每周Quanta量子雜志都會解釋推動現(xiàn)代研究的最重要想法之一。本周，數(shù)學(xué)作家約瑟夫·霍利特（Joseph Howlett）討論了所謂的千禧年獎問題，數(shù)學(xué)中的一些最重要的開放問題。

圖源：Quanta Magazine

作者：Joseph Howlett（量子雜志編輯）2025-2-17

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學(xué)科普公眾號）2025-2-18

幾個(gè)世紀(jì)以來，數(shù)學(xué)家們已經(jīng)將他們的學(xué)科游戲化。公共數(shù)學(xué)競賽曾經(jīng)是司空見慣的：例如，在1535年，尼科洛·豐塔納·塔爾塔利亞（Niccolò Fontana Tartaglia，1499 - 1557）和安東尼奧·菲奧爾（Antonio Maria del Fiore）交換了30個(gè)三次方程 https://www.quantamagazine.org/the-scandalous-history-of-the-cubic-formula-20220630/ ，試圖讓對方陷入困境。 （塔爾塔利亞贏得了找到這種解的一般方法。）

在20世紀(jì)，匈牙利數(shù)學(xué)家保羅·埃爾德什（Paul Erd?s，1913 - 1996）喜歡提出一些猜想，并對任何能夠證明（或反駁）它們的人 https://www.quantamagazine.org/tag/erdos-conjecture/ 承諾現(xiàn)金獎勵。

甚至在我對純數(shù)學(xué)有了解很多之前，我還聽說過千禧年獎問題 https://www.claymath.org/millennium-problems/ ，即七個(gè)著名的問題，解決它們之一有一百萬美元的獎勵。還有哪些其他學(xué)術(shù)學(xué)科面臨懸賞賞金的公共挑戰(zhàn)呢？

千禧年獎問題由克萊數(shù)學(xué)研究所 https://www.claymath.org 于2000年建立，目的是資助和普及數(shù)學(xué)研究。這一消息可以追溯到1900年，當(dāng)時(shí)大衛(wèi)·希爾伯特（David Hilbert，1862 - 1943）提出了他希望引導(dǎo)下一世紀(jì)數(shù)學(xué)的23個(gè)問題的清單。同樣，千禧年獎問題見證了該領(lǐng)域的現(xiàn)狀，同時(shí)又是針對未來幾個(gè)世紀(jì)的發(fā)展提出的一系列雄心勃勃的挑戰(zhàn)。

在四分之一世紀(jì)之后，七個(gè)千禧年獎問題中的六個(gè)尚未解決 - 所有七個(gè)獎項(xiàng)均無人領(lǐng)取。2003年，格里戈里·佩雷爾曼（Grigori Perelman，1966 -）證明了龐加萊（Poincaré，1854 - 1912）猜想 - 從某種意義上說，哪些三維對象與球面等價(jià)。

但是，神秘的佩雷爾曼拒絕了這筆獎金，因?yàn)樗J(rèn)為他的工作欠了理查德·漢密爾頓（Richard Hamilton，1943 - 2024）早期工作成果的一筆債。他對獎項(xiàng)的拒絕挑戰(zhàn)了對數(shù)學(xué)的一種非常普遍的體現(xiàn)在諸如千禧年獎之類獎項(xiàng)中的觀點(diǎn)：數(shù)學(xué)是一種個(gè)人主義的事業(yè)，由獨(dú)自工作的天才促成。

獎項(xiàng)的另一種批評聲音 - 俄羅斯數(shù)學(xué)家阿納托利·韋爾?？耍ˋnatoly Vershik，1933 - 2024）聲稱，他們對金錢的關(guān)注歪曲了數(shù)學(xué)，并強(qiáng)化了“數(shù)學(xué)只由解決具體問題組成的黑客觀念?！彼麊査耐校骸皵?shù)學(xué)需要如此不雅的興趣嗎？”

