一、題目

如圖，四邊形ABCD和四邊形EBFH是兩個全等的矩形，AB=BF，BC=BE，G是AD中點，四邊形ABCD的面積是30，BG=6，則DH=______.

二、分析

這道題其實是一份模擬卷的22題(3)小問，其中第(2)問是讓判斷BG與DH的位置關(guān)系并證明。

常規(guī)做法需要借助第(2)問的結(jié)論來求解第(3)問，第(2)問中G是AD上任意一點，證明BG⊥DH主要有兩種思路：①延長BG與DH相交，直接證垂直；②利用垂直平分線的判定直接證明BG垂直平分DH.

有了第(2)問的結(jié)論后，由△BAG∽△DIG即可求出ID，進(jìn)而得到DH

三、解答

1、證BG垂直平分DH

這里采用思路①

延長BG交DH于點I

易證△BAG≌△BFG（HL）

∴∠1=∠2，AG=FG

∴∠3=∠4，GH=GD

由等腰三角形的三線合一，可得

BG垂直平分DH

2、利用相似求ID

易證△BAG∽△DIG（直角+對頂角）

∴AB/ID=BG/DG

∵矩形ABCD的面積是30，G是AD中點

∴AB·AG=15

設(shè)AG=DG=x，則AB=15/x

在RT△ABG中，由勾股定理可得

x^2+(15/x)^2=6

（這個方程看看就好，不要去嘗試解它，解不出來^_^）

很多同學(xué)解到此處就走不下去了，這個方程太難解了！事實上根本不需要解它！我們要求的是ID，直接把AG、DG、BG代進(jìn)AB/ID=BG/DG中看看會發(fā)生什么？

神奇的事情出現(xiàn)了！

(15/x)/ID=6/x

無需知道x的值，直接就能求出ID=5/2

∴DH=5

3、脫離原題第(2)問直接求DH

這道題原本的設(shè)計思路可能是想讓你順著第(2)問的結(jié)論來解第(3)問，但事實上脫離第(2)問的結(jié)論后還有更簡單的方法。

如圖，連接AF

易證△GAF≌△GDH

所以DH=AF

∵G是AD中點

∴箏形ABFG的面積等于矩形ABCD面積的一半

∴1/2·BG·AF=1/2×30

∴DH=AF=5

四、小結(jié)與反思

1、利用整體思想簡化計算

從小學(xué)高年級開始，許多題目，尤其是圓的表面積體積等計算，往往最后再乘3.14會比較簡單，上了初中之后涉及計算的題目也同樣，整體審視、統(tǒng)籌全局往往會有意想不到的效果，一道題目如果中間數(shù)字比較復(fù)雜，不妨通過變形把最終要求的結(jié)果直接用已知數(shù)據(jù)表示，對于最終結(jié)果是近似數(shù)的更要減少中間數(shù)字以減少誤差。

2、舉一反三

本題的解法同樣適用于G是AD的三等分點，只要知道G再AD上的位置，就可求出DH的長。

3、換個角度看問題

從圖形構(gòu)成角度來講，本題既可以看成由兩個矩形旋轉(zhuǎn)而成，也可以看成兩個矩形對稱構(gòu)成，BG正好是兩個矩形的對稱軸。

圖形構(gòu)成的方法無非就是：平移、旋轉(zhuǎn)、對稱（軸對稱）、位似。

最后附上原題圖片