)學(xué)家：幫你愛(ài)上數(shù)學(xué)的生活手賬》這本書里，作者用300余幅手繪插圖，46篇喚醒“數(shù)學(xué)力”的思考筆記，收獲數(shù)學(xué)與生活的啟示，帶你愛(ài)上思考與學(xué)習(xí)。

1

像沃羅諾伊圖一樣，朝著可行的方向成長(zhǎng)

糖楓、猴面包樹(shù)、銀杏、巨杉、龍血樹(shù)、日本楓樹(shù)、橡樹(shù)、垂柳和蘋果樹(shù)的樹(shù)冠截然不同，但都很美觀。一棵樹(shù)可以比它周遭的樹(shù)木長(zhǎng)得更高，將其枝丫延伸到更遠(yuǎn)的地方。一些樹(shù)在森林中由落入土壤的種子自然生長(zhǎng)而成，而另一些則被種在果園里、人行道旁，或醫(yī)院候診室角落的花盆中。最初，大多數(shù)樹(shù)的樹(shù)冠可以不受方向的限制自由生長(zhǎng)，不用害怕碰到其他樹(shù)木或物體。但在成長(zhǎng)一段時(shí)間后，樹(shù)木必須適應(yīng)在生長(zhǎng)方向上的限制。也許一棵樹(shù)的樹(shù)冠被另一棵樹(shù)的樹(shù)冠遮擋了；對(duì)于一棵生長(zhǎng)在城市里的樹(shù)來(lái)說(shuō)，它也許被建筑邊緣或來(lái)往的卡車擋住了部分生長(zhǎng)的方向；即使是在室內(nèi)盆栽的無(wú)花果樹(shù)，有時(shí)也必須適應(yīng)它所處角落的墻壁。

如果樹(shù)木能夠感到灰心喪氣的話，那么在自己的樹(shù)枝碰到另一棵樹(shù)的樹(shù)枝、建筑邊緣、來(lái)往的卡車或身旁的墻壁的時(shí)候，它們也許就會(huì)賭氣不長(zhǎng)了。但樹(shù)木是不會(huì)灰心的。正相反，即使存在障礙，它們?nèi)阅苄廊粚Ｗ⒂谧晕页砷L(zhǎng)。換句話說(shuō)，它們或許會(huì)在碰到障礙的方向停止生長(zhǎng)，但在其他可行的方向上仍會(huì)繼續(xù)生長(zhǎng)。

生長(zhǎng)過(guò)程中的樹(shù)冠可以用數(shù)學(xué)中的沃羅諾伊圖來(lái)模擬。根據(jù)“樣點(diǎn)”將二維平面分割成被稱為“單元”的區(qū)域，就得到了沃羅諾伊圖。這些單元區(qū)域都用凸多邊形表示，凸多邊形是以直線段為邊、所有內(nèi)角均小于 180° 的多邊形。

“樣點(diǎn)”則由點(diǎn)來(lái)代表。沃羅諾伊圖可以描繪出森林中勻速生長(zhǎng)的樹(shù)木的鳥(niǎo)瞰圖：樣點(diǎn)是每棵樹(shù)干的中心點(diǎn)，而單元區(qū)域則是每個(gè)樹(shù)冠覆蓋的范圍。在以下四張插圖中，第四張圖就是根據(jù)第一張圖中種子的分布而得到的樹(shù)冠沃羅諾伊圖。

在沃羅諾伊圖中，距離一個(gè)單元內(nèi)的任何一個(gè)點(diǎn)最近的樣點(diǎn)永遠(yuǎn)是這個(gè)單元的樣點(diǎn)。沃羅諾伊圖中邊界線上的點(diǎn)則與相鄰單元的樣點(diǎn)等距。

沃羅諾伊圖的應(yīng)用并不限于林業(yè)。有些極為漂亮的沃羅諾伊圖就“藏”在眼皮底下，等待著你去注意。在某地農(nóng)場(chǎng)攤位上出售的蜂巢中，有序的六邊形可以用沃羅諾伊圖來(lái)建模，只要在圖中按規(guī)則放置樣點(diǎn)即可。長(zhǎng)頸鹿身上的斑紋和蜻蜓翅膀上細(xì)密的翅脈勾勒出的紋路都可以用沃羅諾伊圖來(lái)表示。那么，泥土干裂后由裂縫形成的不規(guī)則多邊形呢？對(duì)，那也是沃羅諾伊圖。

