|作者：顧杰

(東南大學物理學院 丘成桐中心)

本文選自《物理》2025年第6期

摘要量子物理中，利用微擾展開計算物理量得到的通常是發(fā)散的漸近級數(shù)，這意味著這些物理量往往有不可忽略的非微擾貢獻。博雷爾求和提供了將發(fā)散級數(shù)進行合理求和的方法，而在此基礎(chǔ)上發(fā)展起來的復現(xiàn)理論是一種從微擾級數(shù)本身出發(fā)就可以提取出非微擾貢獻的強大理論工具。文章將對復現(xiàn)理論及其在量子物理中的應(yīng)用做簡單的介紹。

關(guān)鍵詞發(fā)散級數(shù)，博雷爾求和，瞬子，重整子，復現(xiàn)，非微擾

01

發(fā)散的微擾級數(shù)

現(xiàn)代量子場論有了長足的發(fā)展，許多物理量可以進行更精確的計算。在量子場論中，大部分的物理量不能嚴格計算，只能寫成某個數(shù)值非常小的微擾參數(shù)的冪級數(shù)，稱為關(guān)于這個參數(shù)的微擾級數(shù)。通常意義上說的對某個物理量更精確的計算，是指對其微擾級數(shù)可以計算更多項的系數(shù)。比如著名的電子反常磁矩，即因為電磁場的量子漲落而導致的電子磁矩與經(jīng)典電磁學理論預(yù)言之間的微小偏差，可以表示為大小約為1/137的精細結(jié)構(gòu)常數(shù)(用來衡量電子與電磁場之間的耦合強度)的微擾級數(shù)。20世紀中葉，朝永振一郎、施溫格和費曼發(fā)展出了計算量子漲落的技術(shù)，并計算了電子反常磁矩的第一個系數(shù)。之后的物理學家們經(jīng)過艱苦卓絕的努力，終于在2017年將電子反常磁矩的理論計算推進到了微擾級數(shù)的第五個系數(shù)。理論計算和實驗數(shù)據(jù)的吻合程度也因此從三位有效數(shù)字上升到了驚人的九位有效數(shù)字，使得電子反常磁矩成為理論預(yù)言和實驗數(shù)據(jù)吻合得最好的物理量之一。

然而如果我們計算微擾級數(shù)更多的系數(shù)，是否一定能夠讓理論預(yù)言和實驗測量吻合得更好呢？答案是否定的。在量子場論發(fā)展的早期，人們曾認為譬如電子反常磁矩之類的微擾級數(shù)應(yīng)該是收斂的，即級數(shù)每一項的絕對值都要比前一項小得多，因此當越來越多的項被加起來之后，微擾級數(shù)會越來越趨近于一個有限大小的數(shù)值。但是1952年戴森用一個簡單而優(yōu)雅的方法粉碎了人們的夢想[1]。戴森考慮將精細結(jié)構(gòu)常數(shù)不斷變小的過程。如果微擾級數(shù)是收斂的，那么在這個過程中，級數(shù)的收斂性會變得更好，級數(shù)求和會更快地趨近于有限數(shù)值。但是當我們跨過零點使得精細結(jié)構(gòu)常數(shù)變?yōu)橐粋€依然很小但是符號為負的數(shù)值時，電磁量子理論就會出現(xiàn)災(zāi)難。由于電磁場的量子漲落，真空中各處會不斷誕生正負電荷對。在精細結(jié)構(gòu)常數(shù)大于零的現(xiàn)實世界里，這些正負電荷對會因為彼此吸引而在誕生后迅速湮滅并消失，不會被觀測到。但是如果精細結(jié)構(gòu)常數(shù)的數(shù)值小于零，這些正負電荷對就會因為互相排斥而分離開來，成為能夠被觀測到的帶電粒子。那么真空就會因為源源不斷產(chǎn)生的大量帶電粒子對而瓦解，不能穩(wěn)定存在。然而對于數(shù)學家來說，如果一個冪級數(shù)是收斂的，級數(shù)的參數(shù)是正是負并沒有區(qū)別，級數(shù)求和都會趨近于有限數(shù)值，并且這個有限數(shù)值在級數(shù)參數(shù)跨過零點的時候應(yīng)該是連續(xù)變化的，不可能出現(xiàn)電磁量子理論中這種因為耦合參數(shù)的符號不同而截然不同的現(xiàn)象。因此后者中出現(xiàn)的微擾級數(shù)不可能是收斂的。

