在 20 世紀的劍橋，我們目睹了一場思想的盛宴：艾倫·圖靈，“人工智能之父” 計算機科學的先鋒，邏輯的劍客，他以圖靈機和圖靈測試定義了一個新時代；而路德維希·維特根斯坦，哲學界的拳擊手，以其深邃的《邏輯哲學論》和《哲學研究》革新了語言哲學。

　　這兩位天才在 1939 年的劍橋數學基礎課堂上展開了一場激烈的“對掐”，他們就數學證明的本質、悖論問題以及計算過程進行了深入的討論和較量。這場智慧的碰撞被記錄在《維特根斯坦劍橋數學基礎講義》中，不僅展現了他們對邏輯和語言的深刻理解，也成為了科學與哲學交匯的歷史見證。

　　2025年6月23日是圖靈誕辰 113 周年，我們重溫一下這場對決，緬懷他為我們留下的寶貴財富，致敬他對知識的追求和探索。這場思想的碰撞，無疑給我們帶來了無盡的啟發和思考。

　　本文節選自《理解圖靈》，由《人工智能簡史（第2版）》作者、中華優秀出版物圖書獎得主、吳文俊人工智能科技進步獎獲得者張曉東（尼克）傾力撰寫。書中不僅回顧了圖靈的生平，更深入解析了他關于人工智能的關鍵論文《計算機與智能》，為理解現代智能的源頭提供了歷史洞見。

　　《理解圖靈》

　　撰文 | 尼克

　　英國老式的教授系統是，老同志不退休，后面的講師甭管多“高級”，也得熬著。上個世紀，英國大學一個系一般只有兩到三位教授，現在在美國高校系統影響下，人數略微增加。教授再下一級的職稱就是 Reader（準教授，或者“如教授”）和高級講師了。

　　維特根斯坦 1929 年重歸劍橋，當時去火車站接他的凱恩斯私下跟自己老婆說：“上帝來了。”但“上帝”在劍橋熬了十年，才升成教授——那還是因為劍橋的另一位大佬摩爾（Moore）退休，給維特根斯坦讓出位子。

　　維特根斯坦此時已經年屆五十了。維特根斯坦出生于歐洲最富豪的家庭之一。像他的家庭成員一樣，他有極高的藝術品位，尤其在音樂上。但他在讀了弗雷格（Frege）的《算術基礎》和羅素的《數學原則》（Principles of Mathematics）（注意，不是同懷特海合著的《數學原理》，Principia Mathematica，從某種意義上說，《數學原則》是《數學原理》的熱身）后，他的興趣轉向邏輯。他在一個夏天跑到耶拿找分析哲學的鼻祖弗雷格。

　　（維特根斯坦）

　　弗雷格把他推薦給了羅素，于是他成了羅素最出名的學生。他在一戰時當兵期間寫了《邏輯哲學論》，深刻影響了英美系和歐洲的維也納學圈。朋友兼學生馬爾科姆（Malcolm）第一次見到維特根斯坦是在 1938 年，他覺得大師年輕，看上去只有 35 歲左右。其實維特根斯坦是長得少興，也愛捯飭。

　　1939 年，維特根斯坦在焦急地等待著消息：自己是否能被提名為摩爾的繼承人。很多人，包括羅素，傾向于把維特根斯坦描繪成不食人間煙火的仙人，但面臨劍橋的一個教授位置，維特根斯坦也沉不住氣，他很擔心另一位候選人被提名。

　　正是在這種忐忑心情中，他開講數學基礎課。這是一門關于數學哲學的課，基本是他轉型期的各種思想雜燴。課時是一周兩次，每次兩個鐘頭。維特根斯坦回劍橋后，上課只在自己房間，不去教室，來聽課的學生自帶板凳，要不就坐地板上。“只聞來學，未聞往教”說的就是維特根斯坦。

　　比維特根斯坦年輕 23 歲的圖靈此時 27 歲，是數學系的小字輩。圖靈 1936 年發表了那篇其重要性用任何形容詞都不會過分的文章《論可計算數》，奠定了整個計算機科學及相關所有數學和哲學的基礎，但其價值當時并沒有顯現。