城市規(guī)劃者也會(huì)用沃羅諾伊圖來(lái)決定消防局和學(xué)校的服務(wù)區(qū)域。每處設(shè)施都是用來(lái)生成沃羅諾伊圖的樣點(diǎn)，生成的每個(gè)單元?jiǎng)t代表著可在最大程度上減少路上所需時(shí)間的最佳服務(wù)區(qū)域。也就是說(shuō)，每個(gè)服務(wù)區(qū)域（即單元）內(nèi)的居民或?qū)W生應(yīng)當(dāng)住得離自己所屬的消防局和學(xué)校（即他們所在單元的樣點(diǎn)）最近，比其他區(qū)域的消防局和學(xué)校更近。

在剛剛起步的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和人生道路上，你也許就像一棵還未受到任何阻礙的幼苗，可以無(wú)拘無(wú)束地生長(zhǎng)。但隨著時(shí)間推移，幼苗和你都可能會(huì)遇到諸多障礙，你們的成長(zhǎng)會(huì)因此受到威脅。當(dāng)你碰到這些其實(shí)人人都會(huì)遇到的障礙時(shí)，不要讓它阻擋你前進(jìn)，在其他可行的方向上繼續(xù)成長(zhǎng)吧！

2

終端速度：按自己的節(jié)奏前行

重力以約 9.8m/s2 的加速度將物體“拉”回地面。也就是說(shuō)，在真空環(huán)境里，無(wú)論一個(gè)正在墜落的物體有多重，它在空中每停留一秒，其下墜的速度就會(huì)增加 9.8m/s。比如說(shuō)，一個(gè)保齡球和一根羽毛在真空中的重力加速度是一樣的；但當(dāng)保齡球和羽毛在非真空的地球大氣中下墜時(shí)，它們就會(huì)受到空氣阻力。當(dāng)加速下墜時(shí)，它們會(huì)撞上空氣分子，加速度因此也變得不同。結(jié)果就是，在空氣中，保齡球要比羽毛下墜得更快。

每個(gè)下落物體都有一個(gè)速度。當(dāng)它受到的空氣阻力等于該物體的重力時(shí)，其下落速度就不變了。也就是說(shuō)，當(dāng)物體達(dá)到重力與空氣阻力平衡的狀態(tài)時(shí)，它也就不會(huì)再加速。當(dāng)物體以該速度恒速運(yùn)動(dòng)時(shí)，這一速度就被稱為該物體的“終端速度”。不同物體的終端速度各不相同。物體的重力讓它在下墜時(shí)對(duì)空氣產(chǎn)生作用力，而物體的面積決定其受到的空氣阻力——面積越大，阻力越大。

當(dāng)一個(gè)從空中下落的人打開(kāi)降落傘時(shí)，阻力增加，因此降低了終端速度。

無(wú)論是順利前進(jìn)還是遭受“阻力”，你和同齡人的速度都可能截然不同。以自己的節(jié)奏前進(jìn)！你的目標(biāo)應(yīng)該是找到屬于自己的“終端速度”——等待遇到的阻力與消耗的力量相等的那一刻吧！

3

毛球定理：放棄完美主義

數(shù)學(xué)家們經(jīng)常會(huì)說(shuō)：“你不可能完全撫平一個(gè)毛球。”這句話抓住了“毛球定理”的精髓——雖然這個(gè)名字有點(diǎn)兒滑稽，但它是一個(gè)真正的數(shù)學(xué)定理。想要理解毛球定理，你首先要了解數(shù)學(xué)家中那些被稱為拓?fù)鋵W(xué)家的人所說(shuō)的“球”是什么意思。凡是可以通過(guò)拉伸或收縮，且無(wú)須切割或黏合就可變?yōu)榍蛐蔚奈矬w，都被視為一個(gè)球。在腦海里想象一個(gè)用可塑性材料（如黏土）做的玩具牛（這個(gè)玩具牛沒(méi)有用來(lái)消化和排泄的消化系統(tǒng)），由于你可以通過(guò)拉伸或收縮，且無(wú)須切割或黏合就可以把這頭牛捏成球形，因此拓?fù)鋵W(xué)家會(huì)認(rèn)為它和球之間沒(méi)有區(qū)別。

但是，球和甜甜圈就不是等價(jià)的，因?yàn)槿绻辉谇蛏洗羵€(gè)洞，就無(wú)法得到甜甜圈的形狀。

接下來(lái)，你需要理解一個(gè)叫作“連續(xù)向量場(chǎng)”的數(shù)學(xué)構(gòu)造。你可以把一個(gè)向量理解為一個(gè)有特定長(zhǎng)度和方向的箭頭。以下都是不同的向量。

