新定義“特征值”

存在性的理解

初中數(shù)學(xué)概念里的“存在”一詞，幾乎遍布整個(gè)學(xué)段，例如負(fù)數(shù)可解讀成存在一類數(shù)，它們都是在正數(shù)前面添上負(fù)號(hào)；一元二次方程，當(dāng)△>0時(shí)，存在兩個(gè)不同實(shí)根；三角形某邊(或其延長(zhǎng)線)上存在一根垂線段，它的一個(gè)端點(diǎn)恰好是該三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)……

當(dāng)然，教材上介紹此類概念時(shí)，很多并沒(méi)有用“存在”一詞去描述，這并不妨礙我們對(duì)這些概念的解讀，何況多角度理解概念原本就是概念教學(xué)的一部分。

在數(shù)學(xué)壓軸題里，存在性的探究是常見(jiàn)的命題方式，多數(shù)情況下出現(xiàn)在動(dòng)態(tài)圖形中，包括函數(shù)圖象或幾何圖形。

題目

給定圓C和直線l，過(guò)圓C上一點(diǎn)P作PH⊥直線l于點(diǎn)H，直線PH與圓C的另一個(gè)交點(diǎn)記為Q，將PH·QH稱為點(diǎn)P關(guān)于直線l的特征值。特別地，當(dāng)點(diǎn)H與點(diǎn)P或Q重合時(shí)，點(diǎn)P關(guān)于直線l的特征值為0；當(dāng)點(diǎn)P和Q重合時(shí)，點(diǎn)P關(guān)于直線l的特征值為PH2.

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，

(1)圓M是以點(diǎn)M(1,3)為圓心，2為半徑的圓，

①若點(diǎn)P的坐標(biāo)是(3,3)，則它關(guān)于y軸的特征值是__________；

②點(diǎn)T是圓M上一動(dòng)點(diǎn)，將點(diǎn)T關(guān)于x軸的特征值記為t，則t的取值范圍是________________；

(2)已知圓O的半徑為2，直線l：y=kx+3(k>0)，若圓O上存在關(guān)于直線l的特征值是3的點(diǎn)，直接寫(xiě)出k的取值范圍.

解析：

01

(1)新定義中的各幾何元素包括圓C、圓C上點(diǎn)P、直線l、垂直P(pán)H及圓C上另一個(gè)點(diǎn)Q，它們之間的關(guān)系可通過(guò)作草圖來(lái)尋找，當(dāng)我們先畫(huà)出圓C并在圓C上找一任意點(diǎn)P之后，面臨的第一個(gè)問(wèn)題就是直線l在哪，這需要我們聯(lián)想到直線和圓的位置關(guān)系：相離、相切、相交，然后再作直線l的垂線，這樣可得到三種不同的圖例，如下圖：

我們需要明確決定直線l和圓位置關(guān)系的兩個(gè)要素：圓心到直線l的距離和圓的半徑，在這三個(gè)圖例中，隨著點(diǎn)P位置不同，弦PQ的長(zhǎng)度有一個(gè)范圍，它最短時(shí)P、Q重合，它最長(zhǎng)時(shí)等于直徑，特征值是兩條線段的乘積，分別是PH和QH，即弦PQ兩個(gè)端點(diǎn)到直線l的距離，以上是定義中各元素間的關(guān)聯(lián)。

①本小題中圓M已給定，包括位置和大小，點(diǎn)P給定，y軸給定，作圖如下：

則點(diǎn)P關(guān)于y軸的特征值PH·QH=3×1=3；

②以前一小題的基礎(chǔ)上，圓M上的點(diǎn)T是動(dòng)點(diǎn)，先作圖如下：

點(diǎn)T關(guān)于x軸的特征值為t=TB·AB，隨點(diǎn)T的運(yùn)動(dòng)，這兩條線段長(zhǎng)度均在變化，本著“動(dòng)中覓靜”的原則，圖中圓半徑為定長(zhǎng)2，圓M到x軸的距離為定長(zhǎng)3，對(duì)應(yīng)圖中的線段，則AM=TM=2，BC=3，然后我們尋找TB，AB與這些定長(zhǎng)線段間的關(guān)系，可得TB=TC+BC，AB=BC-AC，其中由垂徑定理可得TC=AC，于是TB·AB=(TC+BC)(BC-AC)=(BC+AC)(BC-AC)=BC2-AC2=9-AC2，然后在Rt△ACM中利用勾股定理得AC2=AM2-CM2=4-CM2，再代入特征值TB·AB中，得t=TB·AB=9-(4-CM2)=5+CM2；