　　圖靈的老師紐曼稱圖靈是“應用數學家”，這有點令人吃驚，因為現在看圖靈的工作都是基礎性的：邏輯、代數、概率論。但圖靈的興趣確實廣泛，他解決問題的方式是工程師式的，這點從“圖靈機”可看出，而且他最后的學術工作的大部分和造實際的計算機有關。這其實也沒什么，維特根斯坦不也是工科出身嘛。

　　圖靈被紐曼推薦給美國普林斯頓的數學家、邏輯學家丘奇，丘奇認識到圖靈那篇文章的意義，在他主編的《符號邏輯雜志》上寫了篇關于圖靈1936年文章的評論，丘奇在評論中頭一次使用“圖靈機”來指圖靈發明的裝置。后來大家把丘奇和圖靈工作的一個推斷稱為“丘奇–圖靈論題”。這個論題斷言圖靈機就是最強的計算裝置。這只是一個工作假設，沒法數學地證明為定理，又大于物理地總結為定律的東西。從實踐上看，人類想出來的所有計算裝置和邏輯裝置，如丘奇的λ 演算、Post 系統、哥德爾遞歸函數，都和圖靈機等價。也就是說，一幫最聰明的大腦，獨立想出來的東西，其實是一回事，英雄所見略同。

　　20 世紀 50 年代，喬姆斯基發明形式句法后，大家又證明喬姆斯基 0 型文法和圖靈機等價。細想想，在某種意義上，只能例示但不能證明丘奇–圖靈論題，恰是唯心和唯物的鴻溝。這是整個計算機理論和人工智能以及若干潛在新學科的起點。

　　圖靈在丘奇的指導下得了個普林斯頓的博士學位。那時拿美國學位到英國教書是一件稀罕事，大部分的大腦流動是反方向的。圖靈回到劍橋申請講師未遂，只好接著當研究員。1939 學年，圖靈接替他的老師紐曼講“數學基礎”。盡管有了圖靈機的貢獻，但與維特根斯坦相比，圖靈此時尚是無名小卒，他是在看了學校的課程表后才知道維特根斯坦要開一門同名課程，于是決定旁聽，去會會這位大名鼎鼎的人物。故事就從這兒開始了。

　　維特根斯坦活著的時候，只出版過一本《邏輯哲學論》，發表過一篇文章和一篇文風刻薄的書評。他的十幾卷本的文集大部分是死后出版的，內容一方面是他的筆記，另一方面是他幾個親信學生的筆記。

　　維特根斯坦這學期數學基礎的講課內容，在他去世二十多年后被他的幾個學生整理成了書：《維特根斯坦劍橋數學基礎講義，1939》。圖靈和維特根斯坦的對話構成該書的很大一部分內容，圖靈的發問最精彩（尼克，2014）。它給了我們機會，看看兩個聰明人，就他們共同關心的話題是如何斗智斗勇的。順便寄語一句中青年女讀者：維特根斯坦是金牛座，圖靈是巨蟹座。

　　維特根斯坦的壞脾氣眾所周知，在劍橋讀書時就和老師羅素磕磕碰碰，掐架是家常便飯，從不給人臺階下。摩爾在道德科學俱樂部發表了一篇文章，那時發表論文都叫“宣讀論文”（read a paper）。盡管現在進步了，大家都會使 PPT 了，但很多人還是喜歡拿個“小抄”念稿，都是當年“宣讀”的流毒。

　　摩爾論文說的是人可以知道自己的感覺。這和維特根斯坦的觀點相左，維特根斯坦認為知識和確定性無法應用到人的感覺上，通俗地說，就是經驗和理性沒法聯系起來。摩爾宣讀論文時，維特根斯坦趕巧不在，第二天聽說了摩爾的觀點，帶著幾個學生直奔摩爾的辦公室，說：“你為啥在我不在時妄言與我觀點不同的觀點，當著各位老少爺們，有種再宣讀一遍。”

