菲爾茲獎得主吳寶珠近期在HLF海德堡桂冠論壇暢談伽羅瓦的不朽遺產——伽羅瓦理論。

作者：Benjamin Skuse 英國科普作家 2024-10-30

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2024-10-31

對于吳寶珠（B?o Chau Ng?，1972 -，2010年菲爾茲獎得主）來說，伽羅瓦群鞏固了他2009年對數學的開創性貢獻，證明了朗蘭茲綱領的“基本引理”，該綱領是2018年阿貝爾獎獲得者羅伯特·朗蘭茲（Robert Langlands，1936 -）提出的一系列數學猜想，將許多數學領域聯系起來。但在第11屆海德堡桂冠論壇上的半小時演講中，吳寶珠明智地選擇不會花時間介紹伽羅瓦理論，也不會更糟糕地嘗試概述朗蘭茲綱領及其相關的基本引理。這些主題太廣泛、抽象和復雜，無法在如此短的時間內解釋清楚。

圖源：HLFF / Flemming

取而代之的是，吳寶珠向與會者介紹了伽羅瓦群是什么，以揭示為什么伽羅瓦理論在其誕生之初對數學進步很重要，以及為什么它仍然是當今數學進步的核心：這是一種思維方式，允許數學家研究數學的基本結構和形式。

敏銳的智慧和獨創性

天才數學家、堅定的法國共和黨人和不幸的決斗家埃瓦里斯特·伽羅瓦（évariste Galois，1811 - 1832）在地球上只存在了短短20年，但他在數學許多分支中留下的遺產已經持續了近200年，并且很可能還會持續很長時間。

伽羅瓦的肖像（大約15歲時）

圖源：公共領域

伽羅瓦最重要的工作是創立了后來被稱為群論的理論。他提出了群的三個原則，并利用這些原則發現了群的更多性質。這些性質可用于將群與其它看似不相關的群進行比較。

然后，該技術可以用作比較代數方程類型以及這些方程的解的方法。更具體地說，伽羅瓦群包含多項式方程解之間的所有對稱性；換句話說，根的置換（即重新排列）保留了方程解之間的所有關系。

對于數學之外的任何人來說，這似乎都是微不足道的——以稍微不同的方式呈現已存在和已知的東西，如果你愿意的話，可以對論文進行洗稿。事實上，它過去是、現在依然是一個啟示。

從巴比倫人到文藝復興時期的意大利

吳寶珠以歷史課開始他的演講：“我們在學校學到的二次方程的解法，你可以在公元前2000年的巴比倫石板中找到等價形式，”他說，即二次方程一般形式 x2+bx+c=0 的解：

x=[?b±√(b2–4ac) ] / 2a

“當轉向三次方程時，這就困難得多，但你可以在10世紀左右的中文和波斯文[文獻]中找到大量三次方程的解，”他補充道。事實上，吳寶珠透露，三次方程甚至四次方程解的一般形式在伽羅瓦時代之前就已經被發現。

文藝復興時期，意大利數學家喬瓦尼·卡丹 （Gerolamo Cardano，又譯名杰羅拉莫·卡爾達諾，1501 - 1576）和 尼科洛·塔爾塔利亞（Niccolò Tartaglia，1499 - 1557）寫下了三次方程解的非常復雜的一般形式。“我們當中很少有人能夠自己發現這個公式，”吳寶珠補充道。“這是很基礎的，但它有一系列非常聰明和技巧性的變量代換。”這一突破之后，另一位意大利數學家洛多維科·費拉里（Lodovico Ferrari，1522 - 1565）很快提出了更為復雜的四次方程解法。

在這里，吳寶珠停下來思考了一會兒。“但是我們所說的解是什么意思呢？”他問觀眾。“我們正在尋找某種[涉及]多項式系數的公式，然后我們可以使用四種運算（加、減、乘、除）和開根號 -- 然而我們會對開根號有分歧，因為有多種選擇。”

吳寶珠（B?o Chau Ng?，1972 -，2010年菲爾茲獎得主）

圖源：HLFF / Flemming

抽象導致理解

伽羅瓦理論完全消除了這種分歧。它匯集了所討論方程的所有根并描述了它們之間的所有對稱性。根之間的對稱性是指一個根可以被另一個根替換而不影響答案。例如，任何僅涉及加上或乘以√2的表達式，將得到同樣的答案（只需用-√2替換√2）。

通過從代數方程本身后退一步，伽羅瓦理論揭示了它們的基礎結構，伽羅瓦可以非常簡單而雄辯地解決最近才通過復雜方法解決的數學問題。

吳寶珠舉了一個例子。“阿貝爾-魯菲尼（Abel - Ruffini）定理表明，不可能找到[5次及以上]方程的一般形式的解——這是一個驚人的結果，”他說。“但如果給你一個方程，這個定理并不能告訴你是否可以用根式解它。”換句話說，該定理沒有解釋給定一個特定方程，是否存在僅對方程中的有理系數使用有理數以及加、減、乘、除和求n次根的運算得到方程的解。

