女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

藝術(shù)和建筑中的設(shè)計過程通常涉及相對少量的幾何元素的組合和操作，以創(chuàng)建底層結(jié)構(gòu)和覆蓋的裝飾細(xì)節(jié)。在本文中，我們將重點放在由一個單一的幾何形狀——圓復(fù)制而成的圖案上。圓形是一個非常重要的形狀。憑借其簡單性和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，它已經(jīng)被許多不同的文化推崇了幾千年，象征著上帝、統(tǒng)一、完美、永恒、穩(wěn)定等。例如，拉爾夫·瓦爾多·愛默生認(rèn)為圓是“世界密碼中最高的象征”[Emerson 1920]。

圓形玫瑰花結(jié)

圓形玫瑰花結(jié)有著悠久的歷史，至少可以追溯到6000年前，例如在埃及、巴比倫、亞述和希臘文化中很流行[Goodyear 1891]。羅爾斯的綜合著作[Rawles 1997]中給出了奧西里斯神廟相交圓的一些吸引人的排列的例子(例如，所謂的生命之花和種子)。后來，玫瑰花結(jié)成為羅馬建筑中流行的地板裝飾圖案[Schmelzeisen 1992]。一個更現(xiàn)代的現(xiàn)象是越來越多的人看到麥田怪圈。不考慮它們來自地球外的真實性問題，值得注意的是，許多涉及交叉圓形成玫瑰狀圖案。事實上，圓形玫瑰花結(jié)出現(xiàn)在許多意想不到的地方，從人孔[Melnick 1994]到達(dá)芬奇的繩結(jié)圖案，再到鐘面和花園籬笆(圖1)。

圖1 圓形玫瑰花結(jié)

圓形玫瑰花結(jié)是通過復(fù)制一個圓并圍繞一個點(玫瑰花結(jié)的中心)旋轉(zhuǎn)它們而形成的(圖2)。

圖2 圓形玫瑰花結(jié)的兩個例子。

如果圓的半徑r等于旋轉(zhuǎn)點和圓心之間的距離d，那么所有的圓都在玫瑰形的中心相交(圖3a)。如果圓的半徑小于d，那么它們不會到達(dá)玫瑰花結(jié)的中心，形成一個洞(圖3b)。

圖3 由30個半徑為(a) r = d，(b) rd的圓組成的圓形玫瑰花結(jié)。

同樣，當(dāng)圓的半徑大于d時，會產(chǎn)生一個明顯的洞，盡管在這種情況下，所有的圓都包含玫瑰形中心。我們還看到，隨著用于產(chǎn)生玫瑰花結(jié)的圓的數(shù)量增加，玫瑰花結(jié)的外周長的包絡(luò)收斂于半徑為r+d的圓，而內(nèi)圓的包絡(luò)是半徑為d的圓。因此，我們有一個奇怪的方面，即對于固定值v，不管r=d+v還是r=d-v，都產(chǎn)生相同尺寸的內(nèi)圓孔。

為了簡化問題，我們只考慮圓在玫瑰形中心相遇的第一種情況。圓之間的交點由下式給出

其中，t是連續(xù)圓之間的角度增量，即，如果有N個圓，則t=2π/N，N是交叉點級別，1表示最靠近玫瑰花結(jié)外圍的交叉點，表示最靠近玫瑰花結(jié)中心的下一個級別，依此類推。這使我們能夠通過對玫瑰花結(jié)的目視檢查來驗證一些特性。首先，除了玫瑰花結(jié)最里面和最外面的區(qū)域，由重疊圓圈形成的空隙形成了一種曲線菱形(見下圖9)。不僅這些空隙的所有邊都等長，而且所有空隙的邊都等長。第二，有N/2圈空隙。在中心環(huán)中，它們的縱橫比為1:1，而從該環(huán)向外移動時，兩側(cè)的縱橫比對稱地增加。也就是說，中環(huán)兩側(cè)的相應(yīng)間隙具有相同的縱橫比，但旋轉(zhuǎn)了90°。相比之下，由對數(shù)螺線構(gòu)建的玫瑰花結(jié)的空隙保持相同的形狀(和縱橫比)，但隨著它們從玫瑰花結(jié)中心向外輻射，其尺寸只會增加[Williams 1999]。當(dāng)更多的圓圈組成玫瑰花結(jié)時，自然會產(chǎn)生更多的空隙。不僅如此，它們的長寬比的變化率也會發(fā)生變化。具有很少圓圈的玫瑰花結(jié)的空隙具有在[0，1.5]范圍內(nèi)相當(dāng)均勻分布的縱橫比，而對于包含許多圓圈的玫瑰花結(jié)，大多數(shù)空隙接近1:1。這在圖4的圖表中得到驗證，該圖表顯示了每個環(huán)與其向內(nèi)相鄰的環(huán)的縱橫比。