利用戴森的方法，很容易論證量子場論中絕大部分物理量的微擾級數(shù)都是發(fā)散的。對于這些級數(shù)來說，一開始每一項的數(shù)值可能比前一項的數(shù)值要小，但是從某一項開始，每一項的數(shù)值都要比前一項更大，而整個級數(shù)求和的數(shù)值也會趨向于無窮大從而發(fā)散，就像圖1中所示的那樣。對于物理學家來說，避開這個級數(shù)發(fā)散問題的一個最直接的方法就是對級數(shù)求和進行最優(yōu)截斷，只進行到數(shù)值最小的那一項為止。但是這個方法只是回避了問題，并不能得到準確的結(jié)果。可以證明，最優(yōu)截斷總會產(chǎn)生數(shù)量級為e-1/

的誤差，其中

是微擾參數(shù)的大小。對于電磁量子理論來說，因為作為微擾參數(shù)的電磁耦合參數(shù)很小，這個誤差極其微小。但是對于描述強相互作用的量子理論等其他理論來說，微擾參數(shù)的數(shù)值接近于1，那么整個理論就會因為這個誤差太大而失效。

圖1　一個典型的發(fā)散級數(shù)的單項數(shù)值增長行為

02

發(fā)散級數(shù)的求和方法

要更好地理解并合理地利用物理中的發(fā)散級數(shù)，我們需要一個處理發(fā)散級數(shù)的數(shù)學理論。數(shù)學家們對于發(fā)散級數(shù)的認識也經(jīng)歷了一個漫長而逐漸發(fā)展的過程。阿貝爾在1828年曾說，“發(fā)散級 數(shù)是魔鬼的發(fā)明，基于它們做任何論證都是一種恥辱”。到了1886年龐加萊終于發(fā)展了一套用來嚴格描述發(fā)散級數(shù)的理論，即漸近展開理論。1899年，博雷爾給出了一個可以將漸近級數(shù)求和的魔法公式，稱為博雷爾求和(Borel resummation)。作為一個簡單的例子，可以考慮一個發(fā)散的漸近級數(shù)：

對這個漸近級數(shù)做博雷爾求和之后的結(jié)果是：

很容易看出來對于

z

>0，這是一個有良好定義的函數(shù)。而將這個函數(shù)在

z

=0附近展開就可以還原為漸近級數(shù)

f

z

)。

與最優(yōu)截斷不同，博雷爾求和利用了漸近級數(shù)的所有項，并且是數(shù)學上嚴格的。譬如數(shù)學家可以證明，如果存在一個滿足某些解析性質(zhì)的函數(shù)，并且該函數(shù)關(guān)于微擾參數(shù)的漸近展開等于原有 漸近級數(shù)，那么級數(shù)的博雷爾求和與這個函數(shù)相同。

通過博雷爾求和的方法，人們可以在量子理論中用微擾級數(shù)來嚴格定義相關(guān)的物理量。但是在這個過程中，人們發(fā)現(xiàn)有時候應(yīng)用博雷爾求和公式會遇到困難。博雷爾求和涉及到從漸近級數(shù)出發(fā) 構(gòu)建一個被稱為博雷爾變換的輔助函數(shù)，然后將博雷爾變換沿著正實軸進行積分。要成功地進行博雷爾求和，需要博雷爾變換在正實軸上沒有奇點，否則的話，如圖2所示，博雷爾求和就會因為積分無法進行而失效。博雷爾變換奇點的分布依賴于微擾級數(shù)系數(shù)的增長速度。不同于只關(guān)心微擾級數(shù)中數(shù)值不斷減少的少數(shù)前面幾項的最優(yōu)截斷方法，博雷爾求和的方法關(guān)心整個微擾級數(shù)，包括數(shù)值不斷增大的高階部分。這些高階項的系數(shù)呈現(xiàn)出一種統(tǒng)一的規(guī)律，會隨著項數(shù)的增加而呈階乘形式

