女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

本文重點介紹埃舍爾的圖形作品，其中包括由柏拉圖立體組合產生的多面體或復雜幾何體的圖像，其靈感來自晶體。這位荷蘭藝術家被柏拉圖實體及其衍生多面體的平衡感和完美感所吸引。本文通過概念圖形的再創作，回顧了埃舍爾作品中反復出現的一些實體構成結構的幾何起源。通過繪圖，我們可以更好地理解這些實體的和諧感所依賴的集合規則和嚴格構造。本文通過圖形幾何重讀，引導觀察者更清晰地解讀埃舍爾基于多面體的想象構型。這些實體的圖像可以提供對各種關系和幾何對應關系的直接而有效的視覺解讀。

1 引言

迄今為止，埃舍爾的圖形作品一直是眾多重要研究的主題。許多學者關注他的藝術創作，特別強調他創作的構圖所蘊含的數學思想。實際上，這位荷蘭圖形藝術家的作品是以藝術形式對數學概念的明顯表達，具有強烈的抽象性。事實上，埃舍爾藝術的具象思想所具有的數學傾向，在他的作品中得到了明顯的體現，那就是在他的作品中不斷出現的嚴謹的幾何結構[1]。通過幾何圖形，他將自己的幻想世界轉化為圖像，在這些圖像中，現實與虛構、真實與虛幻交織在一起，呈現出非凡的美感。他的作品之所以取得巨大成功，其重要原因之一就是他能夠賦予形象的數學合理性以藝術價值。

在藝術家的眾多實驗中，本研究探討了表現實體、體積和三維結構的作品。我們特別分析了一些以多面體或由柏拉圖實體組合而成的復雜幾何體為特征的作品，其靈感來自晶體。埃舍爾曾寫道："......晶體的基本規律令人嘆為觀止。它們絕不是人類頭腦的發現；它們獨立于我們而存在"[2]。因此，他一直熱衷于制作三維模型，以再現晶體的幾何形態--規則的多面體或其組合--這也是他圖形創作的靈感和研究來源。本文旨在引導觀察者更深入、更有意識地解讀他所想象的幾何世界。特別是通過圖畫和圖形分析來突出一些典型作品所依據的構圖規則。正如恩斯特寫道："埃舍爾所追求的首先是關于平衡、結構和連續性的理念[......]。埃舍爾從不用語言表達這些想法，但他會在作品中巧妙地表達這些想法"。因此，這里介紹的圖形研究試圖揭示所分析作品的內在邏輯，目的是 "深入其創作的核心，并以此為感知藝術作品的方式增添新的維度"。

2 構圖邏輯與幾何變換

埃舍爾的幾何方法在他的所有藝術作品中都很明顯。自 20 世紀 20 年代到安達盧西亞旅行后，這位荷蘭藝術家一直對鑲嵌圖形感興趣。埃舍爾尤其對通過簡單的幾何變換對基本拼塊進行適當處理，從而覆蓋整個裝飾表面的可能性印象深刻。在他的作品中，我們確實可以發現他同樣善于將伊斯蘭教所珍視的 "虛空的恐怖"（horror vacui）轉化為圖形，而根據馬西儂（Massignon）的說法，這種 "虛空的恐怖"（horror vacui）與原子論的哲學觀點密切相關。在此基礎上，我們可以將世界視為原子的不穩定組合，即形式定義所依賴的單個粒子[3]。

