1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1......，這樣一個無限循環的算式，你知道等于幾嗎？

乍一看，可能會覺得非常簡單，但仔細想一想就會陷入迷茫之中，有人認為它等于1，有人認為它等于0，你覺得哪個答案是正確的呢？因為是一個無限循環的算式，所以要計算它的結果，就需要給它進行一下變形，按照基本的加減算式加括號的規則，這個算式可以變為這個樣子：1-（1-1）-（1-1）-（1-1）......，也就等于1-0-0-0......，很顯然，這個無限循環算式應該等于1。

如果只是到此為止，那么我們似乎已經找到了答案，但問題是這個無限循環算式不止能夠變換成上述的一種形式，還有另一種變形。

也就是變為：(1-1)+（1-1）+（1-1）+（1-1）......，按照加減算式的加括號規則，這種變形也是完全正確的，繼續進行計算就等于0+0+0+0......，所以這個無限循環算式的最終結果就是等于0。兩種算式的變形方式都沒有錯，計算也沒有錯，但最終的結果卻是完全不同的，這說明有一種計算方式錯了，也可能兩個都錯了。

其實除了這兩種計算方法之外，還有第三種方法。

我們可以將這個無限循環循環算式定義為X，那么-X就等于-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1......，把這個算式中的第一個-1單獨拿出來，后面的算式其實就是X，所以這個算式其實就是-1+X。既然-X=-1+X，那么2X就等于1，X就等于1/2。現在好了，除了0和1以外，現在又出現了第三種答案，這到底是怎么一回事呢？數學是最嚴謹的科學，同一個算式不可能出現三個不同的答案，根本原因在于這三種計算方式都不適用于這個無限循環算式。

幾個算式是一個級數，而級數可以分為收斂級數和分散級數。

什么是收斂級數呢？假如有一個無限循環算式是S1+S2+S3+S4......+Sn，隨著n趨向于無窮大，這個算式的結果會收斂為一個固定的極限值，那么這個級數就是一個收斂級數。而1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1......這個算式就不同了，1-1=0，1-1+1=1，1-1+1-1=0，1-1+1-1+1=1，答案會不斷在0和1之間跳躍，永遠呈現發散式，不會向一個固定的答案收斂，所以它是一個分散級數。

分散級數沒有固定的和嗎？也不是。

分散級數按照常規的計算方法是沒有固定的和的，但它存在著一個切薩羅和。具體的計算方法是這樣的，先要對這個算式的和取平均，算式是(1+0+1+0+1......)/n，此時我們會發現，當n等于1時，平均值為1/1，當n等于2時，平均值為1/2，當n等于3時，平均值為2/3，當n等于4時，平均值為2/4。據此，我們可以發現一個規律，那就是當算式和的數量為2n時，算式的和就等于n/2n，也就是1/2。所以這個級數的切薩羅和就是1/2。

這不是與一開始使用的第三種方法計算出的最終結果一樣嗎？

的確是一樣的，但這并不意味著前面的第三種計算方法是正確的，它們只是恰好結果一樣罷了。而且前面那種方法計算的是級數的和，而我們后面計算的是分散級數的切薩羅和。那么“和”與“切薩羅和”到底有何區別呢？你可以認為“和”是現實世界存在的答案，切薩羅和則主要是數學意義上的，而切薩羅和本身在數學領域也有著諸多應用。當然，切薩羅法只是計算分散級數的一種方法，除此之外還有好幾種其他方法，未來我們再做介紹。