萬有引力的悖論

作者：John D. Norton

原文名稱：A Paradox in Newtonian Gravitation Theory Partners? 載于Proceedings of the Biennial Meeting of the Philosophy of Science Association,Vol. 1992, Volume Two: Symposia and Invited Papers (1992), pp. 412-420

譯者：Jay Youngs

在傳統(tǒng)科學(xué)哲學(xué)中，我們常常賦予科學(xué)家近乎神一般的能力。唯有在萬不得已的情況下，我們才會勉強接受這樣的可能性：科學(xué)家并非邏輯全知，并不能立即洞察其理論承諾的所有邏輯推論。棲身于泥濘世界的現(xiàn)實科學(xué)研究者與這種理想形象相去甚遠。事實上，他們常常會自覺甚至熱切地擁抱哲學(xué)家們深惡痛絕的東西——一組邏輯上自相矛盾的命題集合。在標(biāo)準邏輯中，邏輯矛盾會引發(fā)無政府狀態(tài)。由此可以推導(dǎo)出任何命題，因此一個自相矛盾的理論可以拯救一切現(xiàn)象。假若牛頓提出一個自相矛盾的引力理論，我們便能先天地知道他可以隨心所欲地推導(dǎo)出任何行星軌道。無論行星軌道是圓形、橢圓、方形還是六邊形，都能在一個自相矛盾的理論中有效推導(dǎo)得出。這樣的矛盾理論既能給出你想要的任何結(jié)論，也能同時得出與之完全相悖的結(jié)果。

在這種奇特的情境下，科學(xué)哲學(xué)家面臨的挑戰(zhàn)在于：我們能否嚴肅對待邏輯上自相矛盾的科學(xué)理論？若可以，又當(dāng)如何實現(xiàn)？事實證明，學(xué)界并不缺乏包容邏輯矛盾而不陷入混亂的哲學(xué)方案。但真正稀缺的是優(yōu)秀的案例研究——它們能清晰揭示哪些方案與現(xiàn)實的科學(xué)實踐相契合。問題在于，現(xiàn)有的案例研究通常分為兩類。要么是人為設(shè)計的「玩具」模型，其邏輯關(guān)系清晰，但與現(xiàn)實科學(xué)的關(guān)聯(lián)卻令人懷疑。要么是現(xiàn)實科學(xué)中的復(fù)雜實例，其科學(xué)專業(yè)性之強令人望而卻步，更別提梳理其邏輯結(jié)構(gòu)了。

本文旨在呈現(xiàn)一個邏輯矛盾的理論實例，它具有以下特征：

·這是真實且重要的科學(xué)切片，其爭論直至1950年代仍見諸主流科學(xué)期刊文獻；

·在傳統(tǒng)嚴格邏輯意義上具有無可爭議的矛盾性，即命題A與非A均可在此理論內(nèi)推導(dǎo)得出；

·技術(shù)層面足夠透明，其矛盾性幾乎無需借助數(shù)學(xué)公式即可展現(xiàn)。

本文呈現(xiàn)此案例時，誠邀讀者運用各自推崇的科學(xué)理論邏輯矛盾分析方法，以檢驗這些分析工具的實際適用性如何。

牛頓宇宙論的邏輯矛盾

此處將揭示的邏輯矛盾存在于牛頓宇宙論體系之中。該理論的基本公設(shè)可概括為：

力學(xué)公設(shè)：牛頓時空內(nèi)的牛頓運動三定律；平方反比引力定律；

宇宙學(xué)公設(shè)：無限空間內(nèi)均勻分布著物質(zhì)。

這里要得出的基本結(jié)論是：結(jié)合牛頓引力理論的標(biāo)準定理，我們可以證明

（1）空間任意點上的某測試質(zhì)量（test mass）所受凈引力F的大小（magnitude）與方向均可被任意指定。

因此該理論是邏輯上自相矛盾的——在該理論內(nèi)部，我們既能證明測試質(zhì)量所受合力為某個特定F，同時又能證明該合力并非F而是其他值。

牛頓引力場的圖示化表征

為了從牛頓引力理論的公設(shè)推導(dǎo)出式(1)，我們本質(zhì)上只需要牛頓引力場的若干屬性——它們可通過力線圖示直觀呈現(xiàn)（見圖1）。所需的本質(zhì)屬性包括：