　　摩爾仗著歲數大，而且馬上要把教授座位禪讓給維特根斯坦，就真把論文重念了一遍，話音還沒落地，維特根斯坦就一通亂罵，把摩爾批得體無完膚，摩爾真是秀才遇見兵，但他有貴族氣，不和維特根斯坦一般見識。

　　維特根斯坦和人掐架一般不動手，一次可疑的例外是 1947 年和卡爾·波普爾（Karl Popper）。波普爾到劍橋去讀篇論文，聽眾中有羅素和維特根斯坦等人。波普爾和維特根斯坦一言不合，就起了沖突。據說維特根斯坦邊說邊沖著波普爾揮動手里的撥火棍。

　　大部分當事人早把這事忘了，但事發后，波普爾馬上給所有他認識的歐洲哲學家滿懷欣喜地寫了封信，開頭就是：“我被打了，是維特根斯坦打的，地點是在被羅素霸占的牛頓辦公室。”大部分哲學家的私生活其實很平淡，鬧點八卦不容易。于是一點破事，幾十年后還被無聊地寫成書，以訛傳訛。

　　為什么維特根斯坦與波普爾對掐了半個小時，就有人八卦了一本書；而維特根斯坦和圖靈智力交鋒了一學期，卻沒人評論？可能是維特根斯坦與波普爾的對掐有戲劇性、有動作（一個拿著撥火棍追另一個）。另外，波普爾比較會營銷，找名人掐架自然會抬高自己。現在看起來，微博上這點雕蟲小技也是人家玩剩下的。

　　沒人關注的另一個原因是學術的。維特根斯坦一生的傳世之作是《邏輯哲學論》（前期哲學）和死后出版的《哲學研究》（后期哲學）。其實在這兩本書之間的轉型期，他研究最多的是數學哲學。除了《維特根斯坦劍橋數學基礎講義，1939》和《數學基礎評論》（Remarks on the Foundations of Mathematics）之外，其他幾本后人整理的著作和談話錄也是以數學哲學為主題。

　　邏輯學家克賴澤爾是維特根斯坦尊重的學生和朋友，也是哥德爾的好友，還是《哥德爾全集》的編委之一。他認為維特根斯坦這期間關于數學哲學的工作是無聊的（insignificant），浪費了他寶貴的大腦。他這話是 20 世紀 50 年代說的，那時，數學中構造主義還沒開始流行，計算機科學尚不存在。現在似乎有人主張重新評估維特根斯坦的數學哲學。

　　維特根斯坦的早期著作喜用格言體，即使《邏輯哲學論》這樣嚴謹的著作也如此。但格言體使得內容被極大地壓縮，經常導致歧義，這反而給那些一點數學都不懂的人提供了詮釋的機會。

　　而維特根斯坦的其他著作也多是微博體，如“我背著沉重的哲學包袱，爬行在數學的山路上”。這句話，把“哲學”和“數學”代換成其他名詞，如“國學”和“佛學”，“代筆”和“抄襲”，“文盲”和“作家”，照樣好使。格言體解讀起來著實費勁。

　　在《維特根斯坦劍橋數學基礎講義，1939》中維特根斯坦就沒那么文藝了。對于一個數學家（如圖靈），歧義不是什么好事。你來我去的對話，減少了格言體語言的晦澀，它表達的思想，相對于文體，變得更重要。對話的好處是沒有黑話，全直來直去。此時，反而是那些可以滔滔不絕就《邏輯哲學論》和《哲學研究》說三道四或故作深沉的人集體失言，生怕露怯。

　　下面說幾個他們對話的例子。原文太長，枝節繁多。維特根斯坦（這里簡稱“維特”）的授課方式是蘇格拉底式的，不備課，也沒有講稿，隨著性子來，跑題是常態。這里是我的通俗的、總結性的轉述。

　　01

　　關于悖論

　　維特：說謊者悖論“我正在說謊”，我沒說謊，所以我說謊；我說謊，所以我沒說謊。這種車轱轆話，你可以一直說到小臉發青。但這只是個沒意義的語言游戲而已。也不知道大家為啥會對這個悖論那么激動。

