截長補(bǔ)短構(gòu)全等，你如何想到的？

在八年級(jí)上學(xué)期我們學(xué)習(xí)完全等三角形之后，對于幾何圖形中的等量轉(zhuǎn)換，方法就極大豐富了，記得在課堂上也曾有老師或?qū)W生歸納過一句經(jīng)典的話，全等三角形是等量的搬運(yùn)工，再結(jié)合七年級(jí)下學(xué)期的平行線等知識(shí)，題目中可供轉(zhuǎn)換的等量會(huì)非常多，這也極考驗(yàn)學(xué)生的觀察分析能力，哪些需要轉(zhuǎn)換，如何轉(zhuǎn)換等。

構(gòu)造全等三角形的基本方法是依據(jù)已有條件去構(gòu)建，在所有常見判定全等三角形的定理中，至少要有一條邊相等，其余條件要么題目給出，或者自已探究建構(gòu)，例如旋轉(zhuǎn)構(gòu)建法、中線倍長法、截長補(bǔ)短法等，無論哪一種方法，核心就是去發(fā)現(xiàn)全等三角形。

題目

如圖，在等邊△ABC中，D為AB上一點(diǎn)，連接CD，E為線段CD上一點(diǎn)(CE>DE)，將線段CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CF，連接AF.

(1)求證：BE=AF；

(2)點(diǎn)G為BC延長線上一點(diǎn)，連接AG交CF于點(diǎn)M，若M為AG的中點(diǎn)，用等式表示線段CE，MF，DE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

解析：

01

(1)由旋轉(zhuǎn)可得CE=CF，∠ECF=60°，再由等邊△ABC得BC=AC，∠BCA=60°，因此∠BCE=∠ACF，利用SAS可得△BCE≌△ACF，最后得到BE=AF；

02

(2)先觀察圖形，其中CE可轉(zhuǎn)移到CF，與MF在一條直線上，因此思路為將DE也轉(zhuǎn)移到這條直線上，方便我們探究它們之間的數(shù)量關(guān)系；

方法一：

上一小題中，我們通過旋轉(zhuǎn)△BCE至△ACF，不妨繼續(xù)這個(gè)變換，將△BCD也進(jìn)行同樣的旋轉(zhuǎn)，如下圖：

延長CF至點(diǎn)H，使FH=DE，連接AH

我們?nèi)菀椎玫健鰾CD≌△ACH，所以BD=AH，∠CBD=∠CAH=60°，再加上∠ACB=60°，可得AH∥CG；

現(xiàn)在可以利用點(diǎn)M是AG中點(diǎn)的條件了，易證△AMH≌△GMC，所以CM=HM，其中CM=CF-FM=CE-FM，HM=FH+FM=DE+FM，分別代入后得CE-FM=DE+FM，化簡后為2FM=CE-DE；

方法二：

意圖仍然是將這三條線段“搬”到一條直線上，過點(diǎn)G作GN∥AF，交CF于點(diǎn)N，如下圖：

仍然利用點(diǎn)M是AG中點(diǎn)，易證△AMF≌△GMN，所以∠AFM=∠GNM，AF=GN，再利用前一小題中的△BCE≌△ACF得∠BEC=∠AFC，BE=AF，于是∠BEC=∠GNM，它們各自的鄰補(bǔ)角也相等，所以∠BED=∠GNC，并且BE=AF=GN；

又∠BDE=180°-∠DBC-∠BCE=120°-∠BCE，∠GCN=180°-∠ACB-∠ACF=120°-∠ACF，而其中∠BCE=∠ACF，所以∠BDE=∠GCN，這樣可得△BDE≌△GCN，故DE=CN，完成了轉(zhuǎn)換；

我們可證FM=NM，即FN=2FM，而FN=CF-CN=CE-DE，最后得到2FM=CE-DE.

解題思考

兩種方法，均為構(gòu)造全等三角形，將三條線段轉(zhuǎn)移到同一條直線上進(jìn)行數(shù)量關(guān)系的探究，這種線段之間數(shù)量關(guān)系的比較方法，早在我們學(xué)習(xí)線段長度的時(shí)候就用過，不妨回憶一下七年級(jí)我們剛剛開始學(xué)習(xí)線段比較的時(shí)候，用的是什么方法，如下圖：

2024年新人教版教材上用比較兩條線段長度的案例，介紹了這種方法，核心就是將它們轉(zhuǎn)移到一條直線上，并且一個(gè)端點(diǎn)重合，看另一個(gè)端點(diǎn)的位置，本題無論是截長或補(bǔ)短，均采用了這一比較思想。

涉及到多條線段數(shù)量關(guān)系的探究，不可避免會(huì)遇到線段的和、差問題，我們同樣在教材上可以找到方法的根源，如下圖：

如何想到構(gòu)造全等三角形，首先需要想到線段比較的通法，然后思考如何在現(xiàn)有條件下完成比較，只要想到“搬到一條直線上”，這道題的解題大方向就對了，至于走哪條路，仁者見仁，智者見智。

所以，回到標(biāo)題中的問題，你如何想到？答案已經(jīng)呼之欲出了，平時(shí)課堂上學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基本概念和方法的時(shí)候，理解越深入，后期解題困惑就越少。