·測試質(zhì)量所受引力強度由力線密度給出，方向由力線走向指示；

·力線永不相交；

·力線僅可終止于源質(zhì)量（source mass）；

·終止于源質(zhì)量的力線總數(shù)與其質(zhì)量成正比。

圖1. 牛頓引力場的力線模型

請注意，這些屬性已涵蓋了牛頓引力理論的關(guān)鍵要素。例如，它們對于確立「在三維空間中，源質(zhì)量作用于測試質(zhì)量的引力必然隨距離平方衰減」是充分的。

要在牛頓宇宙論框架內(nèi)推導(dǎo)出矛盾式(1)，我們首先需要兩個可由力線圖證明的定理：

定理1：均勻球殼狀源質(zhì)量分布對其內(nèi)部任意位置的測試質(zhì)量不產(chǎn)生凈引力。

證明如下：不妨假設(shè)存在著內(nèi)部凈引力場。該場的力線必須遵循球?qū)ΨQ性。唯一符合此條件的力線分布是沿徑向穿過球殼并相交于球心。然而球心處并無源質(zhì)量存在，這種相交是不允許的。因此，球殼內(nèi)部不可能存在引力場，其內(nèi)測試質(zhì)量所受凈引力必為零。

圖2. 球?qū)ΨQ殼層內(nèi)部不存在凈引力場

定理2：球?qū)ΨQ源質(zhì)量分布的外部場等同于等質(zhì)量源質(zhì)點（point source）的外部場。

證明如下：注意到，若某引力場的力線總數(shù)固定且呈球?qū)ΨQ分布，則該場被唯一確定（見圖3）。在此情境下，因為它們的源有著相同的質(zhì)量，二者的外部場具有相同的力線總數(shù)。而且，它們均以各自源質(zhì)量中心為球?qū)ΨQ點。由此可得二者外部場完全等同。

圖3. 球?qū)ΨQ源分布的外部場與具有相同質(zhì)量的源質(zhì)點場相同

矛盾的推導(dǎo)

由于牛頓引力理論是線性的，我們可以通過累加所有源質(zhì)量施加的引力來計算測試質(zhì)量所受的凈引力。在牛頓宇宙論中，為確定測試質(zhì)量所受凈引力，可將無限分布的源質(zhì)量分解為有限的部分。每個部分都會對測試質(zhì)量施加引力（可能為零），而總凈引力即為各分力的和。結(jié)果表明：源質(zhì)量的不同分解方式將導(dǎo)致不同的總凈引力。具體而言，對于任意指定的力F，我們總能找到一種源質(zhì)量分解方式，使得最終凈引力恰為F。

圖4展示了這一推導(dǎo)過程：首先，我們在牛頓宇宙學(xué)內(nèi)選定一個測試質(zhì)量，并任意指定其受力F（任意大小與方向）。然后，我們將無限源質(zhì)量分布分解為兩部分一個中心球體及其周圍的同心球殼層（shells）。球體的尺寸與位置經(jīng)過特殊設(shè)計，使得該球體對表面測試質(zhì)量施加的凈引力恰好為F（定理2確保了此球體必然存在）；剩余質(zhì)量按同心球殼形式分布，測試質(zhì)量位于所有球殼的內(nèi)部。根據(jù)定理1，所有同心球殼對測試質(zhì)量不施加凈引力，且中心球體單獨貢獻了指定力F；因此，總凈引力即為F。于是我們證明了式（1）。

圖4. 在牛頓宇宙學(xué)中，作用于測試質(zhì)量的凈引力可為任意指定的力

對矛盾的反應(yīng)