　　圖靈：讓大家困惑的是，一般情況下，有矛盾肯定就是出錯了，但在這個例子中，大家不知道哪兒出錯了。

　　維特：哪兒也沒出錯！哪來的危險？

　　圖靈：在實際情況下，橋會塌的。

　　維特：這里要分清數學矛盾和非數學矛盾。如果橋塌了，那是物理規律出錯了。但數學中有矛盾，有什么可怕的？

　　圖靈：如果你不知道你的演算是不是有矛盾，怎么能信任你的計算結果呢？

　　維特：哦，那你的意思是說，因為有了說謊者悖論，2 乘 2 就不等于 4 了，就等于 369 了，是嗎？好，如果如此，那就不能管這叫“乘法”。

　　圖靈：如果沒有矛盾，橋不一定會塌，但如果有矛盾，肯定會出錯。

　　維特：但以前還沒有因為這事兒出過錯呀。

　　02

　　構造性證明

　　維特：“史密斯畫了一個正五邊形”不是一個幾何命題，而是一個實驗命題，它可能真，也可能假。但是“史密斯畫了一個正七邊形”是真命題還是假命題？（注：用圓規和直尺畫不出一個正七邊形或正七角形，這就像尺規不能三等分一個角。）

　　圖靈：毫無疑問，假命題。

　　維特：那這兩句話為什么如此不同呢？也許我們應該換一種說法：“有可能畫一個正五邊形”“不可能畫一個正七邊形”。因為不可能畫一個正七邊形，所以“史密斯畫了正七邊形”是一個假命題。圖靈的意思是說只借助圓規和直尺不可能畫一個正七邊形。我們怎么證明一個五邊形是正五邊形，一種辦法是用量角儀和直尺去驗證，還有一種辦法就是看一下畫的過程，畫的過程就是一種驗證。

　　圖靈：還有其他的原因。

　　維特：是，那不是唯一的原因，但如果把你的“其他原因”強加到這個過程中，畫出來的不是正五邊形，我們還能管這個過程叫“畫正五邊形”嗎？當我們說不能數學地畫一個正七邊形時，到底是啥意思？

　　圖靈：就是說我們不能給出一系列畫正七邊形的指令。

　　維特：但是一個人真要畫出一個正七邊形，我們又怎么說？我們說他沒有遵照我們的“指令”？數學上證明不可能畫出一個正七邊形所取得的結論是排除了“畫一個正七邊形”這一短語，所以“史密斯畫了一個正七邊形”這句話不是假的，而是無意義的。

　　我們用實驗的理由排除了它，盡管“不可能畫一個正七邊形”這句話不是一個實驗的語句。也許我們可以給出指令去畫一個正七邊形，但這個指令序列是無窮長的。如果說我們可以證明有可能畫一個正五邊形，我們證明的是什么樣的可能性？是目的（一個正五邊形）還是手段（畫這個正五邊形的過程）？

　　圖靈：當然是畫的過程。碰巧畫出來一個，那不算。

　　03

　　實驗vs計算

　　維特：數學家觀察到一些規律，然后企圖證明這些規律是必然的。這好像同我的觀點有些矛盾：數學中的發現其實是發明。當然，你可以再問：一個小孩做算術，25 乘 25 等于 625，他不過是發現而已，沒發明什么。說小孩發明數學事實，是不對的。但我們在此可以做個類比，發現一般是通過做實驗。那做算術的小孩是在做實驗嗎？

　　圖靈：對一個熟悉乘法表的人來說，這不像做實驗嗎？

　　維特：計算也有結果，實驗也有結果，但它們是一回事兒嗎？如果結果算錯了，咋辦？

　　圖靈：如果算錯了，那實驗應該以不同的方式安排。

　　維特：哦，你的結果都是安排來的？當規則沒有預設必然的結果時，當事先并不知道對錯時，這是實驗。當然，如果你非要在一種更加寬泛的意義下使用“實驗”一詞，我也攔不住你。