話說該獎項(xiàng)無疑提高了人們對開放數(shù)學(xué)問題和活躍研究領(lǐng)域的認(rèn)識。這有助于給予數(shù)學(xué)家方向。當(dāng)我問一位數(shù)學(xué)家為什么他們自己的研究很重要時(shí)，他們經(jīng)常會找到一種將其與千禧年獎問題聯(lián)系起來的方法，因?yàn)樗麄冎狼ъ戟剢栴}的聲望可以在同事和數(shù)學(xué)迷眼中增強(qiáng)結(jié)果的意義。

剩下的六個(gè)問題涵蓋了數(shù)論、幾何、拓?fù)洹⒗碚撚?jì)算機(jī)科學(xué)和數(shù)學(xué)物理學(xué)學(xué)科。解決它們中的任何一個(gè)都會對數(shù)學(xué)產(chǎn)生影響，遠(yuǎn)大于獎金金額。盡管尚未得到回答，但它們都是穩(wěn)定的新研究的主題，并且正在不斷取得進(jìn)展。

新增內(nèi)容和值得注意的內(nèi)容

在清單上的所有問題中，黎曼假設(shè)（RH，Riemann Hypothesis） https://www.youtube.com/watch?v=zlm1aajH6gY 可能是最著名的。數(shù)學(xué)家通常將其視為極其典型根本（prototypical，原型的）的數(shù)學(xué)難題。它處理數(shù)論中的重要函數(shù)，該函數(shù)編碼了質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)）的分布 - 許多數(shù)學(xué)家最喜歡的癡迷對象。

但是，目前似乎沒有希望能完整證明該猜想，研究人員已經(jīng)取得了漸進(jìn)的進(jìn)展，使他們對質(zhì)數(shù)的世界有了很大的了解。去年最大的數(shù)學(xué)突破 https://www.quantamagazine.org/sensational-proof-delivers-new-insights-into-prime-numbers-20240715/ 之一使黎曼假設(shè)可能的例外數(shù)量更加受到嚴(yán)格限制。

另一個(gè)著名的千禧年獎問題圍繞納維-斯托克斯（Navier-Stokes）方程展開。這些方程描述了流體如何旋轉(zhuǎn)，從流過溪流和河流的水到圍繞我們并使我們活著的空氣。

在凱文·哈特內(nèi)特（Kevin Hartnett）的這一出色的闡述性作品中 https://www.quantamagazine.org/what-makes-the-hardest-equations-in-physics-so-difficult-20180116/ ，你可以找到一個(gè)信息圖，可以打開方程中每個(gè)變量的定義。但是，即使所有這些變量的角色都已充分理解，但解決此方程是絕對的數(shù)學(xué)噩夢。

數(shù)學(xué)家想知道這些方程是否在所有情況下都真正起作用，還是有時(shí)會崩潰。在2022年，研究人員（在計(jì)算機(jī)的協(xié)助下）證明，特定版本的Navier-Stokes方程更簡單的表弟：Euler歐拉方程有時(shí)會破裂（爆破） https://www.quantamagazine.org/computer-helps-prove-long-sought-fluid-equation-singularity-20221116/ 。

最近的其他工作集中于這些解何時(shí)反映或不反映可能的物理現(xiàn)實(shí)（參閱 https://www.quantamagazine.org/mathematicians-coax-fluid-equations-into-nonphysical-solutions-20220502/ ）。

我撰寫的上一期數(shù)學(xué)隨筆重點(diǎn)關(guān)注了橢圓曲線（參閱 ），這是數(shù)論學(xué)家最喜歡的工具。這些曲線上的點(diǎn)以美麗的方式相聯(lián)系，由被稱為曲線秩（rank）的數(shù)字所刻畫。

BSD猜想（Birch和Swinnerton-Dyer）是說，對于每條橢圓曲線，其秩也與有關(guān)曲線的重要函數(shù)（稱為L-函數(shù)）的行為相關(guān)。猜想的靈感來自計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)，這揭示了許多示例曲線的驚人相關(guān)性。

為了使問題取得進(jìn)展，數(shù)學(xué)家正在探測橢圓曲線和稱為模形式（modular form，參閱 https://www.quantamagazine.org/behold-modular-forms-the-fifth-fundamental-operation-of-math-20230921/ ）的高度對稱方程之間的深度連接（參閱 https://www.quantamagazine.org/elliptic-curves-yield-their-secrets-in-a-new-number-system-20230706/ ）。