盡管牛頓宇宙論的邏輯矛盾在結(jié)構(gòu)上與奧伯斯佯謬（夜空黑暗之謎）相似，但該矛盾直至19世紀末才由澤利格（Seeliger）、C. 諾伊曼（Neumann）與開爾文勛爵明確提出。愛因斯坦在1910年代中期發(fā)展相對論宇宙學(xué)時，曾以此矛盾作為反襯，客觀上推動了其傳播。相對論宇宙學(xué)的興起并未終結(jié)牛頓宇宙論的研究——1930年代初，米爾恩（Milne）與麥克雷（McCrea）發(fā)現(xiàn)，牛頓宇宙論在某些方面與相對論宇宙學(xué)有著完全相同的動力學(xué)。這一發(fā)現(xiàn)催生了新牛頓宇宙論的研究傳統(tǒng)，迫使學(xué)者直面其內(nèi)在矛盾。

物理學(xué)家對牛頓宇宙論矛盾性的反應(yīng)可歸納為三類：

· 研究者未意識到矛盾存在，其理論推導(dǎo)未受阻礙。米爾恩與麥克雷的早期論文（參見Milne 1934；McCrea & Milne 1934）乃至牛頓本人可能皆屬此類。

· 研究者雖意識到矛盾存在，卻忽略了與合理結(jié)論相矛盾的可能推論。赫克曼與舒金（Heckmann & Schuicking 1955）、納利卡（Narlikar 1977, pp.109-110）的研究即屬此列。

· 研究者無法容忍矛盾，轉(zhuǎn)而通過修正理論假設(shè)，以恢復(fù)其融貫性（參見Seeliger 1894, 1896；Einstein 1917, §1；Layzer 1954）。

在上述三類情形中，邏輯無政府狀態(tài)均得以避免。但前兩類情形中，究竟是如何避免的卻完全不清楚：乍一看，似乎物理學(xué)家只是通過簡單地忽略無政府狀態(tài)來避免它！邏輯矛盾的哲學(xué)研究則預(yù)設(shè)，可能存在某種更微妙的東西在真正引導(dǎo)科學(xué)家避免無政府狀態(tài)，此即我所謂「邏輯驅(qū)動型管控」——即通過非經(jīng)典邏輯或弗協(xié)調(diào)邏輯限制某些標(biāo)準推理規(guī)則的應(yīng)用。

邏輯驅(qū)動型管控的困境在于：我們難以從實際從事矛盾理論研究的物理學(xué)家實踐中追溯其應(yīng)用痕跡。通常情況下，研究者控制邏輯無政府狀態(tài)的方式缺乏顯性原則可循。我們絕不會發(fā)現(xiàn)他們公開訴諸于修改邏輯推理基本規(guī)則這類根本性、普適性的舉措。事實上，但凡可辨識的策略，似乎都植根于對手頭物理理論具體內(nèi)涵的反思。我將此策略命名為「內(nèi)容驅(qū)動型管控」。

牛頓宇宙學(xué)的案例生動展示了這種管控是如何運作的。當(dāng)理論公設(shè)自相矛盾時，研究者可從中推導(dǎo)出大量相互沖突的結(jié)論。我們期望這種方法能指導(dǎo)我們應(yīng)嚴肅對待哪些結(jié)論，又該將哪些視為偽命題而摒棄。在牛頓宇宙學(xué)中，我們能夠證明測試質(zhì)量所受引力可為任意指定大小與方向。那么我們應(yīng)該嚴肅對待哪種力呢？最簡單的牛頓宇宙學(xué)是澤利格-愛因斯坦考慮的體系：其源質(zhì)量分布是靜態(tài)的，由此構(gòu)建的宇宙學(xué)是均勻且各向同性的。在此對稱性約束下，唯一的可能性便是測試質(zhì)量所受凈引力為零。