因此，埃舍爾可以利用鑲嵌所依據的幾何原理，將費多羅夫于 1891 年[4]編碼、波利亞于 1923 年[5]示意的 17 組對稱轉化為具有藝術魅力的圖像。其中，簡單幾何變換的使用（通常是組合使用）產生了令人難以置信的各種形象。第一類包括所謂的 "自動變形"，即同構變換--平移、旋轉、中心對稱或軸對稱、滑移反射等。這些變換雖然不改變起始圖形的度量特征，但由于重復了構圖的基本要素，可以對平面進行有規律的細分。第二組則包括符合一般投影法則的幾何變換。最后一類是圖形的變形，但它們保留了不變的投影特性。因此，我們可以找到這樣的組合：例如，基本拼塊被同調地縮小或放大（通過相似性），從而產生具有分形味道的插圖。還有一些作品中，基本拼塊經歷了漸進的具象變形，在連續的階段中完全改變了形狀。在這里，幾何形狀栩栩如生，最后變成人物、植物和動物。當然，我們可以對通過這種變形產生的圖像的視覺趣味、感知和心理價值進行各種考量。然而，埃舍爾善于利用這些潛力來創造三維形狀，將基礎拼塊的模塊性轉化為內在的幾何規則性，這一點值得關注。埃舍爾用 "天使 "和 "魔鬼 "的形象分割平面的研究具有代表性。該作品設計于 1942 年，但從未使用過，1960 年以 "圓極限 IV "為題出版，幾年后被日本雕刻家用作球形雕塑的基礎。如果說《天使》和《魔鬼》中的圖像結構--完全基于同構并無限重復--是根據兩條和四條對稱軸來組織的，那么在圓形構圖（《圓極限 IV》）中則使用了三條和四條對稱軸。在這里，旋轉與擬人化圖像的同形變換相結合。最后，在球形構圖中，對稱軸變成了兩條和三條 [6, 第 40 頁]。然而，作為這些作品結構的基礎，將互補而不留任何空隙的相同圖形組合在一起的邏輯，在整體圖形組織中仍然可以辨認出其原始、合理和幾何的原則（見圖 1）。

圖 1. M.C. 埃舍爾。左：《天使與魔鬼》（1942 年）。中間：《圓極限IV》（1960 年）。右：具有相同圖案的球形雕塑。

3 埃舍爾作品中的多面體和復雜固體

埃舍爾對水晶世界深深著迷，在水晶世界的啟發下，一些實驗又回到了對三維空間的探索。他和他的兄弟貝倫德-喬治（Berend George）都是地質學家，也是萊頓大學的教授，兩人于 1935 年出版了一本關于普通礦物學和晶體學的論文集。這部著作以及與當時的數學家--首先是考克斯特--就這一主題交流的大量思考，激發了他對柏拉圖實體的規則性以及由此衍生出的多元形式的濃厚興趣。在這些實體中，邊和角的一致產生了一種內在的對稱，表現出和諧與完美。因此，他對創造三維模型一直充滿興趣，這些模型再現了晶體形式的幾何圖形--規則的多面體或它們的組合，是他圖形創作的靈感和研究的源泉。因此，埃舍爾用不同的材料（金屬絲、木頭、有機玻璃等）和五柏拉圖實體的不同構型制作模型。在某些情況下，他將這些模型視為獨立的雕塑藝術作品（如 1958 年的木刻《帶花的多面體》），而在另一些情況下，這些模型則是他二維圖形創作的參考面[7]。

埃舍爾的具象作品包括簡單或復雜的多面體，可分為兩類。第一類包括圖形闡述，在這些闡述中，這些實體作為構圖的元素、前景中的主角物體或背景中的具象支撐物（《爬行動物》，1943 年；《星辰》，1948 年；《秩序與混沌》，1950 年；《引力》，1952 年；《帶魔法絲帶的立方體》，1955 年）以其純粹的本質被使用。這些多面體賦予抽象空間以生命，突出了相對性或過渡的概念（從一個平面到另一個平面，或從二維表面到三維空間）（見圖 2）。

圖2：M·C·埃舍爾。左:《秩序與混亂》（1950年）。中心:《星辰》（1948年）。右圖:《引力》（1952年）。

第二類作品中，實體成為建筑構圖的一部分。在某些情況下，它們是建筑空間的裝飾或完成元素（《循環》，1938 年；《瀑布》，1961 年），而在另一些情況下，它們則是空間配置的形式基體。例如，在《立方體空間分部石版畫》（1925 年）中，埃舍爾構想了一種以直角排列的橫梁結構--通過立方體接頭連接--在長度相近的部分相互交叉。這樣，全等的立方體在空間中重復出現。在《雙平面木刻》（Double Planetoid，1949 年）和《四面體木刻》（Tetrahedral Planetoid，1954 年）等木刻作品中，建筑與多面體幾何之間的聯系更為緊密。（圖3）