n

!高速增長。這也是即使微擾參數(shù)再小，漸近級數(shù)的單項數(shù)值最終會變大并趨于無窮的原因。更確切來說，單項數(shù)值的增長方式為

n

A

n

。這個標記為

A

的特征數(shù)字非常重要，因為博雷爾變換會有一個位置在

A

的奇點。當

A

大于零時，博雷爾變換會有一個大于零的奇點，從而導致博雷爾求和失效。我們可以選擇在積分時繞開這個奇點，但是因為有向上和向下兩種繞開方式，得到的結(jié)果是不確定的。在這個時候，物理學家就會認為這個發(fā)散的微擾級數(shù)是無法嚴格求和的，相關(guān)的量子理論也是無法嚴格定義的。

圖2　因博雷爾變換在正實軸上有奇點，博雷爾求和無法進行

圍繞這個想法，20世紀六七十年代的物理學家花了大量的精力來分析各種量子理論中微擾級數(shù)系數(shù)的具體增長形式，又稱為微擾系數(shù)的高階行為。知道了微擾系數(shù)的高階行為，一方面有助于分析博雷爾變換奇點的位置，從而判斷博雷爾求和是否有效；另一方面在博雷爾求和有效的情況下，也有助于在數(shù)值上對微擾級數(shù)進行高效的博雷爾求和計算。比如對于著名的四次方量子力學模型，華人理論物理學家吳大峻與合作者給出了穩(wěn)定狀態(tài)能量關(guān)于耦合參數(shù)的微擾系數(shù)的高階行為[2]。四次方量子力學模型推廣到量子場論中就是重要的玩具模型四次方場論。一系列的工作表明，博雷爾求和對于四維的四次方場論是失效的，但是對于二維、三維的四次方場論有效，并且可以用來定義和計算臨界指標等重要的物理量[3]。

03

非微擾效應(yīng)

對于描述現(xiàn)實世界中各種相互作用的量子理論來說，博雷爾求和是失效的。不過隨著對微擾級數(shù)認識的進一步加深，人們逐漸意識到博雷爾求和的失效并不是件可怕的事情。這只是在告訴人們要完整地刻畫量子理論，單憑微擾級數(shù)是不夠的。量子理論中有很多沒有辦法用微擾級數(shù)進行描述的非微擾現(xiàn)象，最典型的是20世紀之初量子力學發(fā)展早期就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的雙勢阱模型中的量子隧穿效應(yīng)：粒子即使在能量很低的情況下也能從一個勢阱的最低處穿越兩個勢阱之間的勢壘跑到另一個勢阱的最低處，如圖3所示。隧穿效應(yīng)發(fā)生的概率約為e-1/

，其中

是作為微擾參數(shù)的勢阱耦合參數(shù)。對于這樣一個概率，以

為小量做漸近展開永遠得到零結(jié)果，因此這樣的非微擾效應(yīng)無法通過微擾級數(shù)來描述。量子物理量的微擾展開由于博雷爾變換在正實軸上有奇點從而導致 博雷爾求和失效，其實是因為這個量子理論中有不可忽略的非微擾效應(yīng)。

圖3　量子力學雙勢阱模型中的量子隧穿效應(yīng)

經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn)，量子場論中的非微擾效應(yīng)大致可以分為兩種。第一種是瞬子(instanton)效應(yīng)，可以從多個角度來理解瞬子。一方面，我們可以從費曼圖的角度來理解瞬子。費曼圖是一種形象的用來描述微觀粒子通過不斷釋放和吸收虛擬粒子來發(fā)生相互作用的方式，每個粒子由一根線條表示，而粒子釋放和吸收虛擬粒子的過程通過線與線之間的交點表示。量子物理量以耦合參數(shù)為小量做展開得到的微擾級數(shù)的第

