《哈代數論》學習與批判002

這篇文章講的是《哈代數論》第一章，第1.5節 關于素數的幾個問題。我就講這一節的內容，使用我的“自然數空間”的概念。我不能全部回答，也是試圖找可能的答案。

第一個問題

對于第n個素數Pn，是否有一般性的簡單公式？

我們還是使用自然數N+1空間，看下面表格

要回答這個問題必須首先搞清楚自然數（正整數）是什么？素數是如何產生的？合數是如何產生的？這些問題清楚了也就明白為什么沒有“素數的一般公式”了。

假設沒有我們宇宙時空，就是0，忽然不知道是什么原因出現了我們這個“宇宙空間”。這就是“無中生有”按一定規律產生我們這個宇宙的“自然規律”，就是某種我們不知道的程序，道家把它叫做“一”，也就是“萬物之始”。

從0到有，就是1之間也有無數的通道，也就是說這個1有許許多多的不同空間。

在數學的表述上就是“1”，1就是一個單位。我們可以使用“一維數軸”表示它，就是以1為單位，按順序通向無窮的遠方。我們每跨過一個就是增加了1，就是簡單的加法。人類使用“阿拉伯數字”這些位置，就是1、2、3……，使用十進位制。不過注意這些都是人為的，不是絕對的，而1的增加才是絕對的。

注意這個單位1也是多樣性的，可以伸向一維空間，二維空間（平面），三維空間（立體）和多維空間。我們使用最多的就是一維空間，數軸；二維空間（平面）和復數；三維空間。數學最基本的概念和基礎性的東西都在“一維空間”里。也就是說1和1^n，數值上相同，而本質上不同。就像平面上一條直線與一條曲線相交，這個交點數值相同，而本質不同。就是說直線上的點永遠不會等于曲線上的點，只能無限的接近。在物理的時空上就是不同的宇宙時空，不能相融合。自然數既可以表示“量”的大小，也是一個“秩序”號碼。

以上就是自然數產生的原因。

下面我們探討一下素數與合數產生的原因，我們的探討是在“一維空間數軸”上。

從0走到一維空間1的標志點上，我們極目眺望都是一個一個的格子，無窮無盡看不到頭。1就是一個素數。

我們再往前跨一步就是1+1，這里的標志是2，2是最小的素數。此時我們發現它與1（1K+0）有同樣的性質，就是用合數項公式可以表示成2K+1。2是素數，K實系數，取值1、2、3……。

比如，K=1時，N2=3 這里的值是項數，代入N+1=4。(看上面的表格)

我們注意到這些含2的合數N2（N≥2）也是通向遠方的，無窮無盡。所有含2的項數N-1(N≥4)都有2的因子。這些項數N上絕對不會出現素數了。

注意，使用“合數數列”與“合數項數列”有著本質的不同。合數項數列代表著在“自然數N+A空間里”，也就是上面的表格里。

從標志2上，我們再往前邁一步。此處就是標識3.這個3不在2的周期里，所以它必須是一個新的素數來占據這個位置。

3同樣也有一個“合數項數列”，就是3K+2。從項數N等于5開始，就是正整數6，含有3的合數伸向遠方。這些項數N上也不可能出現素數了。

從標識3再往前邁一步，來到標識4上。此處是2的倍數，不會有素數出現。

從標識4往前再邁一步，站在標識5上。此處不被2和3的周期覆蓋，它必須是一個新的素數。

從5再往前邁一步，我們來到6的標識上。此處被2、3的周期覆蓋，是一個合數。

如此推導下去……，無窮無盡。

這樣我們就會有無窮多的合數項數列，

1K+0

2K+1

3K+2

5K+4

7K+6……

第一個數字是素數，我們用S表示，第二個字母是系數，取值是1、2、3……

尾數是數表中的項數。這個很重要，說明不論是合數還是素數，全部正整數都有自己固定的位置。素數的出現也不是隨機的，不是概率事件，它也有自己的項數N相對應。

這樣我們就有了一個“合數項方程”，

Nh=a(b+1)+b ，其中ab都是項數。

從上面的分析我們可以得出結論：

對于第n個素數Pn，沒有一般性的簡單公式。

雖然沒有簡單的一般公式，但是我們可以得到一個“相對的素數公式”，即

Hs = N- Nh (相對的素數公式)

給定某一項數N，或給定某一項數區間（N″-N′），我們可以求出里面的全部合數項，然后減去N，剩下的就是素數項，分別代入數列N+1就是全部素數。

書中第二個問題不用回答了。

書中第三個問題也沒有他需要的法則。

第四個問題

小于一個給定的數x的素數有多少個？

這個問題我們好回答。使用合數項公式Nh=a(b+1)+b 就能解決。

把x看成項數N就行了。

以上四個問題都回答了，不過有一個問題我還在思考。

雖然沒有素數公式，但是素數的出現還是有一定的規律的。比如“孿生素數對”的出現它是有自己的條件的，那就是合數最小的周期是2。存在著一個“素數空位”的概念，這些空位不一定連續出現，但是對于無窮多的自然數來講它們是注定出現的。

素數出現會有各種各樣的形式，但是需要什么條件是探索的問題。比如（p，p+2，p+6） 、（p，p+4，p+6）等等。

甚至比這些還要多，還要復雜。

2025年1月21日星期二