然而，在米爾恩與麥克雷發(fā)展的新牛頓宇宙學(xué)中，情況要復(fù)雜得多——源質(zhì)量如同相對論宇宙學(xué)般經(jīng)歷均勻膨脹或收縮。結(jié)果表明，源質(zhì)量中恰好僅有一個粒子作慣性運動，其余源質(zhì)量均相對于該粒子作加速運動。因此，宇宙學(xué)不再是均勻的，僅在該粒子所在位置是各向同性的。簡單的對稱性考慮已不再能決定測試質(zhì)量的受力。事實上，在標(biāo)準的新牛頓宇宙學(xué)理論中，通常使用「球體-嵌套球殼」構(gòu)造推導(dǎo)出測試粒子所受凈引力非零，進而得出該理論的特征力分布。通過兩項物理內(nèi)容的考慮，研究者得以從可推導(dǎo)的無數(shù)種力分布中篩選出標(biāo)準力分布：其一，當(dāng)分析對象限定為有限均勻球狀質(zhì)量分布時，理論不存在內(nèi)在矛盾。此時，若允許質(zhì)量分布趨于無限大，其極限形式恰可還原為標(biāo)準力分布；其二，標(biāo)準新牛頓宇宙論的動力學(xué)與相對論宇宙學(xué)嚴格一致。倘若新牛頓宇宙學(xué)采用非標(biāo)準力分布，這種一致性將蕩然無存，二者間恰當(dāng)?shù)臉O限關(guān)系亦隨之瓦解。

結(jié)論與一項提議

上述內(nèi)容驅(qū)動型管控面臨的質(zhì)疑在于：其篩選標(biāo)準看似是完全特設(shè)的（ad hoc）。當(dāng)理論公設(shè)可推導(dǎo)出無數(shù)結(jié)論時，有何依據(jù)僅選取其中特定結(jié)論？一種可能方案是訴諸邏輯驅(qū)動型管控來辯護——若對牛頓宇宙學(xué)施加某種非標(biāo)準邏輯限制，或可恢復(fù)內(nèi)容驅(qū)動方法中看似特設(shè)的規(guī)則。這種有趣的可能性雖然值得探索，卻并非唯一選項。

我們亦可在不觸動基礎(chǔ)邏輯的情況下，為內(nèi)容驅(qū)動型管控提供辯護：當(dāng)某經(jīng)驗成功的理論被發(fā)現(xiàn)存在邏輯矛盾時，假定該理論實為某個邏輯融貫理論的近似（后者應(yīng)具有同等經(jīng)驗效力）是合理的。最佳解決方案自然是建構(gòu)修正后的融貫理論，并摒棄矛盾體系。但如果修正理論暫不可得，還有另一選擇——通過對矛盾的理論施加元層次論證（meta-level arguments），恢復(fù)修正理論的局部結(jié)論或其近似形式。

最清晰的案例是均勻各向同性宇宙學(xué)。在任何此類宇宙中（無論牛頓式與否），對稱性考慮都要求測試質(zhì)量所受凈引力為零。因此，當(dāng)我們在靜態(tài)牛頓宇宙中援引對稱性排除非零力時，實際上我們是在說：

「我們承認該宇宙學(xué)存在矛盾。然而，我們預(yù)計微小修正即可消除矛盾。在修正后的理論中，唯一可推導(dǎo)的力必滿足對稱性要求（即零力）。」

新牛頓宇宙學(xué)的情況類似，但更為復(fù)雜。我們假定修正后的理論在有限質(zhì)量分布情形下（此時理論融貫）與標(biāo)準新牛頓體系高度一致。因此，修正理論的動力學(xué)行為應(yīng)趨近于有限質(zhì)量分布新牛頓宇宙論在質(zhì)量趨向無限時的極限形態(tài)。所以，采用新牛頓宇宙學(xué)中質(zhì)量分布無限增大時的力分布，相當(dāng)于間接地逼近未知修正理論的力分布。最后，我們期望該未知理論能在相對論宇宙學(xué)的牛頓極限中得以恢復(fù)。由于新牛頓宇宙學(xué)的標(biāo)準力分布給出的牛頓動力學(xué)與相對論動力學(xué)相同，它仍然是未知理論力分布的最佳候選者。

總之，我的提議是，內(nèi)容驅(qū)動型管控可以由元層次的論證辯護——旨在由矛盾理論間接逼近某個未知的融貫修正理論的結(jié)論。篩出的優(yōu)選結(jié)論之所以重要，并不是因為它可由矛盾理論推導(dǎo)出來（因為矛盾理論可推導(dǎo)任意結(jié)論），而在于它們與修正理論結(jié)論的契合度。