圖4 顯示在玫瑰花叢中間距長寬比增加和減少的變化率的曲線圖。

由于其類似透視的收縮，玫瑰環(huán)的外半部分給人一種視覺印象，即有一個遠(yuǎn)離觀察者的三維球面彎曲。為了避免這種情況，并確保玫瑰花結(jié)給人一種類似星爆的輻射效果，許多為人行道設(shè)計的圓形玫瑰花結(jié)只使用內(nèi)環(huán)，去掉中環(huán)以外的部分。

五盤問題

既然我們已經(jīng)確定了圓的交點，現(xiàn)在就很容易解決幾何五圓盤問題[Weisstein 1998],設(shè)置如下(圖5)。給定五個大小相等的圓盤，關(guān)于給定的中心對稱放置，確保圓盤覆蓋的圓形區(qū)域的半徑等于1的最小圓盤半徑是多少？所要做的就是求解給定圈數(shù)N=5時相對于r的xi(1)^2+yi(1)^2=1，結(jié)果得到解r=1/π。

圖5 五盤問題。陰影圓的半徑應(yīng)該等于1。

我們還可以確定N的其他值的解，例如，對于四個圓：r=1/√2，對于六個圓：r=1/√3。

內(nèi)旋輪線

將玫瑰圖與稱為內(nèi)旋輪線的解析曲線進(jìn)行比較是很有趣的，內(nèi)旋輪線是通過描繪在另一個固定圓內(nèi)滾動的圓上的固定點而產(chǎn)生的。參數(shù)方程給出的簡化形式

產(chǎn)生與圓形玫瑰花結(jié)非常相似的圖案，如圖6所示。參數(shù)q決定了葉的數(shù)量，并且可以修改方程來增加和減少葉的豐滿度。

圖6 非常類似圓形玫瑰花結(jié)的內(nèi)旋輪線。

人們可以推測，阿爾布雷特·丟勒可能也注意到了這種相似性。除了他的藝術(shù)作品，他意識到數(shù)學(xué)可以為藝術(shù)家提供強大的工具，并對藝術(shù)和數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系感興趣。這導(dǎo)致他成為一個重要的文藝復(fù)興時期的數(shù)學(xué)家(至少就幾何學(xué)的早期傳播而言，而不是該領(lǐng)域的擴展)。在他的著作《Unterweisung der Messung MIT DEM Zirkel und Richtscheit》中，他不僅描述了一種設(shè)計圓形玫瑰地板圖案的方法，還描述了大量曲線的構(gòu)造，包括外擺線(心形)[Dürer 1977]。

內(nèi)旋輪線不是唯一與玫瑰花結(jié)外觀相似的曲線。事實上，1728年Guido Grande發(fā)表了《Flores Geometrici》，描述了一系列產(chǎn)生花狀圖案的曲線。

形式上的變化

從基本的圓形玫瑰花結(jié)開始，我們可以在它的結(jié)構(gòu)上做出許多變化。例如，旋轉(zhuǎn)的圓可以由其它形式代替，例如圖7a所示的橢圓。如果橢圓的拉伸是足夠的，那么空隙就表現(xiàn)出介于圓形和螺旋形玫瑰花結(jié)之間的特性。例如，在所示的例子中，菱形空隙隨著從玫瑰花結(jié)中心向外移動而變得更加緊密。與圓形玫瑰花結(jié)相比，縱橫比的變化較慢。此外，縱橫比不達(dá)到1∶1，因此不包含在中間環(huán)的任一側(cè)具有相同縱橫比的對稱間隙環(huán)。空隙縱橫比的變化率取決于組成玫瑰花結(jié)的橢圓數(shù)量及其偏心率。因此，如果產(chǎn)生一系列玫瑰花結(jié)，其中橢圓的偏心率逐漸減小，變得更圓，則1∶1空隙的環(huán)出現(xiàn)在玫瑰花結(jié)的外圍，并向內(nèi)朝著玫瑰花結(jié)的中環(huán)移動。

