解法多樣任君取

2024年福建省中考數(shù)學(xué)第25題

在幾何綜合題解題教學(xué)中，除了追求一題多解，更要思考多解歸一，在2022版新課標(biāo)的學(xué)段(7-9年級(jí))目標(biāo)中，也明確指出了讓學(xué)生從不同角度尋求分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的方法，如下圖：

而一道優(yōu)秀的幾何綜合壓軸題，命題之初便留下充分的空間供學(xué)生思維馳騁，讓具備不同思維特性的學(xué)生都能發(fā)揮出自已的水平，并給予相應(yīng)的評(píng)價(jià)。

題目

如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，以AB為直徑的圓O交BC于點(diǎn)D，AE⊥OC，垂足為E，BE的延長(zhǎng)線交弧AD于點(diǎn)F.

(1)求OE:AE的值；

(2)求證：△AEB∽△BEC；

(3)求證：AD與EF互相平分.

解析：

01

(1)觀察△AOC，由于點(diǎn)O是AB中點(diǎn)，故AC=2OA，即tan∠AOE=2；

再觀察△AOE，它是一個(gè)直角三角形，由tan∠AOE=2可得AE=2OE，即OE:AE=1:2；

02

(2)我們首先通過(guò)觀察圖形，確定這兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如下圖：

我們延長(zhǎng)EO至點(diǎn)G，使OG=OE，連接BG，如下圖：

由AE=2OE，且EG=2OE，可得AE=EG；

易證△AOE≌△BOG，得AE=BG，于是EG=BG，∠G=∠AEO=90°，得等腰直角△BEG；

所以∠AEB=∠AEO+∠BEG=135°，∠BEC=180°-∠BEG=135°，即∠AEB=∠BEC；

而∠ABC=∠GBE=45°，于是∠OBG=∠CBE，再由前面的全等得∠OBG=∠BAE，所以∠BAE=∠CBE；

最后得到△AEB∽△BEC；

構(gòu)造△AOE≌△BOG的方法很多，上述方法是倍長(zhǎng)中線法，也可以過(guò)點(diǎn)B作CE的垂線，交CE延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，過(guò)程類(lèi)似；

03

(3)證明互相平分的方法很多，我們首先從中點(diǎn)定義出發(fā)，分別證明交點(diǎn)N是AD、EF的中點(diǎn)；

0 1

方法一

如下圖：

我們充分利用前面得到的等腰直角三角形，∠BEG=45°；

AB是直徑，則∠ADB=90°，∠AFB=90°，先證明∠AEF=45°，得第二個(gè)等腰直角三角形，△AEF，則∠FAE=45°，而∠BAD=45°，于是∠FAN=∠OAE，由同弧所對(duì)圓周角相等，進(jìn)一步可得∠FAN=∠DBN；

我們知道tan∠AOE=2，于是在Rt△AOE中，tan∠OAE=1/2，因此分別得到AE=2FN，BD=2DN；

而AF=EF，AD=BD，所以分別又得到EF=2FN，AD=2DN，即點(diǎn)N是EF中點(diǎn)，同時(shí)點(diǎn)N也是AD中點(diǎn)，所以AD與EF互相平分；

0 2

方法二

仍然利用前面所證△AEB∽△BEC時(shí)的條件，∠BAE=∠CBE，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化得到∠FAN=∠BAE，繼續(xù)借用第一問(wèn)的結(jié)論，得AF=2FN，又△AEF可證明是等腰直角三角形，于是EF=2FN，即FN=EN，再連接DF，構(gòu)造新的全等三角形，如下圖：

等腰直角三角形有兩個(gè)，分別是△AEF和△ADB，∠AEF=45°，而∠DFE=∠DAB=45°(都對(duì)同一段弧BD)，再加上對(duì)頂角，可得△DFN≌△AEN，所以AN=DN，即AD與EF互相平分；

0 3

方法三

在方法二的基礎(chǔ)上，連接DE，可證四邊形AEDF是平行四邊形，如下圖：

具體證明過(guò)程不再重復(fù)，有興趣的讀者可自行完成；

0 4

方法四

在△AOE中，設(shè)OE=a，則AE=2a，OA=√5a，如下圖：

我們繼續(xù)推導(dǎo)其余各邊長(zhǎng)度，在△AOC中，求出AC=2√5a，則OC=5a，于是CE=4a；

由AB=2OA得AB=2√5a，所以BC=√2AB=2√10a，而點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，則CD=√10a；