n

階系數(shù)，來源于所有帶

n

個圈的費曼圖的貢獻之和。簡單的組合數(shù)學分析表明，費曼圖的數(shù)目隨著圈數(shù)的增加會呈階乘型增長。因此如果每個費曼圖的貢獻大小相近的話，所有費曼圖的貢獻之和也會隨著圈數(shù)的增加，也就是微擾級數(shù)階數(shù)的增加，而呈階乘型的增長。這種因為費曼圖數(shù)目的快速增長而導致級數(shù)發(fā)散的現(xiàn)象稱為瞬子型的級數(shù)發(fā)散。另一方面，我們也可以用半經(jīng)典的圖像來理解瞬子。從物理上來說，瞬子的出現(xiàn)是由于在半經(jīng)典近似下物質(zhì)場有多個可能的能量最低態(tài)，而由于量子漲落效應(yīng)，物質(zhì)場不會停留在一個能量最低態(tài)，而可以在這些不同的能量最低態(tài)之間穿越。雙勢阱模型中的隧穿效應(yīng)，就是一個典型的瞬子效應(yīng)[4]（注：如果讀者對量子力學有一定的了解，那么雙勢阱模型的基態(tài)能量可以通過歐式空間的路徑積分來幫助理解。一方面，路徑積分的微擾展開可以用費曼圖技術(shù)進行計算。分析表明，費曼圖的數(shù)目會隨著圈數(shù)的增加而呈階乘型的增長，導致微擾級數(shù)發(fā)散。另一方面，路徑積分的非微擾貢獻可以用鞍點分析來獲得，這些非平凡的鞍點可以解讀為瞬子解。具體分析參見文獻[4]。)。瞬子效應(yīng)是一種普遍存在的非微擾效應(yīng)，在幾乎所有的量子力學和量子場論模型中都有可能出現(xiàn)。

另一種更加復雜的非微擾效應(yīng)是重整子(renormalon)。重整子是一種神秘的非微擾現(xiàn)象，在20世紀70年代才在人們研究二維可積場論時被發(fā)現(xiàn)，隨后特·胡夫特在描述強相互作用的量子場論中發(fā)現(xiàn)重整子也起到了重要的作用。從費曼圖的角度來看，重整子來源于那些比較特殊的費曼圖，它們的貢獻不是大小相近，而是某一族費曼圖本身的貢獻就會隨著圈數(shù)的增加而呈階乘型增長。圖4展示了一個典型的例子。這種不是因為費曼圖數(shù)目的增長，而是因為某一類型的費曼圖本身貢獻的快速增長而導致的微擾級數(shù)發(fā)散的現(xiàn)象稱為重整子效應(yīng)。理論分析表明，重整子和量子場論中的重整化流現(xiàn)象(見周稀楠老師文章的介紹[5])息息相關(guān)。如果在量子理論中通過標度變換的方式從小尺度/高能標變換到大尺度/低能標的過程中，一個量綱為零的耦合參數(shù)因為量子漲落而獲得了不為零的量綱，那么重整子效應(yīng)就會出現(xiàn)。重整子效應(yīng)是一種在量子場論中才會出現(xiàn)的獨特現(xiàn)象，而且只有在量子漲落比較強的量子場論中才會出現(xiàn)，在量子漲落比較小或者對稱性比較強的量子場論中則影響比較小，比如在拓撲場論、共形場論、超對稱場論或者超可重整場論中一般不會出現(xiàn)。但是在描述現(xiàn)實世界的量子場論中，重整子的出現(xiàn)幾乎不可避免。從理論分析的角度來說，和瞬子不同，平坦空間中的重整子至今為止還沒有可靠的半經(jīng)典圖像，因此分析起來要困難的多。

圖4　一族典型的會產(chǎn)生重整子效應(yīng)的費曼圖

因此，如果一個量子場論模型中物理量的微擾級數(shù)在應(yīng)用博雷爾求和時失效，這并不意味著這個場論模型是有缺陷的，而是說明該場論模型中有著諸如瞬子和重整子之類非常豐富的非微擾結(jié)構(gòu)（注：理論上可能存在其他類型的非微擾貢獻，不過現(xiàn)有的物理學研究中發(fā)現(xiàn)的非微擾貢獻一般總能用瞬子或者重整子現(xiàn)象來描述。)，需要以某種合適的方式加入到該物理量中來。

