一題多解，各顯神通

2023年北京中考數(shù)學(xué)第27題

優(yōu)秀的初中幾何壓軸題，通常情況下入口較寬，以容納不同思維習(xí)慣的學(xué)生，無(wú)論擅長(zhǎng)哪種幾何構(gòu)型，都能找到不同的解題思路。對(duì)于學(xué)生而言，解題思路一定要從題目條件出發(fā)，順藤摸瓜，分析每個(gè)條件背后的含義，將可能推導(dǎo)出的結(jié)論連接成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)；對(duì)于教師而言，命制一道優(yōu)秀的幾何題，離不開(kāi)對(duì)平時(shí)教學(xué)的研究，特別是幾何圖形間的內(nèi)在聯(lián)系。

題目

在△ABC中，∠B=∠C=α(0°<α<45°)，AM⊥BC于點(diǎn)M，D是線段MC上的動(dòng)點(diǎn)(不與M，C重合)，將線段DM繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2α得到線段DE.

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)，求證：D是MC的中點(diǎn)；

(2)如圖2，若在線段BM上存在點(diǎn)F(不與B，M重合)滿足DF=DC，連接AE，EF，直接寫(xiě)出∠AEF的大小，并證明.

解析：

01

(1)我們首先連接ME，由旋轉(zhuǎn)可知，△DME為等腰三角形，如下圖：

因?yàn)椤螮DM=2α=2∠C，且∠EDM是△CDE外角，于是∠DEC=∠C，得DE=DC，我們得到DE=DC=DM，即點(diǎn)D是MC中點(diǎn)；

02

(2)緊接前面的思考，尋找前后兩小問(wèn)間的聯(lián)系，現(xiàn)在點(diǎn)D依然是中點(diǎn)，但不是MC中點(diǎn)，而是FC中點(diǎn)，由旋轉(zhuǎn)DE=DM且∠EDM=2α依然成立；

然后我們分析出現(xiàn)在BC邊上的兩個(gè)中點(diǎn)M和D，BM=CM=1/2BC，DF=DC=1/2CF，其中BC-FC=BF，CM-DC=DM，所以我們還能得到DM=1/2BF，考慮到線段DM的端點(diǎn)D為中點(diǎn)，因此我們可構(gòu)造中位線模型，如下圖：

01

方法一

延長(zhǎng)FE至點(diǎn)G使EG=FE，連接AG，CG，AF，顯然DE是△CFG中位線，因此DE=1/2CG，于是BF=CG，再加上AB=AC，觀察圖中的△ABF和△ACG，我們來(lái)證明它們?nèi)龋F(xiàn)在只差一個(gè)條件即夾角相等；

由中位線DE∥CG，得∠DCG=∠MDE=2α，所以∠ACG=α=∠B，于是△ABF≌△ACG，所以AF=AG，在等腰△AFG中，由三線合一可證AE⊥FG，即∠AEF=90°；

繼續(xù)探索新的解題思路：

02

方法二

連接AF之后，在Rt△AFM斜邊上取中點(diǎn)G，再連接DG，我們又得到一條中位線，如下圖：

再連接GM，GE，由直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半，可得GM=1/2AF，由DG∥AC可得∠MDG=∠C=α，于是∠MDG=∠EDG=α，所以可證明△MDG≌△EDG，得到GM=GE，我們證明了GE=1/2AF，接下來(lái)可利用三角形內(nèi)角和證明∠AEF=90°；也可證A、E、F三點(diǎn)共圓，從而∠AEF=90°；

在前面的探索過(guò)程中，我們還可以選擇另一條路：

03

方法三

連接AF，EM，過(guò)點(diǎn)D作EM的垂線DG，如下圖：

這顯然是利用等腰△EDM中三線合一，得到Rt△DMG，以及∠MDG=α，其中∠MDG+∠DMG=90°，∠AME+∠DMG=90°，所以∠AME=∠MDG=α=∠B，我們觀察△ABF與△AME，推導(dǎo)如下:

