鏡動光隨——跨學科數學壓軸題解密

記得讀書時，特別喜歡陽光明媚的日子，再加上一小塊可反射陽光的鏡子，控制那一小塊光斑在教室內游走，直到被老師發現……并罰站。

以上是一段回憶材料，對于現在的學生，體驗感可拉滿，畢竟沒玩過這個游戲的很少了，現在我們嘗試用數學的眼光來看這項操作——操作鏡面從而控制反射光線。

涉及到的物理知識，光的反射定律，需要研究的數學問題，隨著鏡面角度的轉變，反射光線會如何偏轉？然后在此基礎上簡化，鏡面用直線表示，光線用射線表示，限定若干操作以符合數學情景，便有了這么一道七年級數學跨學科應用壓軸題。

題目

解析：

01

(1)其實這個小題最根本的是考作圖，而不是判斷關系，認真對待本小題作圖的學生，同時確實理解了光的反射原理的學生，后面的會異常輕松，作圖如下：

圖中兩條法線是一組平行線，借助它們，很容易證明CD∥AB，不再贅述；

02

(2)鏡面旋轉過程中，光線AB始終不變，但是它的反射光線BC會隨鏡面旋轉而變化，第二次反射光線CD便存在兩種可能，在法線CF左側或在法線CF右側.

當CD在法線CF左側時，在圖2中作圖如下：

由a∥b可得∠ABG=∠BAC=40°，于是∠ABM=n+40°，根據法線定義可求出∠ABE=90°-(n+40°)=50°-n，由光的反射定律得∠CBE=50°-n，所以∠CBD=n+40°，而∠DBF=∠GBM=n，可求得∠CBF=2n+40°，則它的內錯角∠BCE=2n+40°，最后得到∠BCF=90°-(2n+40°)=50°-2n，因此∠BCD=2∠BCF=100°-4n；

當CD在法線CF右側時，在備用圖中作圖如下：

按前一種情況的思路，先求出∠ABD=n+40°，所以∠CBM=n+40°，可得∠CBG=2n+40°，再表示出∠BCF=2n+40°-90°=2n-50°，最后求得∠BCD=4n-100°；

綜上，∠BCD=100°-4n或4n-100°.

03

(3)需要說明的是，題目中并沒有給出AB與直線a的夾角大小，然而反射光線CD又的確與它有關，可能會出現反射點C位于點A左側或右側，看結論是否依然成立.

當反射點C在點A左側時，探究作圖如下：

不妨令∠BCA=x，則∠ABF=x，∠ABM=n+x，得∠CBN=n+x，可求出∠CBG=2n+x，于是∠BCN=180°-2n-x，而∠BCN=∠ACH，所以在Rt△ACH中，∠ACH+∠BAC=90°，列等式為180°-2n-x+x=90°，求出n=45；

當反射點C在點A右側時，繼續探究作圖如下：

和前面的探究類似，仍然令∠BCA=x，則∠CBF=x，∠CBM=

n+x，得∠CBE=90°-n-x，所以∠CBA=180°-2n-2x，又∠ACQ=x，于是∠BCQ=2x，在Rt△BCQ中，∠CBQ+∠BCQ=90°，列等式為180°-2n-2x+2x=90°，求出n=45；

即無論反射點C位于點A左側或右側，當CD⊥AB時，n=45°.

解題思考

跨學科是目前非常熱門的教育現象，和新課標、新教材中的數學綜合與實踐關系緊密，伴隨的還有項目式學習等，這意味著我們的教學需要走出按知識點、章節體系的模式，從而幫助學生利用數學知識在真實情境中去應用，畢竟我們的學生在未來面對的不會是一道道的習題，而是一個個的問題，他們需要用數學的眼光去看待這些實際問題，用數學思維去思考這些問題，再用數學語言去描述、表達.

真實情境中的問題并不會分學科，基本上都是跨學科，但我們無論跨什么學科，有一只腳必須站穩數學陣地，即在數學跨其它學科的狀態下，本質上仍然是數學.

本題的跨學科背景是物理，但它并非是一道物理光學試題，本質上仍然是數學的幾何綜合題，光的反射定律中，入射光線與反射光線，用數學語言解讀，它們是關于法線的軸對稱圖形，所以在每一次作圖中，法線極其重要.

解題的另一個關鍵技能是作圖，在七年級學習中，幾何圖形往往都比較簡單，有學生甚至老師會覺得想像下就可以了，除開極個別天才型選手，多數學生仍然需要通過作圖去建立基本的幾何模型，腦中的幾何圖象，正是通過一次次規范作圖才會形成，我們雖然贊賞“無圖勝有圖”，但無圖的前提，是規范作圖，畢竟一個班，多數學生并不是天才.

特別是最后一問，雖然n=45°與光線AB和直線a的夾角無關，但夾角不同，作圖不同，需要探究的過程也不同，命題時是為了學生答題方便，所以只要求寫出結論，但如果是在班上評講，則仍然要詳細說明為什么要分類討論.