04

復現(xiàn)理論

20世紀80年代，數(shù)學家埃卡爾(Jean Ecalle)發(fā)展出一套獨特的數(shù)學理論，稱為復現(xiàn)理論(resurgence theory)[6]，可以指導人們在微擾級數(shù)的基礎(chǔ)上，如何尋找和加入這些非微擾的貢獻，從而得到物理量的完整描述。

復現(xiàn)理論包含兩個層次的重要假說。第一個層次的假說是，每一種非微擾貢獻都可以描述為一個非微擾因子e-

A

乘以一個新的漸近級數(shù)的形式，權(quán)稱之為非微擾級數(shù)。包含了非微擾貢獻的物理量的完整描述，是微擾級數(shù)和非微擾級數(shù)通過合適的方式加起來之后的超越級數(shù)。而物理量的準確數(shù)值，是對超越級數(shù)各個部分進行博雷爾求和之后相加的結(jié)果，稱之為超越級數(shù)假說。在這個過程中，無論是微擾級數(shù)還是非微擾級數(shù)，在進行博雷爾求和時都會因為博雷爾變換在正實軸上有奇點而無法積分從而失效。但是，我們可以通過繞開這些奇點的方式來避開這個問題。更重要的是，盡管微擾級數(shù)和非微擾級數(shù)在通過這個方式求和時會因為上下兩種繞開方式而產(chǎn)生不確定性，這兩種不確定性會神奇地互相抵消，從而產(chǎn)生一個唯一確定的結(jié)果。

復現(xiàn)理論第二層次的更加驚人的假說是，微擾級數(shù)本身已經(jīng)包含了非微擾級數(shù)的信息。微擾級數(shù)和非微擾級數(shù)的博雷爾求和不確定性可以抵消這個事實，表明微擾級數(shù)和非微擾級數(shù)之間有著緊密的聯(lián)系。事實上，這兩者可以通過被稱為斯托克斯變換(Stokes transformation)的線性變換關(guān)系聯(lián)系起來。由此導致的一個非常重要的后果，是非微擾級數(shù)的信息可以通過分析微擾級數(shù)的各種性質(zhì)而提取出來；換句話說，非微擾級數(shù)會自然而然地在微擾級數(shù)中復現(xiàn)出來，稱之為復現(xiàn)假說。比如說，微擾級數(shù)高階系數(shù)增長行為中的特征量

A

，正是非微擾因子中的權(quán)重

A

；而高階系數(shù)的具體增長方式，和

n

A

n

會有一些細節(jié)上的微小偏差，從中可以抽取出非微擾級數(shù)首幾項的系數(shù)。因此復現(xiàn)現(xiàn)象之所以會發(fā)生，正是因為微擾級數(shù)本身是發(fā)散的。正如物理學家貝里于2003年在牛頓研究所說[7]（注：Berry M. Stokes and the Rainbow, Newton Institute Lecture, 2003，原文為“Series don’t diverge for no reason; it is not a capricious thing. The divergence of a series must reflect its cause.”參見文獻[7])，“級數(shù)不會無緣無故發(fā)散；這并非偶然的事情。級數(shù)的發(fā)散必然反映出其背后的原因”。這背后的原因就是發(fā)散級數(shù)之間的緊密關(guān)聯(lián)。

總而言之，埃卡爾的復現(xiàn)理論為我們在量子理論中，如何為一個物理量的微擾級數(shù)補全非微擾貢獻并獲得該物理量的完整描述提供了路線圖，如圖5所示。我們可以通過研究微擾級數(shù)系數(shù)的具體增長方式或者其他輔助的方式計算可能的非微擾貢獻和相關(guān)的非微擾級數(shù)(復現(xiàn)假說)。這些非微擾貢獻包含了來自瞬子或者重整子的貢獻。在得到非微擾級數(shù)之后，需要將其與微擾級數(shù)相加得到超越級數(shù)，然后進行博雷爾求和，來得到物理量的完整描述(超越級數(shù)假說)。