圖7b和7c示出了以另一種方式拉伸橢圓的效果，使得它延伸穿過玫瑰花結(jié)，而不是從中心向外突出。當(dāng)包含足夠多的橢圓時，就產(chǎn)生了網(wǎng)格圖案，其中出現(xiàn)了各種形狀的空隙。此外，在中心形成一個半徑等于橢圓短軸長度的圓環(huán)。在圖7d和7e中，生成圓已經(jīng)被超橢圓代替[Gardner 1965](實際上是超圓，因為它們的長寬比為1)。由于輕微彎曲的邊和尖銳的角的混合，一個更有活力的自然被創(chuàng)造出來，因為空隙似乎螺旋進(jìn)入中心，從那里出現(xiàn)了幾個蓮花形狀。

圖7 使用替代旋轉(zhuǎn)形式創(chuàng)建的玫瑰花結(jié)。

如果圓形玫瑰花形在任何方向上均勻拉伸，這將導(dǎo)致玫瑰花形整體呈橢圓形(圖8a)。旋轉(zhuǎn)的圓將變成橢圓，盡管其偏心率有所不同，與上例中的橢圓不同。

另一個以橢圓為主題的變化是由米開朗基羅設(shè)計的坎皮多利奧人行道(雖然直到1940年才開始實施)。最終版本顯示了比上述均勻拉伸更微妙的結(jié)構(gòu)。內(nèi)環(huán)是一個圓，連續(xù)的環(huán)逐漸拉伸，以便逐漸過渡到外橢圓。

其他圖案可以以類似于圓形玫瑰花結(jié)的方式構(gòu)建，但是修改圓的位置和/或它們的大小。例如，圖8b和8c中的腎形線和心形線對于圓保持與玫瑰花結(jié)相同的位置，但是它們的半徑是位置的函數(shù)。

圖8 圓形玫瑰花結(jié)的進(jìn)一步變化。

連接的變化

再次從基本的圓形玫瑰花結(jié)開始，輪廓可以通過各種圖形方式進(jìn)一步表達(dá)[Williams 1997]。同樣由米開朗基羅設(shè)計的Laurenziana圖書館的路面從兩個方面改進(jìn)了基本的玫瑰花結(jié)。它是由兩個玫瑰組合而成，第二個相對于第一個略微旋轉(zhuǎn)[Nicholson and Kappraff，1998；Kappraff 1999]。此外，空隙內(nèi)還畫了橢圓。

即使將圖案簡化為具有無限薄邊界的單個玫瑰花結(jié)，并將橢圓與圓對接，仍然會產(chǎn)生難以分析的幾何圖案。主要問題涉及橢圓，因為確定內(nèi)接橢圓并不簡單。

為了簡化分析，我們將曲線菱形近似為標(biāo)準(zhǔn)的直邊菱形(圖9)。然后，我們可以按照繪圖員已知的繁瑣程序來確定平行四邊形的內(nèi)接橢圓[Browning 1996]

圖9 曲線菱形空隙形成圓形玫瑰花環(huán)。

事實上，對于菱形來說，問題大大簡化了。菱形和橢圓的中心重合，我們發(fā)現(xiàn)如果菱形的軸的長度是a和b，那么橢圓的軸的長度是a/√2和b/√2，并且與菱形的共軛直徑對齊。此外，橢圓與菱形的接觸點位于菱形邊的四個中點。我們注意到，這也是牛頓解決的在凸四邊形中內(nèi)接橢圓問題的退化情況[drri 1965]。牛頓發(fā)現(xiàn)所有可能的內(nèi)接橢圓的中心都位于連接四邊形對角線中點的直線段上。對于菱形，對角線的中點是重合的，因此橢圓的位置只有一個解。然而，對于長寬比仍然有多種解決方案。我們所描述的結(jié)構(gòu)最大化了橢圓的面積。

如圖10a所示，由直邊菱形引起的近似引起的誤差可能很大。橢圓看起來大小合適，但是向玫瑰花結(jié)的中心移動。隨著圓圈數(shù)量的增加，組成菱形邊的弧線變短，從而降低了總曲率。這意味著近似誤差也減小了，如圖10b所示，橢圓更好地擬合了空隙。