“通過伽羅瓦群，你可以再次證明阿貝爾-魯菲尼定理，并且可以使用伽羅瓦群的計算來恢復塔爾塔利亞和費拉里等人的棘手計算，”吳寶珠說。而且，可解的5次多項式方程正是那些對應伽羅瓦群是可解的。換句話說，伽羅瓦理論可以用來說明一個特定的方程是否可以用根式求解。

當代發展

“伽羅瓦理論的全部意義在于從研究代數方程轉向一個完全不同的對象：一些抽象群，方程的解可以用這些非常簡單的形式來表達，”吳寶珠解釋道。很久以后，當數學家開始欣賞伽羅瓦的洞察時，我們就清楚了這一點，這種抽象對于讓伽羅瓦理論成為重要數學學科和其他學科之間的基本橋梁至關重要。

例如，伽羅瓦理論引入了有限域的抽象代數概念。事實證明，有限域已經成為從算法定義到公共密碼學、斷層掃描和構建良好計算機網絡等諸多一切事物的核心。伽羅瓦理論的這些基本、普遍和持久的品質就是它被1994年菲爾茲獎得主Efim Zelmanov（埃菲·杰曼諾夫，1955 -）在2024年林道諾貝爾獎得主大會上的海德堡演講期間）這樣描述它為“數學美的黃金標準 ”的原因。

Efim Zelmanov（埃菲·杰曼諾夫，1955 -）在2024年林道諾貝爾獎得主大會

圖源：LINO / Christian Flemming

向不同的受眾展示伽羅瓦理論如何滲透到現代純數學絕非易事。吳寶珠從20世紀拓撲學的進展開始。“環面是拓撲中第一個重要的對象，與之相關的是‘基本群’（fundamental group），”他解釋道，其中基本群是指與記錄其基本形狀或孔洞信息的拓撲空間相關的群。

在環面示例中，如果你在環面表面縱向繪制一個環（下圖藍色），并在環面內部的子午線（經線）上繪制另一個環（下圖紅色），則兩者之間無法連續變形，因此它們是不同的。結果，僅使用這兩種類型的環就可以構建形成環面的空間。這可以表示為環面的基本群 ?2。

圖源：HLFF

“這似乎與伽羅瓦理論沒有太大關系，但確實如此，”吳寶珠解釋道。“‘覆蓋理論’（covering theory）。”1960年代，亞歷山大·格羅騰迪克（Alexander Grothendieck，1928 - 2014，1966年菲爾茲獎得主）將所有這些結合在一起，將數論中的伽羅瓦群與拓撲學中的基本群聯系起來。

盡管細節留給感興趣的讀者，但覆蓋本質上是拓撲空間之間的映射，其作用就像基（礎）空間的多個副本到其自身的投影。因此，環面的平凡覆蓋空間可以像一個螺旋樓梯一樣勾畫出來，樓梯的末端是一個甜甜圈，即基（礎）空間。在一定的限制和條件下，給定基空間的基本群類似于伽羅瓦群。由此，拓撲空間和域之間的聯系和相似性很容易暴露出來，為這兩個學科提供新的見解。

圖源：HLFF

然后，吳寶珠快進到今天。他說算術幾何中一些最大的問題與伽羅瓦理論有關。例如：“如何表征上同調（cohomology，一系列阿貝爾群，通常與拓撲空間相關）代數簇中出現的伽羅瓦表示，”他問道。“我們通過這些伽羅瓦表示來研究代數簇，但我們需要知道這些伽羅瓦表示的性質。”

盡管他提到過去20年在這個問題上取得了重大進展（包括他本人在內），但它仍然可能占據數學家未來50到100年的時間。實際上，吳寶珠的結論是，伽羅瓦的思想在他和所有受眾去世后很長一段時間內仍然具有現實意義。

實現預言

在1832年5月30日那場結束他生命的決斗的前一天晚上，伽羅瓦瘋狂地寫下了60頁的數學筆記。這些筆記經常被浪漫地認為是群論誕生的原因，盡管事實證明，這方面肯定是他前期完成的工作。然而，它們確實包含了一個預言性的后記：“我希望，以后會有一些人充分利用它來破譯這一切混亂。”

如果伽羅瓦能夠聽到吳寶珠解釋他的原創思想和數學進步如何繼續影響和塑造21世紀的數學，毫無疑問，他會感到滿意，因為他的希望已經完全超出了預期。

你可以在下面的視頻中觀看吳寶珠在第11屆海德堡桂冠論壇上的整個演講https://youtu.be/oHaibdbxOU0

參考資料

https://scilogs.spektrum.de/hlf/galois-enduring-legacy/

https://youtu.be/oHaibdbxOU0

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