數學情景中的函數眼光

2023年江西省中考數學第23題

由于俗務繁多，非常遺憾地錯過了陳莉紅老師的講座，不過很幸運的是，互聯網的強大記憶幫助我找到了2021-2023年江西省中考數學的試卷，既然能從研題中找到教學的真諦，那么從試卷去反演那場講座，也具備一定的可行性。江西省的全省統一中考是從2021年開始，至今已經過了3年，簡單回顧前面幾年的壓軸題，2021年是從課本中三角形內角和的剪拼三角形出發，2022年是直角三角板和正方形紙片的綜合實踐活動，2023年則是正方形與直角三角形的綜合實踐活動，可以明確地看出，作為全卷壓軸題，江西省選擇的是綜合與實踐素材，非常具有地方特色，并且已經堅持了三年。

情景這個詞，現在屬于教育熱門詞，數學情景則是指數學活動的環境，產生數學行為的條件。雖然很多非專業人士眼里，只有生活情景才是情景，然而數學本身來源于生活，同樣也有豐富的數學情景，并且更有數學味道。

新課標中對綜合與實踐描述如下：

題目

解析：

01

(1)點P在線段BC上時，CP=t

①當t=1時，則CP=1，在Rt△PCD中，由勾股定理求得DP2=1+2=3，故S=3；

②思路不變，依然在Rt△PCD中，由勾股定理得S=DP2=t2+2，故函數解析式為S=t2+2；

此處并未要求寫出自變量t的取值范圍，因為本小題僅需要從圖1中獲取信息，事實上BC長度可根據圖2中信息求出.

02

(2)點P在線段AB上，當點P與點B重合時為起點，當點P到達點A時為終點.

對照圖2中的拋物線，可知P、B重合時，S=6，即DP2=6，從而利用勾股定理，在Rt△DBC中求出BC=2，于是求出t=2；

或者利用前面已經得到的S=t2+2，將S=6代入，同樣可求出t=2；

圖2中的拋物線可以看出頂點為(4,2)，不妨設其解析式為S=a(t-4)2+2，代入(2,6)，求出a=1，即S=(t-4)2+2；

當點P與A重合時，S=18，代入解析式中，求得t=8，說明8s后，P到達A處，則在AB上運動時間為6s，因此AB=6；

03

(3)我們首先來完善S關于t的函數解析式：

當0≤t<2時，S=t2+2；當2≤t≤8時，S=(t-4)2+2

顯然這是一個分段函數，而且是兩條形狀相同的拋物線，作圖如下：

若存在3個時刻，對應的正方形面積均相等，解讀這句話的含義，我們得回到左圖情景中，當點P在CB和AB上運動時，正方形的邊長DP長度在不斷變化，大體變化趨勢從直觀上可以觀察出來，從C到B的過程中，DP不斷變長，而從B到A的過程中，先變短，到最短處后又變長；

從幾何角度來具體分析，在BC上存在一處，在AB上存在兩處，DP長度相等，即我們如果以D為圓心，適當長為半徑作圓，與線段BC有一個公共點，與線段AB有兩個公共點，如下圖：

在上述變化過程中，圓D的半徑決定了它與線段BC、AB的公共點個數，即面積相等的時刻。

從函數角度來分析，在畫出分段函數之后，存在3個時刻，即意味著作一條水平直線，與這個函數圖象有三個交點，這要直線最低到拋物線頂點處，最高到分段函數的界點處，如下圖：

這兩段拋物線，開口方向和開口大小均相同，則它們一定關于直線x=2軸對稱，而橫坐標為t1和t2對應的點恰好分別在左右分支上，且關于x=2軸對稱，因此它們的中點橫坐標正是2，因此利用中點公式求出t1+t2=4；

同理，在右分支拋物線上，我們還可以得到t2+t3=8，再加上題目條件給的t3=4t1，可組成一個三元一次方程組，當然我們只需要求出t1即可，得t1=4/3，所以此時的正方形DPEF的面積為t2+2=34/9.

解題反思

在2024年湖北省統一中考模擬演練第24題，也是同樣的函數思想，不禁令人聯想，是否在即將到來的省考中，函數思想究竟以何處形式呈現？

本題是典型的雙圖類型，圖1是情景，圖2是函數圖象，這種類型的題目在函數概念教學中時常出現，目的是引導學生觀察圖形的變化，并嘗試以函數視角去理解這種變化，這種數學眼光正是核心素養要求具備的，所以這道題的教學導向非常明確，符合新課標要求。

在第3小題中，學生可以從幾何運動角度去還原整個過程，也可以更進一步，將其背后的函數圖象作出來，這是兩種不同程度的理解，學生需要建立相應的數學模型，這種能力也是核心素養呈現之一。

于是在平時教學中，如何培養學生的這種能力？

以一篇甘肅蘭州張寶瑛老師的論文來開啟思考：