測試了幾個簡單的修正，看看是否有一個簡單的程序可以更準(zhǔn)確地記錄橢圓。第一次校正是基于菱形的兩個角，這兩個角與玫瑰中心的距離相等。我們最初的方法有效地將它們的平均值作為中心，因此該中心比角更靠近玫瑰中心。因為看到這實際上是太深入，我們考慮推出橢圓，使他們的中心變得與菱形的角落等距。這是通過選取一個角點并旋轉(zhuǎn)它，使其與通過菱形中心的光線對齊來實現(xiàn)的。圖10c表明，盡管橢圓不再與它們的鄰居接觸，但誤差已經(jīng)大大減小。第二種校正方法是考慮形成空隙的真實圓和直線近似之間的最大誤差。這是ri=√(r^2-c^2/4)其中c是菱形邊的長度。最大誤差出現(xiàn)在菱形邊的中點，也就是橢圓應(yīng)該接觸的地方。通過這個校正因子，沿著光線從玫瑰中心推出菱形中點，產(chǎn)生更好定位的橢圓。即使玫瑰花結(jié)中只有幾個圓圈，誤差也幾乎看不見(圖10e)。這種方案優(yōu)于更復(fù)雜的方案的一個優(yōu)點是，由于空隙的長度都是相等的，所以對于整個玫瑰花結(jié)只需要計算一個修正值。這也導(dǎo)致橢圓與它們的鄰居保持聯(lián)系。

圖10 a，b)位于菱形中心的橢圓；c，d)位于菱形旋轉(zhuǎn)角上的橢圓；e，f)位于菱形中心的橢圓，帶有曲率校正。

月牙形

我們可以看到，每一對相鄰的圓都會產(chǎn)生一個新月形的切面，這個切面被稱為 "月牙形"。月牙形的一個有趣之處在于它與經(jīng)典的 "圓的平方 "問題有關(guān)。公元前五世紀(jì)，希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底成功地將月牙形變?yōu)檎叫危此ㄔ炝艘粋€面積與月牙形相等的正方形。當(dāng)然，雖然這是一個令人印象深刻的壯舉，但不幸的是，這并沒有使他更接近于把圓變平方！

我們可以把內(nèi)切橢圓看作是擠在月牙形中的，它們的中心將位于月牙形的中間——也就是所謂的中軸線上。作為一個更簡單的問題，我們可以考慮如圖 11 所示的帶內(nèi)切圓的月牙形。

圖11 刻在月牙上的圓。

這種結(jié)構(gòu)讓人聯(lián)想到哥特式玫瑰窗的裝飾，例如森斯大教堂的玫瑰窗 [Heilbron 1998]。我們通過尋找與楔形窗兩條弧線相切的圓心的位置來確定中軸線。在我們對月琴的分析中，其邊界圓弧的中心分別為 (0,0) 和 (0,m)，我們可以證明中軸線是一個橢圓，其中心為 (0,m/2)，半軸長度為 a=r，b=1/2√(4r^2-m^2)。設(shè)置 r=1，并繪制出 m 值（以 r 為單位）不斷增大時中軸的長寬比 a/b，我們可以看到，除了當(dāng)月輪的兩個圓相距甚遠(yuǎn)，幾乎沒有交集時，中軸一般都是圓狀的（圖 12）。隨著圓的完全分離（即 m 值接近 2r），中軸的長寬比趨于無窮大。

圖12 新月中軸的長寬比，是圓間距的函數(shù)(m以r為單位)。

當(dāng)然，這種程度的間隔不會出現(xiàn)在玫瑰花形中，因為最極端的情況是只有三個圓（盡管此時沒有菱形間隔來刻畫橢圓）。此時相鄰圓心之間的距離為 √3r，從圖中可以看出，這發(fā)生在圓心距離增大導(dǎo)致大偏心之前。事實上，在三個圓的情況下，橢圓的長寬比正好是2。

內(nèi)切圓

通過研究，我們發(fā)現(xiàn)內(nèi)切圓出現(xiàn)得非常有規(guī)律，不僅僅是作為數(shù)學(xué)問題，而是在跨越藝術(shù)和科學(xué)的各種上下文中。如前所述，它們經(jīng)常出現(xiàn)在哥特式窗飾中。羅伯特·比林斯給出了一個廣泛的例子，他在19世紀(jì)發(fā)表了100種幾何窗飾的設(shè)計，以及基于四個圓接觸一個外圓的構(gòu)造圖[Billings 1849]。幾年后，他繼續(xù)這一主題，并發(fā)表了另外100個設(shè)計(見圖13)，這一次完全基于三個內(nèi)圓，彼此相切以及外圓[Billings 1851]。