于是我們能證明△AME∽△ABF，并由這一對(duì)相似三角形得到AM:AB=AE:AF，再證明∠BAM=∠FAE，即可得到第二對(duì)相似三角形，△ABM∽△AFE，于是∠AEF=∠AMB=90°；

探索到這個(gè)份上，已經(jīng)出現(xiàn)過(guò)多次直角三角形，顯然我們還可以利用共圓來(lái)證明：

04

方法四

我們將DE延長(zhǎng)，交AC于點(diǎn)G，連接AF，F(xiàn)G，EM，如下圖：

借助第1問(wèn)的推導(dǎo)，我們可證明DC=DG=DF，于是點(diǎn)C、F、G三點(diǎn)共圓，且CF為直徑，所以∠FGC=90°，于是得到另外一個(gè)直角三角形，Rt△AFG，再觀察Rt△AFM，它們有公共斜邊，于是A、F、M、G四點(diǎn)共圓，不妨作出這個(gè)圓，可知DG與圓相交于點(diǎn)E，即點(diǎn)E也在這個(gè)圓上，于是直徑所對(duì)圓周角∠AEF=90°.

解題反思

本題解法還能繼續(xù)探索，和已有的中位線、全等三角形、相似三角形、圓等思路相比，不過(guò)是不同的排列組合，也就是說(shuō)，無(wú)論學(xué)生對(duì)以上主體思路中哪一種較為擅長(zhǎng)，終能找到適合自已的方法。

對(duì)平時(shí)教學(xué)的指導(dǎo)意義，本題圖形結(jié)構(gòu)較為簡(jiǎn)單，一個(gè)等腰三角形，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，賦予旋轉(zhuǎn)和中點(diǎn)意義之后，整個(gè)圖形就活了，既能構(gòu)造旋轉(zhuǎn)全等或相似，也可以構(gòu)造中位線，并且相互關(guān)聯(lián)得到更多新的結(jié)論，其中豐富的直角三角形，除了用于導(dǎo)角之外，還可以借助斜邊上的中線，以及尋找共斜邊的直角三角形，發(fā)現(xiàn)隱圓，從而由直線型跳到圓弧型構(gòu)圖。我們?cè)诔踔腥甑膸缀谓虒W(xué)中，是否引導(dǎo)學(xué)生深入理解圖形構(gòu)造，顯得極為重要。在解題思路的引導(dǎo)上，上述方法均由條件出發(fā)，借助平時(shí)例題或習(xí)題中的常見(jiàn)思維，得到最后的結(jié)論，所以在課堂教學(xué)中，也需要做到緊貼教材，不出現(xiàn)偏、難、怪的習(xí)題。

這道幾何壓軸題，僅僅用八年級(jí)數(shù)學(xué)知識(shí)，也能求解，并且難度不低，一道題目的區(qū)分度，不一定非要用九年級(jí)知識(shí)，這不禁令我想起了講過(guò)的那年溫州一次函數(shù)壓軸題，命題者沒(méi)有給自已設(shè)定條條框框，也沒(méi)有出現(xiàn)思維慣勢(shì)，我的思考是，為什么幾何壓軸題一定要用某種模式？不僅束縛了命題，也束縛了教師備考，更束縛了學(xué)生思維。

解題教學(xué)一直是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，在張欽博士主編的《從優(yōu)秀試題研究中領(lǐng)悟初中數(shù)學(xué)教學(xué)》一書(shū)，便從全國(guó)各地壓軸題中遴選，并由一群熱愛(ài)數(shù)學(xué)教學(xué)的教師編寫(xiě)，此書(shū)非常適合青年教師閱讀，從中獲得成長(zhǎng)，強(qiáng)烈推薦！

教研參考書(shū)籍推薦

《從優(yōu)秀試題研究中領(lǐng)悟初中數(shù)學(xué)教學(xué)》（張欽著）

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