某一平面上（如紙面或球面）的向量場(chǎng)，是賦予那個(gè)平面上所有的點(diǎn)一個(gè)特定的向量。例如，下圖就是在一張矩形紙面上的向量場(chǎng)。

要注意的是，所有向量場(chǎng)擁有的向量數(shù)量比上面那張草圖里畫出來(lái)的多。換句話說(shuō)，向量場(chǎng)中每一個(gè)點(diǎn)都有它所對(duì)應(yīng)的向量。為了填補(bǔ)這張向量場(chǎng)草圖上的空白點(diǎn)，不妨想象（最好還是畫出來(lái)）其中有更多遵循已有規(guī)律的向量。比如，上面那張草圖所描述的向量場(chǎng)中還可以添加更多的向量。

如果一個(gè)向量場(chǎng)被稱為“連續(xù)的”，那就意味著你可以放大該向量場(chǎng)中的任意一個(gè)點(diǎn)，并且觀察到這里的所有向量都看起來(lái)方向一致。上圖所畫的向量場(chǎng)就是連續(xù)的。下面這張圖說(shuō)明，這個(gè)向量場(chǎng)里的 3 個(gè)點(diǎn)經(jīng)過(guò)檢查，成功地滿足了這個(gè)條件。當(dāng)然，要決定一個(gè)向量場(chǎng)是否連續(xù)，我們必須檢查向量場(chǎng)中的每一個(gè)點(diǎn)。

有時(shí)候，你會(huì)在一個(gè)向量場(chǎng)中看到一個(gè)不是箭頭的點(diǎn)。向量場(chǎng)中的點(diǎn)被稱為“零向量”，代表向量場(chǎng)中的“消失點(diǎn)”。向量場(chǎng)中的點(diǎn)常常能突出向量場(chǎng)的不連續(xù)性。在一個(gè)不連續(xù)的向量場(chǎng)中，存在著至少一個(gè)點(diǎn)——無(wú)論如何放大這個(gè)點(diǎn)，我們都不會(huì)看到所有向量指向同一方向。下頁(yè)是兩個(gè)不連續(xù)向量場(chǎng)的例子。

氣象學(xué)家經(jīng)常通過(guò)在地球模型表面放置描繪風(fēng)的箭頭來(lái)創(chuàng)建向量場(chǎng)：箭頭的方向表示風(fēng)向，箭頭的長(zhǎng)度表示風(fēng)速，長(zhǎng)箭頭表示強(qiáng)風(fēng)，短箭頭表示弱風(fēng)，沒(méi)有箭頭則表示無(wú)風(fēng)。

請(qǐng)記住，向量是直的，而球體的表面是彎曲的。因此，球面上的每一個(gè)向量與球面只有一個(gè)接觸點(diǎn)，即向量起始的那個(gè)點(diǎn)。

毛球定理說(shuō)的是，球面上不存在連續(xù)而又沒(méi)有消失點(diǎn)的向量場(chǎng)。換句話說(shuō)，如果球面上的每個(gè)點(diǎn)都被分配了非零向量，在放大球體時(shí)，不可能所有向量都看起來(lái)指向同一個(gè)方向。球體上的向量場(chǎng)某處總會(huì)存在著一個(gè)零向量。這個(gè)定理的名字的來(lái)源就是把球體想象成一個(gè)球，把向量想象成球上的毛。當(dāng)想要“撫平”毛球的時(shí)候，你會(huì)發(fā)現(xiàn)總是需要一個(gè)消失點(diǎn)。消失點(diǎn)上的毛會(huì)朝上豎立，遠(yuǎn)離球面。你無(wú)法把它“撫平”，也就是說(shuō)，你無(wú)法把毛梳回球面上，讓所有毛都順溜地貼在球面上。這類嘗試都會(huì)得到至少有一根毛仍然豎立著的結(jié)果。

當(dāng)用球面向量場(chǎng)來(lái)表示地球上的風(fēng)場(chǎng)時(shí)，毛球定理的意義在于，它表明地球上總有至少一個(gè)地方?jīng)]有風(fēng)。我們已經(jīng)知道，本章開(kāi)頭提到的玩具牛和球在拓?fù)鋵W(xué)家眼中沒(méi)有區(qū)別，因此你也可以把這個(gè)定理改寫為：“每頭（玩具）牛都有一根梳不平的亂毛。A”也就是說(shuō)，無(wú)論怎樣梳理玩具牛身上的毛，最后總會(huì)留下至少一根豎立著的毛。