圖13 Billing的100張圖中的一張圖，顯示了幾何窗飾圖案及其基本結(jié)構(gòu)。

也許最著名的刻圓例子是亞歷山大的帕普斯，他在兩千多年前描述了如何在阿貝羅斯——一種形狀像鞋匠的刀的圖形——上刻圓。最近，丟勒也開始使用內(nèi)切圓作為一種“有序”分割透鏡的方式，如圖14所示。

圖14 丟勒對透鏡的細(xì)分。

這個圖表可以通過以下方式生成。設(shè)形成透鏡的兩個圓的圓心在，半徑為r。內(nèi)接圓位于，半徑為ri:

月子上的圓的方程也可以確定，盡管這個過程比較費力(見附錄)。這使我們能夠在由相交的圓組成的圓形玫瑰花結(jié)形成的月形中插入圓，如圖15所示。

玫瑰花結(jié)包含兩組月牙形；圖 15a 顯示了只填充一組月牙形的效果。這些圓可以被看作是位于月牙的放射臂上。或者，從玫瑰花結(jié)中央沿著月牙形向外移動，所有月牙形的刻圓在玫瑰花結(jié)內(nèi)形成一個環(huán)形鏈。雖然最初的圓很小，但圓環(huán)的半徑也很小。這兩個圓的半徑都在增大，直到達(dá)到圓環(huán)的中點。此后，圓圈逐漸變小，而圓環(huán)的半徑繼續(xù)增大，從而形成越來越稀疏的圓環(huán)。如果兩組月牙形都以圓圈刻劃（圖 15b），圓圈會相交（最外圈除外），從而產(chǎn)生額外的月牙形系列。

圖15 圓形玫瑰花結(jié)，額外的圓刻在新月上。

內(nèi)切圓的更多實際應(yīng)用經(jīng)常出現(xiàn)在工業(yè)設(shè)計中，通常作為一種在最小化重量或材料的同時提供強度的手段。在十八世紀(jì)的橋梁設(shè)計中可以看到一對對比鮮明的例子。在圖16a所示的桑德蘭鐵橋中，圓圈可以被認(rèn)為主要是為了加強結(jié)構(gòu)。另一方面，龐蒂普里德石橋(見圖16b)中的內(nèi)接圓圈是穿過拱肩的圓柱體，以減輕重量，因此看起來是內(nèi)接圓圈的移除而不是增加。

圖16 包含內(nèi)切圓的橋。

保角映射

承接上文所述的內(nèi)切圓，我們可以將一組內(nèi)切圓變換成我們之前分析過的帶有內(nèi)切橢圓的玫瑰花形圖案。我們將應(yīng)用保角映射，即保留局部角度的變換。這類映射有很多 [Kober 1957]，但我們只考慮 Dixon [1991] 描述的反墨卡托映射。其定義為

它的作用是將(對角線)直線轉(zhuǎn)化為等角螺線。這使我們能夠把平移對稱映射成旋轉(zhuǎn)對稱。

圖17a示出了映射到圖17b中七個同心橢圓環(huán)的七列圓。為便于顯示，各欄的上半部分已被剪去。應(yīng)該注意的是，卵形是蛋形而不是橢圓形，因為它們在接近圖的中心時收縮。每列中的圓位于范圍[0，2p]內(nèi)；增加圈數(shù)會增加徑向分辨率。可以在圖17a的兩側(cè)添加向無限延伸的圓形列，增加圖17b中同心環(huán)的數(shù)量。縮放x值，即執(zhí)行縮放因子s