圖5 復現(xiàn)理論補全微擾級數(shù)路線圖

05

量子理論中的復現(xiàn)方法

自從復現(xiàn)理論誕生以來，在量子力學、量子場論乃至弦理論等各種量子理論中得到了廣泛應(yīng)用。從量子力學的課本中可知，即使是看似簡單的一維非相對論性量子力學，可以嚴格求解的量子力學模型也是屈指可數(shù)。除此之外的量子力學模型只能用微擾論進行近似計算。比如量子穩(wěn)定狀態(tài)的能量可以用非含時微擾論計算為關(guān)于普朗克常數(shù)的微擾級數(shù)，而描述這些穩(wěn)定狀態(tài)的波函數(shù)也可以用WKB (Wenzel—Kramers—Brillouin)近似的方法寫成關(guān)于普朗克常數(shù)的微擾級數(shù)。無論是定態(tài)能量還是定態(tài)波函數(shù)，都可以用復現(xiàn)理論進行處理，從而得到非近似的嚴格結(jié)果。一方面，通過研究熱力學路徑積分，以及微擾級數(shù)的高階行為，可以分析定態(tài)能量可能受到的來自于瞬子的非微擾貢獻[8]。另一方面，通過引入復現(xiàn)理論的元素，WKB方法可以發(fā)展成數(shù)學上嚴謹?shù)膰栏馱KB方法(exact WKB method)，從而給出定態(tài)波函數(shù)的準確描述[9]。然后可以通過對波函數(shù)施加適當邊界條件的方式，來計算準確的定態(tài)能量。通過這些方法，人們在20世紀八九十年代寫下了雙勢阱模型(圖3)、余弦模型(圖6)等帶有顯著瞬子貢獻的一維量子力學模型的定態(tài)能量嚴格解[8，10]。進入21世紀，人們還在此基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)了各種有趣的現(xiàn)象，比如常微分方程—可積模型對偶關(guān)系(ODE—IM correspondence)、超對稱量子力學模型的柴郡貓型復現(xiàn)行為(Cheshire cat resurgence)等。除此之外，人們還分析了相對論性量子力學模型，此時刻畫系統(tǒng)動力學的薛定諤方程從二階常微分方程變成了二階線性差分方程。最近這方面最重要的工作是有人在2024年給出了用嚴格WKB方法分析二階線性差分方程所需要的聯(lián)絡(luò)公式[11]。

圖6　帶有周期性勢阱的量子力學余弦模型

除了一維的量子力學模型，我們還可以研究多維空間的量子力學模型。一個有意思的模型是在二維周期性勢阱中放置一個電子，然后在垂直方向施加均勻磁場。侯世達(D. Hofstadter)在1976年發(fā)現(xiàn)，電子的能帶關(guān)于磁場的依賴關(guān)系呈現(xiàn)出著名的類似蝴蝶圖案的分型結(jié)構(gòu)，被稱為侯世達蝴蝶(Hofstadter butterfly，圖7)[12]。電子的能量可以寫成關(guān)于磁場強度的微擾級數(shù)。人們發(fā)現(xiàn)電子的能帶結(jié)構(gòu)應(yīng)該可以通過在微擾級數(shù)的基礎(chǔ)上加上因為瞬子效應(yīng)導致的非微擾貢獻來解釋。近日，筆者與合作者于2024年利用復現(xiàn)理論分析了這個模型，并利用該模型和拓撲弦模型之間的關(guān)系，在磁場強度是某些特殊數(shù)值的時候，成功地寫下了包含了所有非微擾貢獻的完整的電子能帶表達式[13]。

圖7 侯世達蝴蝶：垂直方向有均勻磁場的二維周期性勢阱中電子的能帶(橫軸)和磁場強度(縱軸)的依賴關(guān)系

復現(xiàn)理論也被廣泛地應(yīng)用于量子場論中。在這個過程中，人們主要遵循兩條不同的研究路線。第一條研究路線是研究復現(xiàn)理論在量子場論中應(yīng)用的普適性。因為不同的量子場論模型呈現(xiàn)出豐富的多樣性，人們需要在各個具體的量子場論模型中檢驗復現(xiàn)理論兩個假說的正確性。在這一條路線中，為了簡化研究，一般關(guān)注沒有重整子只有瞬子效應(yīng)的理論模型。這些模型一般來說會有比較高的對稱性，量子漲落因為較高的對稱性可以受到較好的控制。比如說著名的三維陳—西蒙斯理論，這是個像描述強相互作用量子場論一樣的規(guī)范場論。描述相互作用變換的規(guī)范群是更一般的

