新定義“和距離”

2024年東城區九年級數學第28題

初中階段數學學習過程中，關于距離的描述，我們先來捊一捊：

1、兩點之間的距離

2、點到直線的距離

事實上它是基于兩點之間的距離定義的，即直線外一點到垂足，這條線段的距離；

3、平行線間的距離

請注意，這個概念并不是在七年級學習平行線之后引入的，而是在八年級下學期學習了平行四邊形之后引入，原因是學生在學習了平行四邊形之后，對這個概念的理解會更深一些，也有更豐富的數學情景去應用這個概念；

4、點和圓的位置關系

事實上圓本身的定義中就包括兩點之間的距離，畢竟圓是由到定點的距離等于定長的所有點的集合；我們判斷點和圓的位置關系時，借助的距離是這個點與圓心的距離，本質上仍然是兩點之間的距離，只不過要和半徑進行比較；

由于圓的旋轉對稱性，通常情況下，將這個點放在經過圓心的直線上，再來看距離比較合適，這也是處理圓相關距離問題的通法；

5、直線和圓的位置關系

這就又回歸到點與直線距離的定義了，只不過這個點是圓心；

6、圓和圓的位置關系

兩個圓的圓心距，仍然是兩點之間的距離，但要考慮半徑對位置關系的影響；

綜上所述，距離這個概念的基石，是兩點間的距離，即連接兩點線段的長度，后續所有相關聯的概念，都要在它的基礎上拓展，區別是“兩個點”身份發生了變化。

2022版義務教育數學課程標準中，對這些概念的要求如下：

63頁：理解兩點間距離的意義，能度量和表達兩點間的距離；

64頁：理解點到直線的距離的意義，能度量點到直線的距離；

66頁：理解兩條平行線之間距離的概念，能度量兩條平行線之間的距離；

我們在新課標附錄2中找到對“理解”二字的解釋，描述對象的由來、內涵和特征，闡述此對象與相關對象之間的區別和聯系。

不得不說，對距離概念的要求，并不低，那我們如何檢測學生對上述概念的理解程度，東城區這道新定義“和距離”給出了一份參考。

題目

解析：

01

(1)我們仍然先來閱讀原題中的這段描述，以期準確把握，理解透徹，再去完成后面的題目。

“和距離”的描述較為簡單，點P，兩條直線，熟悉點到直線距離的學生，應該很容易聯系到過點P分別向這兩條直線作垂線段，這兩條垂線段長度之和即為“和距離”；

回到題目中，兩條直線是兩根坐標軸，給出了三個點坐標，最普通的方法是對每個點求一次到坐標軸距離，再計算“和距離”；

稍用點技巧的方法，是將每個點橫、縱坐標的絕對值相加，畢竟點到坐標軸的距離，我們在七年級學習平面直角坐標系的時候，就知道，可以用橫、縱坐標的絕對值求解。

結果是P1和P2；

02

(2)直線y=-x+3經過一、二、四象限，而在每個象限內，點P關于x軸和y軸的“和距離”略有差別，因此我們需要分類研究：

第一象限，如下圖：

由于直線y=-x+3與坐標軸的夾角為45°，因此上圖中出現了以PA和PB為邊的等腰直角三角形，利用它們，可以得到PA+PB=3，即“和距離”d=3；

第二象限，如下圖：

顯然，僅PB的長就超過了3，因此PA+PB>3；

第四象限，如下圖：

顯然，僅PA的長度也超過了3，因此PA+PB>3；

綜上所述，直線在第二、四象限的部分，“和距離”d>3，而在第一象限部分，“和距離”d=3，所以最小值為3；

如果僅從純代數角度來看，本題也有另外的解法，即設點P坐標為(x,-x+3)，根據“和距離”的定義，d=|x|+|-x+3|，同樣需要分類研究，分別是x<0時，0 3時，細心的朋友應該能發現，這正好對應前面方法中的三個象限，具體過程略過；

03

(3)先按要求作圖，如下圖：

首先觀察直線y=√3x+6，它與x軸交點坐標是(-2√3，0)，與y軸交點為(0,6)，構成了一個特殊直角三角形，與x軸夾角為60°，此時的“和距離”d=PB+PC；

然后我們設法將PB和PC這兩條線段轉換成某一條線段，以方便我們求它的取值范圍，基本思路是“化斜為直”，PC⊥x軸，因此我們轉換目標是線段PB，不妨延長CP交直線y=√3x+6于點F，如下圖：

我們可以求得∠BFP=30°，因此在Rt△BPF中，PF=2PB，所以我們需要找到一條線段，使其等于2PC，方法是利用軸對稱，將線段PC關于x軸的對稱線段找到，由于端點P在圓A上，所以我們將整個圓A關于x軸對稱，得到圓A'，則圓A'上的點即為點P'，如下圖：

現在上圖中的線段PP'=2PC，于是FP'=2(PB+PC)，我們只需要關注線段FP'的變化即可；

線段FP'的一個端點F在直線y=√3x+6上，另一個端點在圓A'上，這顯然與點到直線的距離聯系了起來，我們再次進行轉換，只不過這一次是“化直為斜”，過點P'向直線y=√3x+6作垂線段P'M，如下圖：

Rt△P'MF是含30°的特殊直角三角形，P'F=2P'M，于是我們完成了終極轉換，P'M=PB+PC=d，“和距離”d變成了上圖中的線段P'M；

當直線P'M過圓心A'時，即可找到線段P'M的最大值和最小值，如下圖：

下面我們來計算A'M的長度，直線y=√3x+6與y軸交點為E(0,6)，且點A'(0,-3)，利用特殊直角三角形三邊數量關系求出A'M=4.5，于是P'M最小值為4.5-1=3.5，P'M最大值為4.5+1=5.5，故3.5≤d≤5.5.

解題反思

本題的“和距離”新定義讀起來并不困難，當然是指字面理解，給學生一個較為簡單的環境，例如第1小題，通常這也是我們在新授課中達到的難度，用新課標中的描述就是“理解”，然而新定義題型最關鍵的當然不僅僅只有這個層面，而是要深入理解，并會"運用"，這也是第2小題需要達到的高度；而在第3小題，需要學生利用新的概念，進一步探索，這也是新課標中較高層次的要求，作為壓軸題，正合適。

從給學生講題的角度，要把一道新定義題講清楚，是不容易的，因為這個“清楚”是指學生理解透徹，如果平時概念理解不到位，任憑老師課堂上舌燦蓮花，也是對牛彈琴。所以必須要反思我們的新授課教學，在每一個數學概念生成的時候，有沒有“長偏”？

從命題角度，初中數學可用于進行新定義構建的概念隨處可見，新課標既然要求學生用數學的眼光看待現實世界，實際上老師更應該具備這樣的眼光，數學本身就有極為豐富的情景，可以容納抽象的概念，并提供不同的理解角度，命制一道這樣的新定義壓軸題，并不容易。

從教學評價角度，能夠順利完成本題的學生，無疑具備了較高的數學素養，這樣的學生自然能令老師省心，然而我們的教學，應該面向全體，所以更應該關注那些還不能順利完成的學生，他們的理解究竟在哪一步出了問題？是什么問題？怎樣解決這個問題？等等，有待我們在后續教學中完善。