中檔題的中等生思維突破

一份有效的數學測試卷，最體現區分度的題目是中檔題，區分對象也是中等生，一道優秀的中檔題，可以有效將學生得分控制在不同區間，越過它，就是中等及以上，越不過，就是中等及以下。在解題耗時上，優秀學生可以迅速找到解題思路并規范完成，中等生則需要較長時間才能找到，而后進生則毫無頭緒，最后只能寫個解。

突破中檔題，關鍵在于對題目條件的解讀，第一是能夠解讀出條件可得出的結論，第二是能找到這些結論間關聯，第三是利用這些一級結論作為條件進行下一步推導。

題目

如圖，銳角△ABC內接于圓O，AD⊥BC，BE⊥AC，OM⊥BC，垂足分別為D、E、M

(1)若∠ACB=60°，求∠ABO的大小；

(2)△OMB與△AEB相似嗎？為什么？

(3)判斷△OBD與△OAE的面積是否相等？并說明理由.

解析：

01

(1)∠ACB是圓周角，它所對的弧AB對著圓心角∠AOB，因此∠AOB=120°，再加上OA=OB，等腰△AOB中，底角∠ABO=30°；

02

(2)△OMB和△AEB均為直角三角形，所以在判斷它們相似的時候，已經具備了一個角相等，在判定相似的各種方法中，兩角條件最容易找，所以很自然地想到去找剩下的一對對應角；

在△OMB和△AEB的銳角中，∠BAE是圓周角，它所對的弧是弧BC，而弧BC所對的圓心角是∠BOC，此處應連接OC，如下圖：

由于OM⊥BC，且OB=OC，因此在等腰△BOC中，可利用“三線合一”證明∠BOM=1/2∠BOC，同時∠BAE=1/2∠BOC，于是∠BOM=∠BAE，我們可證明△OMB∽△AEB；

03

(3)△OBD與△OAE都不是特殊三角形，所以它們的面積首先考慮最基本的面積公式，即底乘高的一半，所以我們需要作出△OAE的高OF，如下圖：

△OBD的面積為1/2BD×OM，△OAE的面積為1/2AE×OF，若是BD·OM=AE·OF，問題就能解決；

思考方向一：能否找到一對相似三角形，它們的對應邊中恰好含有以上4條線段？

答案是否；

思考方向二：這4條線段中，有2條來自于前面剛剛證明的相似三角形，△OMB和△AEB中，前者含有線段OM，后者含有線段AE，更巧的是它們也是對應邊，所以在剩下的2條線段，BD與OF，是否存在于另一對相似三角形中？

答案是存在；

BD所在三角形較多，優先選擇特殊三角形，即Rt△ABD，OF所在三角形也是Rt△AOF，下面我們來尋找它們相似的條件，如下圖：

和前一小題類似，它們已經具備了一對相等的直角，剩下的銳角中，∠ABD=1/2∠AOC，理由是同弧所對的圓周角是圓心角的一半，而∠AOF=1/2∠AOC，理由和上一小題相同，因此可證明△AOF∽△ABD，于是得能成比例線段OF:BD=AO:AB，在前面的△OMB∽△AEB中，得到成比例線段OM:AE=BO:AB，觀察這兩個比例式的右邊，由AO=BO可知它們相等，所以得到新的成比例線段OF:BD=OM:AE，轉換為乘積式為BD·OM=AE·OF，兩邊分別乘以1/2，即得到S△OBD=S△OAE.

解題思考

在讀題過程中，每一句條件的解讀，需要講透，例如第一句“銳角△ABC內接于圓O”，需要認知到三角形的三條邊在圓內都是弦，每條弦都有所對的圓周角和圓心角，并且它的三個內角在圓中的“身份”都是圓周角，完成這個認知上的轉換，后面的推導才有繼續的可能，否則就會始終想不到。

題目中的垂直條件較多，直角多，所以在構造相似三角形的時候，優先考慮直角三角形，這是常規思維。多數中等生具備常規思維是沒問題的，導致找不到合適的相似三角形，是因為沒能將題目條件與結論關聯起來，例如我們在尋找第3小題解題思路的時候，就有不少學生嘗試用割補法，然而試過多次后始終沒辦法將它們割補成規則圖形或面積可求的圖形，這個思路就一開始就歪了。

很多中等生有一個毛病，就是小聰明，自以為想到了別人想不到的方法，殊不知數學題，最講究的恰恰是常規常法，腳踏實地才是最優解，這個心態不變，也極難走出中等生的思維困局。

本題其實已經將思路“梯子”搭好了，第2小題就是明顯的提示，實際解題過程中，能夠完成第2小題的中等生非常多，但基本受困于第3問面積如何表示，當我們讀完題目條件后，應該發現，沒有給出任何線段長度，就已經清楚這個面積是“不可求”或“不須求”，實在沒道理在這條死胡同上耗費更多時間。

我們期望的最佳思路，就是從成功解讀題目條件開始，當學生解題失敗后 ，不妨去問下他們是怎么想的，從學生思路中尋找突破困境的方法，這就是引導。

課堂上的引導，與解題思路的引導，不能說完全相同，前者的引導是基于教師對學生認知的了解作出的課堂行為，是教師主動施加給學生，而后者則是聽取學生思路之后作出的糾正性質的課堂行為，是由學生引發，根據不同學生的思路，引導也不相同，更具個性化。

解題之后的思考，更為重要，當老師在課堂上講完一道題目之后，一定要有留白，即學生自我消化的時間，并且在這個過程中，不要消極等候，而是注重解題后的思維形成引導，簡單說就是告訴學生這樣想是可以的，那樣想是不行的，以此題為證，等等。

從讀題，解題，反思這三個步驟去觀察，讀懂學生，才能讀懂教學。