圖3。M·C·埃舍爾。左:《瀑布》(1961)。中心:《雙平面木刻》(1949)。右圖:《四面體木刻》(1954年)。

特別是在第一幅作品中，兩個正四面體--一個代表人類化的空間，另一個代表自然空間--根據埃舍爾所珍視的二元論原則，"相互滲透，在空間中波動，就像一顆行星，[......]它們共同構成了一個統一體，但卻沒有注意到對方"（埃舍爾，1959 年，14）。然而，在第二種情況下，他想象了一個世界，一個被球體包圍的大型正四面體，其中垂直的元素朝向球體的中心，即重力的支點，而水平表面則支撐著球體的曲率。

但是多面體也可以被視為建造墻壁和結構的元素。在《扁平蟲石版畫》（1959年）中，埃舍爾確實探索了“非立方體石頭【…】”組合的可能性。例如，您可以使用交替、四面體和八面體【…】。對人類來說，它不太實用，因為它沒有垂直的墻壁，也沒有水平的地板”（埃舍爾，1959，14）。結果是一個充滿幻想的世界，幾乎是矛盾的，但具有非凡的藝術興趣（見圖4）。

圖 4. M.C. 埃舍爾。左：《立體空間分割》（1925 年）。右：《扁平蟲石版畫》（1959 年）。

4 多面體的繪制

埃舍爾作品的美隱藏在幾何嚴謹性與表現力的結合之中。這種緊密的聯系在多面體中得到了完美的結合 [8]。多面體的內在構造純粹神秘，激發埃舍爾嘗試平面規則分割和空間細分的各種可能性。與此同時，它們還讓他與觀察者玩起了游戲。通過他的繪畫，我們可以窺見一個有時是不可能的世界，在這個世界里，人類和動物靈巧地活動著。

然而，埃舍爾的創造性想象力遠不止簡單地再現自然晶體（四面體、八面體或立方體）和自然界中的其他一些多面體的形態。他還將阿基米德的多面體和開普勒-普安索的多面體納入形象化的曲目中。13個阿基米德實體源于柏拉圖實體，是通過截去一些角或擴大實體而形成的。與柏拉圖實體類似，阿基米德實體總是凸面的，其面由正多邊形構成，并且在每個頂點上都有相同數量的面匯聚在一起。然而，這些面并不像柏拉圖實體那樣全等。另一方面，開普勒-普恩索的 4 個多面體并不凸，而是以 "星形實體 "的形式出現，具有規則且全等的多邊形面[9]。在這些多面體中，約翰內斯-開普勒（Johannes Kepler，1571-1630 年）研究的前兩個多面體具有五角星面，且都彼此相鄰；路易-普恩索（Louis Poinsot，1777-1859 年）構想的另外兩個多面體具有相互滲透的規則多邊形面。因此，將更多相交的正方形實體組合在一起，就可能產生一系列無限的正方形組合形式 [10]。

從這些考慮出發，通過對概念圖形的重新闡釋，回溯埃舍爾作品中反復出現的一些實體構成結構的幾何起源，似乎很有意思。這樣做是為了更好地理解埃舍爾作品中的集合規則和嚴謹的結構，而這種和諧感正是這位荷蘭藝術家的魅力所在[11]。

我們的想法是通過繪制，讓人們看到這些實體栩栩如生的關系和幾何對應關系，突出形式上的顯著復雜性在生成矩陣中是如何等同于極端簡單性的。例如，小十二面體是一種規則的實體，是五角星的二維類似物。這是由十二面體和倚靠在其表面上的十二個規則金字塔復合而成的形態。這相當于假定金字塔的高度使多面體的所有外部面（60 個等腰三角形）彼此全等。此外，這些等腰三角形每五個為一組，屬于包含十二面體面的平面。后一種情況，只有當金字塔的頂點位于每個五邊形邊的延長線上時才會出現（見圖 5）。