對(duì)于我們這些憧憬完美的人來(lái)說(shuō)，一想到毛球撫不平，就會(huì)覺(jué)得有些不安。無(wú)論在數(shù)學(xué)研究還是在人生中，盡力而為往往就足夠了，甚至是令人滿意的。盡力做到最好，哪怕你的“最好”并不完美。

4

博弈論：盡可能合作

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，博弈論中所謂的“博弈”是一場(chǎng)決策者之間的策略互動(dòng)。讓我們看一個(gè)著名的博弈論例子：囚徒困境。在這個(gè)故事里，一個(gè)歹徒和同伙搶了銀行。搶完之后，歹徒把錢藏在了銀行門外的一個(gè)垃圾箱里，然后開(kāi)著車飛快地逃走了。在離銀行不遠(yuǎn)的地方，歹徒被抓住了，同伙也被抓了。他們被帶到警察局，關(guān)在不同的房間里。由于他們都持有槍械，兩個(gè)人可能都會(huì)被指控非法持有武器。盡管警察高度懷疑他們搶了銀行，但沒(méi)有足夠的證據(jù)在二人不認(rèn)罪的情況下進(jìn)行指控。當(dāng)歹徒和同伙被分開(kāi)關(guān)押的時(shí)候，二人都收到了以下條件。

● 如果歹徒和同伙都承認(rèn)搶了銀行，那二人將因非法持有武器和搶劫銀行入獄，但可以各自減刑到 2 年；

● 如果歹徒和同伙中只有一人承認(rèn)搶了銀行，那么承認(rèn)的人可以完全免于入獄，但未承認(rèn)的人將因非法持有武器和搶劫銀行服滿 3 年刑期；

● 如果歹徒和同伙都不承認(rèn)搶銀行，那么警方將沒(méi)有足夠證據(jù)起訴他們搶銀行的罪行。在這種情況下，二人將因非法持有武器而各服刑 1 年。

你可以把這些信息組織到一個(gè)圖表中。

假設(shè)兩人之間沒(méi)什么真感情，歹徒的唯一目標(biāo)是盡量減少自己的服刑時(shí)長(zhǎng)，那他會(huì)怎么做呢？是承認(rèn)，還是不承認(rèn)？

在二人不能交流的情況下，要考慮一下同伙可能采取的行動(dòng)。思考一下，如果同伙不承認(rèn)的話，會(huì)發(fā)生什么。

如果同伙不承認(rèn)，歹徒要么入獄 1 年（如果他也不承認(rèn)），要么不用服刑（如果他承認(rèn)）。因此，如果同伙不承認(rèn)，那么他最好的選擇是承認(rèn)。

下面來(lái)考慮一下如果同伙承認(rèn)了，會(huì)發(fā)生什么。

如果同伙承認(rèn)了，歹徒要么入獄 3 年（如果不承認(rèn)），要么入獄 2 年（如果也承認(rèn)）。因此，若是同伙承認(rèn)，那么歹徒最好的選擇是也承認(rèn)。

無(wú)論同伙選擇什么——不承認(rèn)或承認(rèn)——在不能和同伙商量的情況下，最佳選擇都是承認(rèn)。同樣想降低自己服刑時(shí)長(zhǎng)的同伙也會(huì)使用類似的邏輯。因此，同伙也會(huì)承認(rèn)。當(dāng)兩個(gè)人都承認(rèn)時(shí)，他們將各自入獄 2 年 A。囚徒困境有意思的地方在于，基于獨(dú)立個(gè)體決定的最終結(jié)果并不是最佳的整體結(jié)果。也就是說(shuō)，如果可以和同伙交流與合作的話，兩人會(huì)決定都不承認(rèn)，來(lái)獲得每人 1 年的刑期，而非 2 年。

囚徒困境是博弈論中的一個(gè)思想實(shí)驗(yàn)，但它在現(xiàn)實(shí)中也有應(yīng)用。換句話說(shuō)，在人際、商業(yè)或政治談判中，人、機(jī)構(gòu)和國(guó)家之間進(jìn)行合作是明智的選擇。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和生活中，合作之路與單打獨(dú)斗相比，可能會(huì)通往更好的結(jié)局。

《喚醒心中的數(shù)學(xué)家：幫你愛(ài)上數(shù)學(xué)的生活手賬》

作者：[美] 蘇珊·達(dá)戈斯蒂諾（Susan D'Agostino）

譯者：何婧譽(yù)