改變徑向縮放的速率，使橢圓可以拉伸或擠壓任意量。

圖17a還包括已經(jīng)添加的包圍圓圈的空隙，并且它們的映射包括在圖17b中。為了避免線與圓交叉，它們需要形成六邊形元素的網(wǎng)格。映射的六邊形包圍橢圓形，并從玫瑰花結(jié)的中心向外擴展；它們的兩條徑向線保持直線，而剩下的四條線變成(輕微的)曲線。為了形成一個類似于帶有內(nèi)接橢圓的玫瑰花結(jié)的圖案，我們通過相鄰圓之間的接觸點疊加了一個菱形網(wǎng)格(圖17c)。映射后，曲線菱形形成，除了不像真正的圓形玫瑰，他們切斷了橢圓形的細(xì)長條(圖17d)。另一個值得注意的區(qū)別是，這種玫瑰花結(jié)表現(xiàn)得像對數(shù)而不是圓形螺旋玫瑰花結(jié)，橢圓的尺寸增加，同時保持相同的縱橫比[Williams 1999]。

圖17 圓和線的線性網(wǎng)格到螺旋網(wǎng)格的反墨卡托映射。

附錄：月牙上的圓

對于半徑為0的圓弧組成的月牙，我們可以確定圓心為(xn,yn)、半徑為rn的內(nèi)切圓的參數(shù)。第一個圓很簡單:xn =0 y1 =m/2 r1 =m/2。此后，使用三個約束來找到序列中的每個內(nèi)切圓，這些約束涉及與三個圓的切線：組成月形的兩個圓和先前相鄰的內(nèi)切圓。這可以看作是三個畢達(dá)哥拉斯三角形，它們引出三個聯(lián)立方程，可以解出第二個圓

然后我們可以確定圓序列的余數(shù)為

參考文獻(xiàn)

Billings, R.W. 1849. The Infinity of Geometric Design Exemplified. Blackwood and Sons.

——— .1851. The Power of Form applied to Geometric Tracery. Blackwood and Sons.

Browning, H.C. 1996. The Principles of Architectural Drawing. Watson-Guptill Publications.

Dixon, R. 1991. Mathographics. New York: Dover.

D?rri, H. 1965. 100 Great Problems of Elementary Mathematics. New York: Dover.

Dürer, Albrecht. 1977. The Painter’s Manual - A Manual of Measurement of Lines,

Areas and Solids by Means of Compass and Ruler. W. L. Strauss, ed. and trans. New York: Abaris Books.

Emerson, Ralph Waldo. 1920. Circles. In Essays, 1st series. Dent.

Gardner, M. 1965. The superellipse: a curve that lies between the ellipse and the rectangle. Scientific American 21: 222-234.

Goodyear, W.H. 1891. The Grammar of the Lotus. Sampson Low and Co.

Heilbron, J.L. 1998. Geometry Civilized: History, Culture, and Technique. Oxford: Oxford

University Press.

Hughes, T.G., G.N. Pande and C. Sicilia. 1998. William Edwards Bridge, Pontypridd. Proceeding of the South Wales Institute of Engineers 106: 8-18.

Kappraff, Jay. 1999. The Hidden Pavements of Michelangelo’s Lurentian Library. The Mathematical Intelligencer 21, 3 (Summer 1999): 24-29.

Kober, H. 1957. Dictionary of Conformal Representations. New York: Dover.

Melnick, M. 1994. Manhole Covers. Cambridge, MA: MIT Press.

Nicholson, Ben and Jay Kappraff. 1998. The Hidden Pavement Designs of the Laurentian

Library. Pp. 87-98 in Nexus II: Architecture and Mathematics, Kim Williams, ed.

Fucecchio (Florence): Edizioni dell’Erba.

Phillips, G. 1839. Rudiments of Curvilinear Design. London.

Rawles, B. 1997. Sacred Geometry Design Sourcebook: Universal Dimensional Patterns.

Elysian Publishers.

Schmelzeisen, K. 1992. R?mische Mosaiken der Africa Proconsularis - Studien zu

Ornamenten, Datierungen und Werkst?tten. P. Lang.

Weisstein, Eric W. 1998. CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. CRC Press.

Williams, Kim. 1997. Italian Pavements: Patterns in Space. Anchorage Press.

——— . 1999. Spirals and rosettes in architectural ornament. Nexus Network Journal

1:129-138.

Paul Rosin, Rosettes and Other Arrangements of Circles

青山不改，綠水長流，在下告退。

轉(zhuǎn)發(fā)隨意，轉(zhuǎn)載請聯(lián)系張大少本尊，聯(lián)系方式請見公眾號底部菜單欄。

掃一掃，關(guān)注微信公眾號“宇宙文明帶路黨”