馬起盤格勢——中國象棋里的數學

說起中國象棋，想必很多人都不陌生，其中“馬”作為重要棋子，有著極其重要的作用.在中國象棋規則中，“馬”走日，即一次可控八個點，可謂威風八面！并且“馬”也屬于可以抵達棋盤上任何一點的棋子，明確這兩點，是今天這道題的背景.

題目

在中國象棋棋盤中，棋子“馬”的位置如圖所示，若將“馬”跳20步(馬跳“日”字)，則最后一步“馬”落在棋盤上的不同位置可能有( ).

A.40個 B.45個 C.50個 D.90個

解析：

中國象棋的棋盤總共有8×9個方格，格點總共90個，而棋子“馬”從最初位置開始跳，20步內可以到達任何一處格點，但題目求第20步棋子“馬”可能到達的格點，就涉及到每一步“馬”應該如何跳，按中國象棋規則，“馬”走日，為方便敘述，我們建立平面直角坐標系，如下圖：

這個坐標系的原點并不是(0,0)，而是(1,1)，我們將每一個格點位置用兩個數字來表示，例如左下角第一個格點表示為(1,1)，而“馬”所在的格點表示為(8,8)，然后我們來研究“馬”(M點)跳1步后可能到達的位置，如下圖：

按照中國象棋規則，點M可抵達M1，M2，……，M8共8處，但受棋盤限制，有兩個點無法抵達，只剩下6處，我們分別觀察這6處點的坐標，發現它們相對點M(8,8)，橫縱坐標均發生了變化，分別為(7,10)，(6,9)，(6,7)，(7,6)，(9,6)，(9,10)，依次改寫為(8-1,8+2)，(8-2,8+1)，(8-2,8-1)，(8-1,8-2)，(8+1,8-2)，(8+1,8+2)，發現跳1步之后，點M可能到達的位置坐標為(8±1,8±2)或(8±2,8±1)；

對以上觀察的信息進行解讀，點M橫縱坐標之和為16，跳1步之后，橫縱坐標之和可能是13，15，17，19，結合前面的探究結論，我們不難得出，點M跳1步之后，橫縱坐標分別變化了1或2，相加之后一定是奇數，因此改變了橫縱坐標和的奇偶性，按這個規律繼續下去，跳2步之后，橫縱坐標之和一定是偶數，跳3步之后，橫縱坐標之和一定是奇數，……

可推導出跳20步之后，橫縱坐標之和一定是偶數.

然后我們在圖中找一找，哪些格點的橫縱坐標之和為偶數，如下圖：

每條豎格線上有5個點滿足要求，則9條豎格線上共有45個點滿足橫縱坐標之和為偶數，即“馬”跳20步之后，最后一步落在棋盤上的位置可能有45個，答案選B.

解題思考

本題難點在于如何描述中國象棋中“馬”走日的情景，用數學的眼光來看待每跳1步之后位置的變化，顯然在初中數學范圍內，建立平面直角坐標系是最有效的描述位置變化的方式，但這并不是普通的平面直角坐標系，而是將原點定為(1,1)的特殊平面直角坐標系，因為0這個數字既不是奇數也不是偶數，對我們討論橫縱坐標之和的奇偶性會帶來困擾.

要突破這個難點，首先需要了解中國象棋中“馬”的移動規則，即“馬”走日，先從跳1步開始研究，發現其橫縱坐標之和的奇偶性變化是有規律的，然后用數學語言描述這個規律，最后得到我們需要的結論.

2022版新課標中的“三會”，需要我們將其滲透到每一節數學課上，具體到每一個教學環節、每一個課堂活動、每一道例題習題中，并非堂而皇之將它抄到教案上，便是對課標的理解，恰恰相反，真正優秀的數學課，這三句話只存在于心中，當在課堂上呈現出相應的教學過程之后，學生會感知，聽課老師會明白，真的不要將它變成備課的形式主義.

基于中國象棋的數學問題還有很多，棋盤上的數學遠不止本題所討論的內容，它可以是網格作圖，也可以是平面直角坐標系中的坐標變化，這都需要數學老師先用數學眼光去發現，再帶動學生學習用數學眼光去看待這些生活中的情景.