圖5. 小十二面體的幾何解釋和表示。

同樣有趣的是有關兩個相等的正四面體的復合圖形研究，這兩個正四面體相互重疊，并以共同的幾何中心相互對稱。得到的實體被稱為 Stella Octangula（八角星）。它的邊緣在中點垂直相交。由此得到的核是一個正八面體。因此，該實體可以作為正八面體的增強體（八面體星狀體）。正八面體可以刻在一個立方體中，立方體代表正八面體的凸面包絡。立方體的頂點交替出現，是兩個四面體的頂點。立方體面的對角線就是八面星狀體的邊（見圖6）。

圖6. 兩個正四面體的交點和八面體核的識別。

我們重點討論的最后一種情況與兩個立方體的復合[12]有關。在圖例中，兩個立方體的對角線軸線固定不變，該軸線穿過相對的頂點，同時兩個立方體中的一個旋轉三分之一圈。同時，兩個立方體中的一個圍繞固定軸旋轉三分之一圈[13]。繞固定軸旋轉三分之一圈 [13]。埃舍爾將立方體-2 的復合體表示為開放晶格結構的形式。圖中右側的圖形讀數保留了起始柏拉圖實體的體積構象，體現了旋轉運動分為連續的通道（見圖 7）。

圖 7. 左圖：M.C. 埃舍爾，《星星研究》（1948 年）。右圖：埃舍爾所代表的多面體之一的幾何變換圖形分析（立方體繞對角線旋轉兩次，分別為 + 45°和 -45°）。

5 結論

本文以埃舍爾一些表現空間的作品為重點，旨在引導觀察者更深入、更有意識地解讀他所想象的幾何世界。特別是，通過適當的圖形分析和嚴謹的表述，我們希望強調這些作品所依據的幾何構成規則。"埃舍爾所追求的首先是關于平衡、結構和連續性的理念[......]。埃舍爾從不用語言表達這些想法，但他會在作品中巧妙地表達這些想法"[6, 第 16 頁]。因此，圖形研究試圖讓所分析作品的內在邏輯一目了然，目的是 "進入他創作的核心，并以此為感知藝術作品的方式增添新的維度"[6, 第 16 頁]。

參考文獻

1. Schattschneider, D.: The mathematical side of M. C. Escher. Not. AMS 57(6), 706–718 (2010)

2. Escher, M.C.: Grafiek en Tekeningen, 1st edn. J.J. Till, Zwolle (1959)

3. Massignon, L.: Les méthodes de réalisation artistiquesdes peuples de l’Islam. Opera Minora III, 9–24 (1969)

4. Fedorov, E.S.: The symmetry of regular systems of figures. In: Proceedings of the Imperial St. Petersburg Mineralogical Society, vol. 28, pp. 1–146 (1891)

5. Pólya, G.: Uber die Analogie der Kristallsymmetrie in der Ebene. Z. Kristall 60, 278–282 (1924)

6. Ernst, B.: Lo specchio magico di M.C. Escher. Taschen Verlag GmbH, K?ln (1996)

7. Schattschneider, D.: Escher’s polyhedral models. In: Proceedings of Bridges 2019. Mathematics, Art, Music, Architecture, Education, Culture, pp. 347–350. Tessellations Publishing, Phoenix (2019)

8. Senechal, M. (ed.): Shaping Space: Exploring Polyhedra in Nature, Art, and the Geometrical. Springer, New York (2013)

9. Beech, M.: Escher’s stars. J. R. Astron. Soc. Canada 86(4), 169–177 (1992)

10. Zefiro, L.: The compound of three octahedra and a remarkable compound of three square dipyramids, the Escher’s solid. Vis. Math. 12(3), 1–15 (2010)

11. Rossi, M.: Realtà e immaginazione: Nuove forme e antiche simmetrie. Disegnare Idee Immagini 38, 50–61 (2009)

12. Weisstein, E.W.: Cube 2-Compound. From MathWorld. A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/Cube2-Compound.html. Accessed 3 July 2020

13 Holden, A.: Shapes, Space, and Symmetry. Dover Publications, New York (1991)

14 Barbara Messina and Stefano Chiarenza:Drawing and Geometric Constructions of Polyhedra in the Art of Escher

青山不改，綠水長流，在下告退。

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