我沒有地方可以介紹名單上的其他猜想，但是喬丹娜·塞佩雷維奇（Jordana Cepelewicz）的Q&A問答和代數(shù)幾何學(xué)家克萊爾·瓦贊（Claire Voisin，1962 -，參閱 https://www.quantamagazine.org/a-mathematician-on-creativity-art-logic-and-language-20240313/ ）去年提及她在霍奇（Hodge）猜想上的工作。

與粒子物理學(xué)標(biāo)準(zhǔn)模型相關(guān)的楊-米爾斯問題同樣懸而未決。最后但并非最不重要的一點(diǎn)是，我甚至不需要提及P與NP問題 https://youtu.be/pQsdygaYcE4 ，計(jì)算機(jī)科學(xué)作家本·布魯貝克（Ben Brubaker）在這份2023年度特別報(bào)道 https://www.quantamagazine.org/complexity-theorys-50-year-journey-to-the-limits-of-knowledge-20230817/ 中以及去年的新聞通訊 https://www.linkedin.com/pulse/why-computer-scientists-study-hard-problems-quanta-magazine-uphve/ 中都有精彩報(bào)道。

網(wǎng)絡(luò)上的內(nèi)容

我對各種脾氣暴躁的人都心懷溫柔，所以我欣賞Vershik對千禧年獎問題的批評 https://www.ams.org/notices/200701/comm-vershik.pdf ，該評論于2007年發(fā)表在美國數(shù)學(xué)會通告中。

聽到佩雷爾曼對龐加萊猜想的證明是如何奏效的，這很有趣 - 里奇（Ricci）流和手術(shù)使解決問題聽起來有點(diǎn)像玩游戲。詹姆斯·伊森伯格 (James Isenberg) 在這段 Numberphile 視頻中出色地解釋了里奇流。https://www.youtube.com/watch?v=hwOCqA9Xw6A

大數(shù)學(xué)史學(xué)家杰里米·格雷（Jeremy Gray）撰寫了一篇關(guān)于數(shù)學(xué)獎項(xiàng)（和競賽）的個(gè)人主義傳統(tǒng)的總結(jié)。https://www.ams.org/bookstore/pspdf/mprize-prev.pdf

參考資料

https://mailchi.mp/quantamagazine.org/why-colliding-particles-reveal-reality-4866097

https://www.quantamagazine.org/the-scandalous-history-of-the-cubic-formula-20220630/

https://www.quantamagazine.org/tag/erdos-conjecture/

https://www.claymath.org/millennium-problems/

https://www.claymath.org

https://www.youtube.com/watch?v=zlm1aajH6gY

https://www.quantamagazine.org/sensational-proof-delivers-new-insights-into-prime-numbers-20240715/

https://www.quantamagazine.org/what-makes-the-hardest-equations-in-physics-so-difficult-20180116/

https://www.quantamagazine.org/computer-helps-prove-long-sought-fluid-equation-singularity-20221116/

https://www.quantamagazine.org/mathematicians-coax-fluid-equations-into-nonphysical-solutions-20220502/

https://www.quantamagazine.org/behold-modular-forms-the-fifth-fundamental-operation-of-math-20230921/

https://www.quantamagazine.org/elliptic-curves-yield-their-secrets-in-a-new-number-system-20230706/

https://www.quantamagazine.org/a-mathematician-on-creativity-art-logic-and-language-20240313/

https://youtu.be/pQsdygaYcE4

https://www.quantamagazine.org/complexity-theorys-50-year-journey-to-the-limits-of-knowledge-20230817/

https://www.linkedin.com/pulse/why-computer-scientists-study-hard-problems-quanta-magazine-uphve/

https://www.ams.org/notices/200701/comm-vershik.pdf

https://www.youtube.com/watch?v=hwOCqA9Xw6A

https://www.ams.org/bookstore/pspdf/mprize-prev.pdf

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