相符合。因此，研究發現的這一折疊機制應用廣泛，不僅在均勻光滑的材料，而且在表面結構材料中也同樣適用，將在柔性器件、可展開結構、軟體機器人等領域發揮作用。

在我們的日常經驗中，想讓一張紙或薄膜折起來，往往需要“壓”：用手壓、工具擠、或者在表面劃出折痕；想通過屈曲使板殼發生面外變形，在絕大多數情況下，對其施加的載荷都是壓縮力，比如用手在兩端按壓一張紙牌。

而在一項近日發表于《美國國家科學院院刊》（PNAS）的最新研究，卻顛覆了這一直覺：拉伸一張紙(薄板)，同樣可以使之出現屈曲和折疊變形。這一反直覺的變形行為，被研究人員命名為“TUG Folding”——局部拉伸誘導的顯著折疊（Localized Tension-induced Giant Folding），取意為拉伸(tugging)造成的變形行為。5月12日，PNAS在線刊發了這篇研究論文，題為“Localized tension–induced giant folding in unstructured elastic sheets”。

研究靈感和實驗

這項研究的靈感，來自一個有趣的發現，我們邀請讀者也親自動手試驗一下：把一張白紙任意團成一團后展開，用兩手分別捏住短軸邊緣的兩個中點（圖1A）。只須輕輕一拉，就能讓這張紙折起來（圖1B）。

圖1一張通過局部拉伸被整體折疊的紙。(A)拉伸前的平面狀態；(B)拉伸后的折疊狀態。

這里包含兩個值得注意的點：(i)施加的是局部載荷，卻使這張紙出現了顯著的全局變形；(ii)長軸方向的拉伸，使一張紙沿短軸方向出現了折疊。為了理解這些現象，研究人員設計了一組更為簡單且全面的實驗。在實驗中，研究人員使用激光切割出尺寸規則的光滑PVC柔性薄膜（圖2A），沒有任何預制褶皺、缺口或花紋。他們在薄膜短邊的中間夾持一小塊局部區域，并施加縱向拉力。僅僅幾毫米的拉伸變形之后，薄膜中央區域突然垂直方向隆起，形成一道清晰的折疊。整個過程無需外部壓縮，也沒有結構誘導，是材料在拉伸下自發產生的幾何折疊（圖2A）。研究人員將其命名為TUG Folding，表達出局部的拉力能誘發巨大的折疊行為。同時，折疊角度α與拉伸應變ε之間呈冪律關系：α∝ε3??（圖2B），體現出典型的幾何放大效應。

圖2 TUG Folding實驗演示與變形角度測量。(A)實驗裝置中對柔性薄膜短邊中部施加縱向拉力，導致膜體中央區域發生顯著折疊；(B)折疊角度α與局部拉伸應變ε之間呈冪律關系α∝ε3??，揭示幾何放大效應。

力學模擬和理論分析

傳統力學中，折疊通常來源于壓縮。但在TUG Folding中，材料整體是在受拉，為什么還會折疊呢？答案隱藏在應力的幾何分布中（圖3）：由于拉力僅在局部施加，對兩側區域產生了類似扭矩的作用效果發生旋轉，縱向被拉伸的同時，夾持垂直方向上出現了壓縮；壓應力觸發了類似屈曲的不穩定，從而觸面外折疊（圖3A,B）。這是一種幾何誘導的非線性響應。與之相對應的是邊緣全局受拉，也就是人們所熟知的誘發褶皺（wrinkling）形成的情況，邊界使材料內部為零扭矩，不會因為旋轉而受壓，因此垂直方向上的壓應力是材料的泊松比效應誘發的，只有在泊松比較大時才會產生，且壓應力的值較小（兩個數量級），需要的臨界拉伸變形較大，但產生的變形有限（圖3C,D）。因此，研究人員發現的局部拉伸下的折疊機制與較為熟知的褶皺誘發機理顯著不同，不受泊松比的限制。

圖3幾何誘導應力重分布與折疊機制。(A)示意圖說明局部拉伸引起邊界收縮、進而誘發垂直方向的折疊；(B)數值模擬顯示，局部拉力在遠離夾持的區域誘發橫向壓應力（藍色區域），成為折疊的力源；(C)示意圖說明全局拉伸誘發褶皺的情況；(D)這種現象為材料的泊松比效應誘發，與此文章發現的機制在應力分布上有較大不同。

為了驗證這一機制的普適性與可控性，研究團隊進行了系統的分析，基于薄板的非線性幾何方程，理論建模推導應變與折角之間的關系；并通過有限元模擬，數值仿真重建折疊形態，確認力分布與變形過程（圖4A）。結果表明，TUG Folding在多種邊界條件下均能穩定發生，且折疊角度α與應變ε呈冪律關系（圖4B），展現出高度一致性。進一步的理論分析表明，所有實驗和模擬的數據（不同厚度/寬度比例(t/W)、不同泊松比(n)、不同長寬比(L/W)）在歸一化處理后可以統一到一條主趨勢線，展示出幾何放大α∝ε3??的本質規律（圖4C）。這一發現說明，這不是偶然現象，而是一種可預測、可調控、可設計的變形機制。

圖4薄膜折疊形態與變形規律。(A)有限元模擬顯示中部隆起折疊區域的形貌；(B)折疊角度(a)隨應變(e)的演化呈冪律趨勢，在不同尺寸比下均表現出高度一致性；(C)歸一化變量下的折疊響應統一曲線。

回到最初那張揉皺的紙（Crumpled Paper）的實驗——其實一張普通的A4紙也可以通過同樣的拉伸產生折疊，不過需要較大的力才能產生明顯的變形——通過引入折痕（Creases），降低了材料的有效模量Y，并提高了材料的有效彎曲剛度B，使得人可以輕易控制折疊的產生。這與研究人員發現的規律，即在相同的應變(e/ec)下

新加坡南洋理工大學Kexin Guo(郭可心)博士和英國牛津大學Marc Su?é博士為本文共同第一作者，南洋理工大學K. Jimmy Hsia (夏焜)教授、伯明翰大學Mingchao Liu (劉明超)教授和牛津大學Dominic Vella教授為本文共同通訊作者，南洋理工大學本科生Ming Li Kwok也參與了該研究。

https://doi.org/10.1073/pnas.2423439122

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