2023-2024學(xué)年度武漢市東湖高新區(qū)九年級(jí)數(shù)學(xué)第23題

以傳統(tǒng)手拉手模型開(kāi)局，旋轉(zhuǎn)變換中構(gòu)造全等三角形，再通過(guò)面積轉(zhuǎn)換求最值，是解決本題最通常的思路，這類幾何綜合題對(duì)學(xué)生識(shí)圖要求較高，通過(guò)觀察并發(fā)現(xiàn)圖形間的關(guān)聯(lián)，并構(gòu)建相應(yīng)的解題模型，是高效解題的關(guān)鍵因素。

與2024年湖北省統(tǒng)一中考模擬演練的第23題相比，本題第2問(wèn)也是證明中點(diǎn)，并且證明方法類似，這兩道題有很強(qiáng)的關(guān)聯(lián)，尤其是尋求解題思路的過(guò)程。

題目

【問(wèn)題背景】如圖1，已知△ABC和△ADE都是等邊三角形，求證：BD=CE；

【嘗試應(yīng)用】如圖2，在△ABC中，∠BAC=60°在AC上截取AF=AB，連接BF，D為BC上一點(diǎn)，將線段BD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段BE，連接AE并延長(zhǎng)交線段BF于點(diǎn)M，且BM=CF，求證：點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)；

【拓展應(yīng)用】如圖3，在△ABC中，∠BAC=60°，點(diǎn)D為邊AC上的一點(diǎn)，當(dāng)AD>AB時(shí)，連接BD，將線段BD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段BE，連接AE，DE，若AD=4，請(qǐng)直接寫(xiě)出△ABE面積的最大值為_(kāi)_____________.

解析：

01

(1)經(jīng)典手拉手模型，證明△ABD≌△ACE即可，規(guī)范解答如下：

∵等邊△ABC和等邊△ADE

∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°

∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC

∴∠BAD=∠CAE

∴△ABD≌△ACE(SAS)

∴BD=CE

02

(2)利用第1問(wèn)的方法，可以證明△ABE≌△FBD，得到∠AEB=∠FDB，請(qǐng)注意這個(gè)條件用于后面判斷三點(diǎn)共線；

我們將線段BM也繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段BN，并連接DN，如下圖：

用同樣的方法，可以證明△BEM≌△BDN，得到BM=BN，∠BEM=∠BDN，由于∠AEB+∠BEM=180°，所以∠FDB+∠BDN=180°，即F、D、N三點(diǎn)共線；

因?yàn)椤螰BC+∠DBN=60°，同時(shí)利用△BFC的外角∠AFB=60°，得到∠FBC+∠C=60°，所以得到∠DBN=∠C，結(jié)合對(duì)頂角∠BDN=∠CDF，BM=CF，得到BN=CF，所以△BDN≌△CDF，最后得到BD=CD，即點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)；

03

(3)△ABE面積如何變化，在當(dāng)前位置并不好觀察，所以我們利用旋轉(zhuǎn)將其轉(zhuǎn)換到另一處容易觀察的位置，在前面兩個(gè)小題中，用同樣的旋轉(zhuǎn)變換，將△ABE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，如下圖：

我們首先可以得到一對(duì)全等三角形，△ABE≌△FBD，現(xiàn)在觀察△FBD，它的底邊可看作DF，作高BH，不妨設(shè)DF=x，則AF=4-x，由于△ABF是等邊三角形，所以BF=4-x，在△ABF中，BH⊥AF，由三線合一判斷∠FBH=30°，得到特殊直角三角形，Rt△FBH中，F(xiàn)H=2-x/2，于是BH=2√3-√3x/2，我們可得到△FBD的面積，推導(dǎo)如下：

所以△ABE面積最大值為√3.

解題反思

對(duì)于熟悉手拉手模型的學(xué)生來(lái)講，本題中的各種全等三角形很容易構(gòu)建，并且題目也給出了明顯的提示，旋轉(zhuǎn)60°，那么以哪個(gè)點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，沿什么方向旋轉(zhuǎn)，需要進(jìn)行選擇，當(dāng)然一般情況下是為了將條件“集中”到一處，以構(gòu)建特殊圖形，方便求解。

與全省統(tǒng)一中考模擬演練的第23題相比，本題難度有提升，第2問(wèn)就是演練的最后一問(wèn)，即使難度降低，也有不少學(xué)生想不到如何證明中點(diǎn)，可見(jiàn)平時(shí)教學(xué)中對(duì)于此類方法領(lǐng)悟不夠。

湖北省基礎(chǔ)教育首推武漢市，特別是初中數(shù)學(xué)教學(xué)，省內(nèi)老大哥地位不可動(dòng)搖，僅僅從幾何綜合題來(lái)看，用于區(qū)分中等生再合適不過(guò)，對(duì)于學(xué)霸來(lái)講，此題難不倒，但多數(shù)中等生，腦子里沒(méi)有模型，只有套路，那是萬(wàn)萬(wàn)解不出本題的，而要完成從中等生到學(xué)霸的轉(zhuǎn)變，思路解題得失是唯一捷徑，盲目加大解題數(shù)量并不可取。