SU(N

)，但不同的是這也是一個拓撲場論，具有很高的對稱性，物理量的計算不依賴于三維時空的度規(guī)。要驗證這個理論是否沒有重整子效應(yīng)，可以考慮著名的大

N

極限，即耦合常數(shù)

g

s

和1/

N

同步趨于零而保持乘積

t

g

s

N

不變。在大

N

極限下，每個物理量可以寫成一個雙重級數(shù)：這個物理量是1/

N

級數(shù)的同時，每一項的系數(shù)也是

t

的級數(shù)。在這個過程中，瞬子效應(yīng)和重整子效應(yīng)會分離開來。瞬子效應(yīng)體現(xiàn)在對1/

N

級數(shù)的非微擾貢獻，而重整子效應(yīng)體現(xiàn)在對

t

級數(shù)的非微擾貢獻。如果一個場論沒有重整子，1/

N

級數(shù)的系數(shù)會是一個收斂的

t

級數(shù)。用這個方法，人們于2007年證明了三維陳—西蒙斯理論中不存在重整子效應(yīng)。另一方面，1/

N

級數(shù)本身是一個發(fā)散級數(shù)，因此確實有來自瞬子的非微擾貢獻。在此基礎(chǔ)上，規(guī)范群較小的三維陳—西蒙斯理論中的瞬子效應(yīng)得到了廣泛的研究，比如對于規(guī)范群為

SU

(2)的三維陳—西蒙斯理論，當三維時空是某種特殊的拓撲非平凡空間時(圖8)，筆者和合作者們于2020年計算了體現(xiàn)真空量子漲落幅度的配分函數(shù)所受到的所有瞬子貢獻[14]。這是一個罕見的所有瞬子貢獻都可以被計算的非平凡的量子場論模型。

圖8　陳—西蒙斯理論的三維時空可以是一個拓撲非平凡的三維空間，比如三維球面中挖除一個扭結(jié)(γ)之后的剩余空間

另一種沒有重整子貢獻的重要場論模型是超對稱規(guī)范場論。這也是一種具有很強對稱性的理論，量子漲落受到很大的限制，人們因此可以開發(fā)譬如超對稱局域化等方法來嚴格計算一些超對稱場論的配分函數(shù)(見張欣宇老師的文章)[15]。在超對稱規(guī)范場論中，有一個非常重要的理論是4維

N

=4楊—米爾斯規(guī)范場論。這個理論不但有很強的超對稱性，同時是一個共形場論(見周稀楠老師的文章[5])，并且在大

N

極限下是可積的(見江云峰老師的文章[16])。這使得可以用復現(xiàn)理論結(jié)合超對稱局域化和可積性等多種理論工具來對該模型中非微擾貢獻進行分析。從2015年開始，人們用復現(xiàn)理論在大

N

極限下陸續(xù)研究了尖點反常維度、積分關(guān)聯(lián)函數(shù)、圓形威爾遜環(huán)、通量管相關(guān)函數(shù)等多種物理量的非微擾貢獻。

第二條研究路線是分析重整子效應(yīng)。因為現(xiàn)實世界中，包括強相互作用等各種量子場論模型中，都有不可忽略的重整子效應(yīng)，我們必須要對重整子效應(yīng)有更好的理解。這方面的研究工作在21世紀有兩個重要的進展。一個是Philip Argyres、Mithat ünsal、Gerald Dunne等人自2012年開始提出的一種研究重整子的新思路，可以用來給重整子提供半經(jīng)典描述[17]。他們發(fā)現(xiàn)對于描述四維時空中強相互作用的量子場論和與之類似的二維時空的一些規(guī)范場論，如果把場論緊致到一維圓環(huán)上，并且在圓環(huán)的尺寸很小時，重整子效應(yīng)會表現(xiàn)為某種孤子束縛對，而后者像瞬子一樣可以有半經(jīng)典的描述方式，更容易進行理論分析和計算。另一個重要的進展是自2019年開始，Marcos Mari?o等人對各種二維可積場論中的重整子效應(yīng)做了系統(tǒng)的研究，討論了諸如基態(tài)能級和熱力學自由能等物理量會有什么樣的重整子型的非微擾貢獻，以及這些非微擾貢獻什么時候可以從微擾級數(shù)中復現(xiàn)出現(xiàn)。此外他們還發(fā)現(xiàn)了一種未知的新型重整子非微擾貢獻[18]。這些工作對于人們進一步認識量子場論中的重整子效應(yīng)有非常重要的作用。

