關(guān)鍵詞：動力系統(tǒng)，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，Koopman算子，譜性質(zhì)分析

論文題目：Dynamical systems and complex networks: a Koopman operator perspective 論文地址：https://iopscience.iop.org/article/10.1088/2632-072X/ad9e60 期刊名稱：Journal of Physics: Complexity

Koopman算子是一種無限維的線性算子，能夠描述高度非線性的動力學(xué)系統(tǒng)，基于它的譜性質(zhì)，可以提取系統(tǒng)的全局動態(tài)特性。這種方法尤其適用于在沒有詳細數(shù)學(xué)模型的情況下，通過數(shù)據(jù)揭示系統(tǒng)的內(nèi)在規(guī)律。近年來，隨著大數(shù)據(jù)集的可用性和機器學(xué)習(xí)算法的發(fā)展，Koopman算子成為了分析復(fù)雜動態(tài)系統(tǒng)的重要工具，尤其是在非線性系統(tǒng)和復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究中展現(xiàn)出其巨大的潛力。近期發(fā)表在Journal of Physics: Complexity的一篇綜述通過回顧Koopman算子及其相關(guān)理論，探索了它如何被應(yīng)用于不同領(lǐng)域的動態(tài)系統(tǒng)和復(fù)雜網(wǎng) 絡(luò)的分析，展示了這一方法在現(xiàn)代物理、計算機科學(xué)及其他多個領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用。

文章首先回顧了Koopman算子的基本理論，并介紹了其在分子動力學(xué)、流體動力學(xué)、氣候科學(xué)、量子物理、混沌動力學(xué)等領(lǐng)域中的應(yīng)用。在這些領(lǐng)域，Koopman算子幫助研究人員揭示了系統(tǒng)的慢過程、共性結(jié)構(gòu)和重要的動力學(xué)特征。

Koopman算子與復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)

除了傳統(tǒng)的動態(tài)系統(tǒng)分析，Koopman算子還被用來分析復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，特別是在圖論和譜聚類中具有重要作用。文章展示了Koopman算子如何與圖拉普拉斯算子 （Graph Laplacian） 聯(lián)系起來，通過譜分析揭示圖中的集群結(jié)構(gòu)。具體來說，在圖的隨機游走過程中，Koopman算子能夠識別圖中弱耦合的集群，這些集群通常對應(yīng)于動力學(xué)系統(tǒng)中的亞穩(wěn)態(tài)。例如，在分子動力學(xué)中，Koopman算子可以用來檢測蛋白質(zhì)的折疊過程，這些過程通常表現(xiàn)為系統(tǒng)在多個亞穩(wěn)態(tài)之間的過渡。在這種情況下，Koopman算子的譜特性幫助我們識別這些亞穩(wěn)態(tài)，并揭示它們之間的轉(zhuǎn)移行為。

動態(tài)系統(tǒng)中的譜方法

文章進一步探討了如何利用Koopman算子的譜性質(zhì)分析動態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和行為。通過對Koopman算子和其伴隨算子的譜分析，研究者可以識別系統(tǒng)中的慢時間尺度和主導(dǎo)的動力學(xué)模式。這些譜特征不僅能反映系統(tǒng)的穩(wěn)定性，還可以揭示與轉(zhuǎn)移概率密切相關(guān)的集群結(jié)構(gòu)。

在非可逆動態(tài)系統(tǒng)中，由于Koopman算子的特征值通常是復(fù)數(shù)，傳統(tǒng)方法在識別慢演化的時空模式和集群時可能失效。為了解決這個問題，文章提出了一種新的方法——前后向算子 （Forward-Backward Operators） ，該方法能夠為非可逆系統(tǒng)提供有效的集群分析工具。通過對這些算子的分析，研究人員能夠識別和追蹤系統(tǒng)中的“一致集” （coherent sets） ，這些集表示在動力學(xué)過程中僅會緩慢散布的區(qū)域。

未來方向

盡管Koopman算子已經(jīng)在多個領(lǐng)域取得了成功的應(yīng)用，文章也指出，未來的研究仍然面臨諸多挑戰(zhàn)。例如，在時間演化圖和非均勻圖中的動態(tài)系統(tǒng)分析，如何處理圖結(jié)構(gòu)的變化和時間依賴性，仍然是一個亟待解決的問題。此外，如何將Koopman算子方法推廣到更加復(fù)雜的系統(tǒng)，如超圖或單純復(fù)形 （simplicial complexes） ，也是未來的一個重要研究方向。

Koopman算子的引入為復(fù)雜動態(tài)系統(tǒng)和網(wǎng)絡(luò)的研究提供了全新視角。通過結(jié)合數(shù)學(xué)和數(shù)據(jù)科學(xué)，它不僅幫助研究人員深入理解物理、化學(xué)和生物系統(tǒng)的動力學(xué)特性，還為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的集群發(fā)現(xiàn)和圖的動態(tài)分析提供了強大的工具。隨著技術(shù)的不斷發(fā)展，Koopman算子在多個學(xué)科領(lǐng)域的應(yīng)用前景將更加廣闊，并推動科學(xué)研究向新的方向發(fā)展。

圖 1. 轉(zhuǎn)移算子在不同領(lǐng)域的應(yīng)用。

圖 2. (a)四重勢能和兩個短期軌跡：圖中的四重勢能表示一個具有四個局部極小值的勢能函數(shù)，系統(tǒng)的起始位置分別位于左下和右上的兩個阱中。從這些位置出發(fā)，顯示了兩個短期軌跡。軌跡展示了系統(tǒng)如何在這兩個阱內(nèi)進行短暫的運動。(b)一個長時間的隨機微分方程模擬：這一部分展示了一個長時間的模擬結(jié)果，模擬的是一個隨機微分方程的動力學(xué)。系統(tǒng)表現(xiàn)出亞穩(wěn)態(tài)行為，即系統(tǒng)通常會在某個井中停留相對較長的時間，然后才會跨越能量障礙，跳躍到另一個阱中。

圖 3. (a) 基于四重勢阱問題的四個弱耦合簇的無向圖。較深色的邊具有較大的邊權(quán)。(b)在圖上隨機游走，以節(jié)點的位置作為坐標(biāo)。這個過程是亞穩(wěn)態(tài)的，即隨機游走在移動到另一個集群之前通常會在一個集群中花費很長時間。

圖 4. (a) 四重勢能和相應(yīng)的漂移項；(b) 結(jié)果的無向圖；(c) 域分解成四個亞穩(wěn)定集；(d) 圖聚類成四個弱耦合簇；(e)–(h) 與隨機微分方程相關(guān)的Koopman算子的主特征函數(shù)。

圖 5. (a) 四重勢能和非可逆過程的漂移項（c = 2）；(b) 結(jié)果的有向圖；(c) 域的分解成四個相干集；(d) 圖的聚類成四個弱耦合簇；(e)–(h) 前后向算子的主特征函數(shù)。

Koopman分析在非線性動力學(xué)中的

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