　　圖靈：那我們比較下物理實驗和數學計算。一種情況，有個天平，你在一端放砝碼，然后找平衡。另一種情況，給你兩個數和一些表（如乘法表），然后你在表里頭找結果。

　　維特：聽起來這兩種情況蠻像的，但到底像在哪里呢？

　　圖靈：人們都想看看最終會發生什么。

　　維特：假設人們發明一種新的算術，2 加 2 等于 4 是這樣證明的：拿個天平，在一邊先放倆東西，再放倆東西，在另一邊放 4 個東西，如果平了，就證明是對的。那如果你在一邊放了兩個球，再放兩個球，在另一邊放 4 個球，天平沒平，你只得在一邊再多放一個球，天平突然平了，那是不是 2+3=4 ？如果我們每次做乘法，每人都得出不同的結果，那還能管這叫計算嗎？

　　維特：什么是計數？

　　圖靈：如果你想給我們每個人 4 個小面包，你清點人數，一，二， 三，好了，然后你買了 12 個，這就是計數。

　　維特：數出班里有多少人和數出一個五角形有 10 個交點，是兩種計數。前一個不是數學命題，后一個是數學命題。在后一種情況下，你能說：根據定義，五角形有 10 個交點？

　　04

　　證明復雜性

　　維特：數學命題都是沒有時間因素的，而其他命題（如物理命題）則是有時間因素的。

　　圖靈：那當我說“這個命題很難證明”時，這有時間因素嗎？

　　維特：這句話可以有時間因素，也可以沒有時間因素。如果沒有時間因素，這句話就是一個數學命題。你說的那個命題可以有一個度量，比如證明那個命題的長度、證明的步數，等等。比如說：那個證明需要 60 步。但你那句話也可以有時間因素，比如，“現在這個證明需要很多很多步”，這意味著現在沒法用更少的步數來證明那個命題。又比如，“我現在喝高了，不能證明那個命題”，這句話就不是數學命題。

　　關于悖論。維特根斯坦總結弗雷格的公理定義，公理有兩種意義：一、游戲的規則；二、游戲的開局。但是當兩條規則發生矛盾時，該怎么處理呢？比如，如果 0 不等于 0，那么根據魏斯曼（Waisman）的解釋，你可以引入新的規則來避免矛盾。維特根斯坦在評論哥德爾不完全性定理時說：矛盾不一定就是有害的。

　　我們語言里有這種東西，并不見得就使語言不可用了，矛盾存在的價值就是它能折磨人。維特根斯坦 1939 年講課時說：“如果矛盾是隱藏的，那就無所謂，即使某一天它被暴露了，那也無害。”哥德爾從王浩處聽到維特根斯坦對不完全性定理的評價，深不以為然，他說：維特根斯坦要么是真不懂，要么是裝不懂，真不知道圖靈在和維特根斯坦的討論中能得到什么。

　　關于構造性證明。維特根斯坦認為命題的意義就是這個命題的證明，一個命題如果沒有證明，就沒有意義。而證明又有存在性證明和構造性證明，維特根斯坦對存在性證明不以為然，他常用的例子是 n 次方程有 n 個根的存在性證明。

　　一般認為維特根斯坦的數學哲學里有有限主義、構造主義和一部分約定主義，從而是反柏拉圖主義的，或反實在論的。但普特南認為維特根斯坦的觀點并不是反實在論的，而是一種“常識實在論”。

　　維特根斯坦在 1930 年的《哲學評論》中說：“無限序列只是有限序列的無限可能性，而把無限序列當外延那么談是無意義的。”是拉姆齊（Ramsay）讓維特根斯坦意識到無限的復雜性。

　　關于“計算 vs 實驗”。維特根斯坦的傳記作家蒙克很困惑圖靈為什么不直接用圖靈機來反駁維特根斯坦，圖靈機清楚地解釋了圖靈所說的計算和實驗之間的關系。也許圖靈認為維特根斯坦并不知道圖靈 1936 年的那篇文章，不愿意反客為主，枉費口舌。

　　而現在的證據表明維特根斯坦在 1939 年已讀過圖靈 1936 年的文章，并且有評論：“那不過是人在計算而已。”當我們設計算法解決問題時，自然認為這是數學手段而不是物理手段，沒人關心一臺計算機做矩陣乘法涉及了多少原子運動。當然，有人可以說量子圖靈機，這個扯遠了。