Rt△AEF中，AE=EF=√2a，在Rt△ABF中利用勾股定理求出BF=3√2a，于是BE=BF-EF=2√2a；

觀察△CDE和△BOE，它們有一對(duì)角相等，∠DCE=∠OBE(第二小題已證)，CD:CE=√10:4，OB:BE=√5a:2√2a=√10:4，所以CD:CE=OB:BE，則△CDE∽△BOE，于是∠CED=∠BEO=45°，所以∠DEB=90°，可證DE∥AF；

再加上前面證過(guò)∠DFE=∠AEF得到DF∥AE，則四邊形AEDF是平行四邊形，于是AD與EF互相平分；

0 5

方法五

建系大法！如下圖：

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AC所在直線為y軸，設(shè)O點(diǎn)坐標(biāo)為(t,0)，則B(2t,0)，C(0,2t)，D(t,t)；

由AE=2OE得tan∠OAE=1/2，則直線AE解析式為y=1/2x，而直線OC解析式為y=-2x+2t，求出交點(diǎn)E坐標(biāo)為(4t/5,2t/5)；

求直線BE解析式為y=-1/3x+2t/3，直線AF解析式為y=3x，從而求出點(diǎn)F坐標(biāo)為(t/5,3t/5)；

直線AD解析式為y=x，它與直線BF相交，可求得交點(diǎn)N坐標(biāo)為(t/2,t/2)；

現(xiàn)在我們可以驗(yàn)證點(diǎn)N是否為EF和AD中點(diǎn)了，過(guò)程略.

解題思考

整道題的三個(gè)小問(wèn)關(guān)聯(lián)十分緊密，可謂環(huán)環(huán)相扣，尤其是第一小問(wèn)，線段的比值若“翻譯”成三角函數(shù)值，再借助圓中的等角代換，在解題過(guò)程中如魚(yú)得水，當(dāng)然，利用相似三角形可達(dá)到同樣的效果；

縱觀整個(gè)解題過(guò)程，構(gòu)造出等腰直角三角形十分關(guān)鍵，因此△BEG的構(gòu)造是本題難點(diǎn)，事實(shí)上△BEG和△BCA恰好也構(gòu)成一組手拉手相似模型，只是前面解法中未用到；

本題解題時(shí)，也存在部分偽證，例如連接DE之后，直接得到DE⊥BF，并將它作為條件使用；

在解法五中，用到了一次函數(shù)圖象互相垂直的結(jié)論，方法略超，慎用；

第三小問(wèn)中，作輔助線、作一條輔助線、作兩條輔助線、建系均可，適用于不同思維習(xí)慣的學(xué)生，涉及到三角函數(shù)、相似、全等、平行四邊形、一次函數(shù)相關(guān)知識(shí)，在壓軸題系列研題視頻中，有老師曾專(zhuān)門(mén)針對(duì)中點(diǎn)概念進(jìn)行過(guò)研討，包括中點(diǎn)在壓軸題中的不同呈現(xiàn)形式，與哪些數(shù)學(xué)元素產(chǎn)生關(guān)聯(lián)等，十分有益。

在課堂教學(xué)中，吃透概念是重要目標(biāo)之一，也是難點(diǎn)，教材上的每個(gè)數(shù)學(xué)概念，需要讓其在學(xué)生頭腦中生長(zhǎng)出來(lái)，通過(guò)設(shè)置情景，提出問(wèn)題，輔以有效的課堂激勵(lì)機(jī)制，讓學(xué)生樂(lè)于去探究數(shù)學(xué)概念的形成。在數(shù)學(xué)史上，每個(gè)概念的形成都經(jīng)歷了長(zhǎng)久的過(guò)程，我們沒(méi)有必要重復(fù)這個(gè)過(guò)程，但在這些漫長(zhǎng)形成過(guò)程中，需要抓住概念的本質(zhì)，以合理的方式在課堂上再現(xiàn)，用高效的形式幫助學(xué)生理解。