數學，常常在局部與整體之間搭建奇妙的橋梁。微分幾何研究的是空間局部彎曲的性質（比如曲率），而拓撲學則關心空間整體的、不隨連續變形改變的性質（比如“有多少個洞”）。將這兩者聯系起來的偉大定理，其中最著名的一個無疑是高斯-博內定理。而將這個定理從二維推廣到任意偶數維度，并在此過程中催生出影響深遠的數學概念——陳類和陳數，正是我們敬愛的數學大師陳省身先生。

二維的優雅：經典高斯-博內定理

想象一下你在一個曲面上行走，比如一個球面上。無論走到哪里，這個曲面總是彎曲的，而且是“正向”彎曲的。數學上，我們用“高斯曲率”來衡量這種局部的彎曲程度。將球面上所有點的高斯曲率積分起來，你會得到一個固定的值，這個值只取決于球面的“形狀”——無論球是大是小，是光滑還是有點凹凸，只要它還是個球（在拓撲上等價于一個球面），這個積分值永遠是4π。

再想象一個甜甜圈表面（一個環面）。這個表面有些地方是正曲率，有些地方是負曲率，有些地方是零曲率。如果你把環面上所有點的高斯曲率積分起來，你會發現結果總是 0。

這個積分結果，4π 或 0，似乎與曲面的局部彎曲方式無關，而只與曲面的整體形態有關。沒錯，這就是二維的高斯-博內定理所揭示的：對于一個閉合的曲面，其高斯曲率在整個曲面上的積分等于 2π 乘以一個稱為“歐拉示性數”的拓撲不變量。歐拉示性數是曲面拓撲結構的固有屬性，比如球面的歐拉示性數是 2，環面是 0。定理用一個局部的幾何量（曲率積分）給出了一個整體的拓撲量（歐拉示性數）。

用數學公式來說，對于一個閉合的二維黎曼流形 M，有： ∫KdA=2πχ(M) 其中 K 是高斯曲率，dA 是面積元，χ(M) 是流形 M 的歐拉示性數。

高維的挑戰與內蘊的追求

經典的高斯-博內定理是如此簡潔而深刻，數學家們自然希望能將其推廣到更高維度的空間，也就是高維流形上。這個方向的研究在陳省身之前已經有一些進展，比如Allendoerfer和Weil的工作。但他們的證明通常是“外蘊”的，也就是說，證明過程依賴于將高維流形看作是嵌入在更高維歐幾里得空間中的一個“子集”，利用外部空間的性質來分析流形。

陳省身先生認識到，一個更深刻、更本質的證明應該只依賴于流形本身的內在幾何結構，即其黎曼度量所賦予的性質。這就是所謂的“內蘊證明”。他認為，如果一個定理是關于流形本身的性質，它的證明就不應該依賴于流形是如何被“擺放”在外部空間中的。

陳省身的突破：內蘊證明與新概念的誕生

上世紀40年代初，陳省身在美國普林斯頓高等研究院工作期間，接受了著名數學家Weyl的建議，開始尋找高維高斯-博內公式的內蘊證明。他在1944年發表的論文《閉黎曼流形高斯-博內公式的一個簡單的內蘊證明》中， 出色地解決了這個問題。

陳省身的證明不僅是一個技術上的杰作，更重要的是，它在證明過程中引入了全新的數學工具和思想。他巧妙地運用了纖維叢（特別是標架叢）和嘉當的外微分形式方法，將高斯-博內定理推廣到了任意偶數維的閉黎曼流形上。這個推廣后的定理通常被稱為陳-高斯-博內定理。

更具里程碑意義的是，在探索這一高維推廣及其內蘊證明的過程中，陳省身發現需要更精細的工具來描述高維流形上某種“扭曲”或“彎曲”的整體性質，特別是對于帶有復結構的流形或其上的復向量叢。這些工具不再僅僅是一個歐拉示性數所能概括的了。

這便引出了陳類（Chern classes）這一系列全新的拓撲不變量。陳類是一組與復向量叢相關的示性類，它們用外微分形式表示時，可以由向量叢上的曲率形式構造出來。陳類提供了比歐拉示性數更豐富的拓撲信息，能夠區分那些具有相同歐拉示性數但拓撲結構不同的復流形或復向量叢。

進一步地，通過在閉流形上積分這些陳類的特定組合，陳省身定義了陳數（Chern numbers）。陳數是一組數值不變量，它們是流形的拓撲不變量，獨立于流形上的具體黎曼度量或復結構的選擇（在允許的范圍內）。

意義與影響

陳省身對高斯-博內定理的內蘊推廣以及陳類和陳數的引入，是20世紀微分幾何和拓撲學的重大突破。

1. 連接幾何與拓撲：他的工作以前所未有的深度揭示了幾何（曲率）與拓撲（示性類）之間的內在聯系，為整體微分幾何奠定了基石。
2. 開創全新領域：陳類成為研究復流形、復向量叢及其相關結構的強大工具，深刻影響了代數幾何、復幾何等領域。
3. 深刻影響物理學： 陳類和相關的示性類在理論物理中，特別是規范場論、弦理論等領域扮演著核心角色，它們與物理中的反常（anomaly）等概念緊密相關。陳-西蒙斯理論（Chern-Simons theory）便是直接基于陳類構造的。

陳省身先生的這項工作，不僅僅是解決了一個數學難題，更是開辟了一個全新的數學疆域。陳類和陳數作為他留給數學世界的寶貴遺產，至今仍在源源不斷地產生新的研究和應用，繼續連接著曲率的奧秘與宇宙的形狀。