除了這些典型的量子場論，復現(xiàn)理論在一些非典型的場論中也得到了廣泛的應(yīng)用。比如有人討論了在描述高溫等離子體的相對論性流體力學中如何利用復現(xiàn)理論來描述能動張量場，還有人討論了如何在宇宙學中應(yīng)用復現(xiàn)理論。除此之外，量子場論中一個最新的進展是對量子場論進行各種保持其良好性質(zhì)的形變。其中一個比較特殊的形變是形變。這是對二維量子場論的一種特殊形變，可以保持場論的量子可積性，但同時會顯著改變場論的高能性質(zhì)，為場論的紫外行為提供了不同于朗道極點和漸近自由的第三種可能性。然而，形變后的物理量計算較為復雜，通常只能進行微擾計算。筆者和江云峰于2024年合作，在形變的二維共形場論中應(yīng)用復現(xiàn)理論，找到了形變理論相對于形變參數(shù)的微擾級數(shù)具有非微擾貢獻的決定性證據(jù)[19]。

最后，弦理論中也有大量豐富的非微擾貢獻，可以用復現(xiàn)理論進行研究。弦理論是對引力量子化的一種重要嘗試。弦理論認為所有微觀粒子，包括描述引力相互作用的引力子，都可以用一根弦的不同的振動模式來表示。一個相對簡單的弦理論模型是拓撲弦理論，可以看作是緊致到卡拉比—丘六維流形上的弦理論的一個簡化版本。拓撲弦理論中的一個重要物理量是真空自由能，用來描述真空中量子漲落的強度。這是一個關(guān)于弦耦合參數(shù)的發(fā)散級數(shù)，可能會有非微擾修正。自2006年開始，Marcos Mari?o、Ricardo Schiappa等人開始用復現(xiàn)理論對拓撲弦可能受到的非微擾貢獻進行研究[20]。他們發(fā)現(xiàn)證據(jù)表明，拓撲弦的真空自由能可能會有來自瞬子的貢獻，可以用弦理論的D膜來描述。自2022年以來，筆者與合作者們通過一系列工作，通過結(jié)合全純反常方程和復現(xiàn)理論工具，完整地求解了瞬子對真空自由能貢獻的非微擾級數(shù)的可能形式[21]。在這些結(jié)果的基礎(chǔ)上，人們可以寫下包含了所有瞬子非微擾貢獻的完整的真空自由能。

06

總結(jié)和展望

總而言之，復現(xiàn)理論是一種研究非微擾貢獻的強大理論工具。復現(xiàn)理論在包括量子力學、量子場論和弦理論等各個領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用前景，同時復現(xiàn)理論也帶來了更多的挑戰(zhàn)。復現(xiàn)理論作為一個數(shù)學理論給量子場論等物理學領(lǐng)域帶來的承諾非常誘人，從微擾級數(shù)出發(fā)就可以獲得關(guān)于非微擾貢獻的信息。但是在實際應(yīng)用過程中，因為微擾級數(shù)本身的信息往往就是不完整的(通常只有少數(shù)幾項的系數(shù))，我們需要結(jié)合針對具體物理模型開發(fā)的其他技術(shù)工具才能更好地發(fā)揮復現(xiàn)理論的威力。這在操作過程中更像是一門藝術(shù)。其次，為了在描述現(xiàn)實世界的量子場論中更好地應(yīng)用復現(xiàn)理論，我們需要更好地認識重整子效應(yīng)，在這方面還需要很多的工作。

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（參考文獻可上下滑動查看）

量子場論中的非微擾方法專題

《物理》50年精選文章