今天，挪威科學和文學學院將2025年阿貝爾獎授予柏原正樹（Masaki Kashiwara），以表彰“他在代數分析和表示論領域所作出的奠基性貢獻，特別是他在D-模理論的建立以及晶體基的發現。”

挪威科學與文學學院院長Annelin Eriksen評價道：“在過去50余年里，柏原正樹持續重塑并深刻拓展了代數分析與表示論這兩個數學重要領域。他的研究始終站在當代數學的前沿，激勵著一代又一代的數學家。”

柏原正樹通過原創性的思考，將代數與分析這兩個“數學大陸”連接在一起，隨后又把第三塊大陸——幾何學也納入其中。他的思想不僅深邃優美，而且開辟出全新路徑，啟發許多數學家探索未知領域、解決新問題。（圖/Peter Badge/Typos1/The Abel Prize）

D-模與方程的存在性

D-模為研究線性偏微分方程組提供了一種代數語言。微分方程描述的是事物如何隨時間或空間變化。比如我們會用它們來解答“某輛車在某一點的速度是多少？”“它是在加速還是減速？”等問題。而像柏原正樹這樣的數學家研究的是線性偏微分方程組。他們關心的不在于如何求出具體解，而是關心這些方程是否有解，以及如果有，其解會具有什么樣的性質。

并非每個微分方程在每個點上都存在可定義的解。例如，如果一個函數是 1/x，那么當 x = 0 時，1/x 就趨向于無窮大，這樣的點被稱為奇點。數學中的一個著名的未解問題——希爾伯特第21問，也被稱為黎曼–希爾伯特對應問題，它探討的就是在復數域中具有奇點的特殊微分方程系統的解。（復數域是一個實數與虛數共存的數學空間。）

在復流形上，微分方程的解在奇點附近可能表現出“繞一圈，解就變”的奇特行為。這種現象稱為單值性，而具有此性質的微分方程系統則被稱為單值系統。

希爾伯特第21問研究的是我們能否斷言某類特定的微分方程系統總具有單值性？以及，我們是否能夠準確預測這些具有奇異行為的奇點將在何處出現？

柏原正樹借助他的D-模理論，證明了在任意維度下，總存在一個唯一的微分方程，滿足所預測的性質。

在建立黎曼–希爾伯特對應的過程中，柏原正樹還成功建立了D-模與拓撲學中的“層”之間的聯系。在與皮埃爾·夏皮拉（Pierre Schapira）長達50余年的合作中，他們在層的方面取得了深遠成果，也為表示論這一重要數學領域架起了一座新的橋梁。

表示論的世界

表示論是一門用代數手段研究對稱性的學科。

在日常生活中，我們熟悉各種各樣的對稱。例如，一個平面上的正方形瓷磚可具有多種對稱性——可以旋轉四分之一圈、半圈或一整圈；也可以沿對角線或邊的中點進行鏡像反射；還可以在鋪砌的瓷磚地面上平移，形成平移對稱。

而立方體這樣的三維物體則具有更多的對稱性，因為它可以在三維空間中向任意方向旋轉、反射或滑動。在更高維的空間中，數學對象的對稱性可以更加復雜，具有更多“階”。

一個物體的各種對稱性之間的關系，可以通過代數的一個分支——群論來描述。挪威數學家尼爾斯·阿貝爾（Niels Henrik Abel）在群論方面做出了重要貢獻，阿貝爾群就是由他提出的，阿貝爾獎也是以他而命名的。

雖然正方形、立方體等日常物體的對稱性是有限的，但像圓或球這樣的物體則具有無限多種對稱性。例如，你可以圍繞一個球體的任意軸旋轉，或者讓它在穿過中心的任意平面上反射。為了描述這種連續的對稱群，挪威數學家索菲斯·李（Sophus Lie）創立了李群的理論，而這一理論也成為了現代物理學和數學的重要支柱。

量子群與晶體基

為了在統計力學等領域使用李群，物理學家們發展出了量子群的概念。而柏原正樹則另辟蹊徑，提出了全新的應用思路——他發明了晶體基，將量子群的抽象代數結構轉化為更加清晰可見的圖形，這又在表示論與圖論之間建起了新的橋梁。

圖論使用“邊”連接的“結點”來建模結構和系統。瑞士數學家萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）在1736年開創了圖論，并用它解決了著名的“柯尼斯堡七橋問題”。

柯尼斯堡（今俄羅斯加里寧格勒）被河流分隔，有兩座島通過七座橋連接對岸。問題是：是否存在一條路徑，可以恰好走過每座橋一次并回到起點？歐拉將問題抽象為圖形，將橋和地點表示為邊與點，最終證明：這樣的路徑是不存在的。

這種將現實問題抽象為圖的方法，如今被廣泛應用于計算機科學、化學，甚至地圖著色等領域。

柏原正樹的晶體基將量子群所描述的組合對稱性轉化為圖。所有具有相同對稱性組合的對象，對應于相同的圖。如果一個對象具有兩種不同的對稱性（例如一個結合了旋轉和平移的螺旋開瓶器），那么它的圖就會分裂為兩個不連通的部分。

今天，晶體基已經成為整個表示論中不可或缺的核心工具。

數學世界的橋梁建造者

從D-模理論到黎曼–希爾伯特對應，從晶體基到圖論結構，柏原正樹始終站在多個數學分支的交匯處，不斷搭建橋梁、統一語言、激發靈感。

2025年阿貝爾獎的頒發，不僅是對柏原正樹個人貢獻的高度肯定，也象征著數學內部不同領域之間聯系的不斷加深與融合。

#創作團隊：

整理：原原

#參考來源：

https://abelprize.no/

#圖片來源：

封面圖：Peter Badge/Typos1/The Abel Prize

首圖：Peter Badge/Typos1/The Abel Prize