　　關于證明復雜性。在維特根斯坦和圖靈的上述對話中，貌似二人在 1939 年就已想到此問題。計算機科學這樣年輕的學科，沒多少人研究歷史。但對于計算復雜性這樣的大是大非問題，還是要正本清源。

　　數學家、科普作家約翰·卡斯蒂（John Casti）寫過一本科學小說《劍橋五重奏》。注意科學小說（scientific fiction）不同于科幻小說（science fiction），科幻小說不科學。小說的背景是 1949 年春夏之交的某一天，那位提出“兩種文化”的劍橋教授斯諾，邀請了另外四位劍橋人到家里吃飯喝酒，主要客人是圖靈和維特根斯坦，圍觀的有物理學家薛定諤（Schr?dinger）和遺傳學家霍爾丹（Haldane）。

　　聊天的主題是：“機器能思考嗎？”卡斯蒂了解這五位的立場和觀點，盡管這書是虛構，但比那本號稱是八卦考證的《維特根斯坦的撥火棍》來得更寫實。在卡斯蒂筆下，圖靈當然認為機器能思考，薛定諤更加同情圖靈，而維特根斯坦則站在圖靈的對立面。

　　在《維特根斯坦劍橋數學基礎講義，1939》中，維特根斯坦在談到“邏輯機器”時，粗暴地說：根本就沒這回事。如果這話是針對圖靈機說的，那他真是看走了眼。

　　維特根斯坦給人留下的印象是對老師（如摩爾、羅素）不敬，對同輩（如卡爾納普，Carnap）戒備，對后輩蔑視。但從和圖靈的對陣卻看出他對圖靈少有的尊敬。一般臺下的人比臺上的人更具進攻性——因為要表白，要搏上位。經常聽到的有“請容許我代表亞洲人民”，等等，臺上的人被問得一愣一愣的。

　　但在圖靈–維特根斯坦的對掐中，倒是臺上的維特根斯坦一直在企圖向臺下的圖靈證明什么，想得到圖靈的認可。對圖靈的一個小問題，維特根斯坦的回答都是長篇大論。從中我們似乎看出維特根斯坦可能滿頭是汗，而圖靈可能面無表情，但是不是想扔鞋就不知道了。

　　維特根斯坦每次講完課都精疲力盡，因為他不光講課，還發火，而且討論班的授課方式要求注意力格外集中。散課后，他經常到附近的電影院看場電影，坐第一排，邊看電影邊啃面包和冷豬排。

　　這學期結束，二戰爆發，維特根斯坦被正式提名為摩爾的接班人。而圖靈則被秘密調入情報部門開始針對德國的密碼破譯工作，圖靈其實沒有出現在維特根斯坦的最后幾次課中，也沒有證據表明他們之間此后發生或保持過任何關系。

　　維特根斯坦相信一個人不能同時是大學老師又嚴肅誠實。他勸其學生去當手藝人而不是搞學術。哥德爾可能會說維特根斯坦教的那些東西會把本想當公知的人也都教成手藝人了。維特根斯坦的所有學生都深受其影響，后來當了老師后，也都學維特根斯坦的姿勢和語氣。

　　維特根斯坦對圖靈的影響，卻看不出來；而圖靈對維特根斯坦的影響則有跡可循。1950 年圖靈那篇《計算機與智能》剛發表，重病之中的維特根斯坦已經注意到，他對學生馬爾科姆說：“我還沒看呢，但估計那不是鬧著玩的。”

　　維特根斯坦的方法中批評多于構建，批評就是找碴、掐架。他越老，找碴的痕跡越重。哥德爾晚年一次同王浩聊天時，以鄙夷的口氣問王浩：“維特根斯坦在《邏輯哲學論》后到底干了些啥？”

　　哲學家、無神論者丹尼爾·丹尼特（Daniel Dennett）在評價圖靈–維特根斯坦之爭時說：“圖靈貌似天真，但他給后世留下了計算機，而維特根斯坦呢？他給我們留下了……呃……維特根斯坦。

　　本文經授權轉載自微信公眾號“圖靈編輯部”。