現(xiàn)在我們只需要觀察在T運(yùn)動(dòng)過(guò)程中CM的長(zhǎng)度變化即可，在圓M中，CM是弦心距，顯然它的長(zhǎng)度介于0和2之間，弦TA過(guò)圓心時(shí)，CM=0，當(dāng)T，A重合時(shí)，CM=2，所以0≤CM2≤4，最后我們得到點(diǎn)T關(guān)于x軸的特征值TB·AB的范圍是5≤t≤9；

借本小題的結(jié)論，我們可以從函數(shù)角度去理解特征值t，將CM作為變量，則t是CM的二次函數(shù)，并且自變量CM≥0，它的增減性是顯而易見(jiàn)的，即t隨CM的增大而增大；

02

(2)前面解題經(jīng)驗(yàn)告訴我們，特征值中兩條線段分別是點(diǎn)P，Q到直線l的距離，因此這兩個(gè)點(diǎn)和直線的位置關(guān)系才是我們分類的依據(jù)，按這個(gè)分類依據(jù)，分兩種情況，P、Q在直線l同側(cè)或異側(cè)，我們分別研究；

第一種情況：P、Q在直線l同側(cè)，如下圖：

由于圓心O到直線l的距離OD未知，我們先求OD的長(zhǎng)，由直線y=kx+3得交點(diǎn)B坐標(biāo)為(-3/k,0)，利用勾股定理求得AB，再用面積法求OD的長(zhǎng)，推導(dǎo)如下：

此時(shí)我們把存在的特征值3代入，用含k的代數(shù)式表示OC2=(7k2-2)/(k2+1)，顯然這個(gè)結(jié)果然是個(gè)非負(fù)數(shù)，即7k2-2≥0，在k>0的前提下，解得k≥√14/7；

特別地，當(dāng)P、Q重合時(shí)，特征值為PH2=OD2=9/(k2+1)，可得方程9/(k2+1)=3，即k2+1=3，此時(shí)k=√2，因此這種情況下k的取值范圍是√14/7≤k≤√2；

第二種情況：PQ在直線l異側(cè)，如下圖：

求OD的方法與第一種情況相同，結(jié)果也相同，不同之處在于PH和QH的表示結(jié)果，PH=PC+CH，QH=QC-CH，于是PH·QH=PC2-CH2，再把PC2=OP2-OC2代入，得PH·QH=OP2-OC2-CH2=OP2-OC2-OD2=4-OC2-9/(k2+1)，我們?nèi)匀话汛嬖诘奶卣髦?代入，用含k的代數(shù)式表示OC2=(k2-8)/(k2+1)，顯然這個(gè)結(jié)果也必須是非負(fù)數(shù)，k2-8≥0，在k>0的前提下解得k≥2√2；

由于P、Q分別位于直線l異側(cè)，因此P、Q重合時(shí)這兩點(diǎn)都在直線l上，此時(shí)OD=0，不符合；

綜上所述，k的取值范圍是√14/7≤k≤√2，k≥2√2.

解題思考

本題實(shí)質(zhì)上仍然是對(duì)距離概念的深入理解，借存在性探究，理解特征值中兩條線段的關(guān)聯(lián)，學(xué)生面對(duì)此類問(wèn)題首先覺(jué)得困難的地方是這兩條線段都看作變量或元，則變化的量較多，不容易看出乘積如何取值，這里用到的其實(shí)是消元思想，將這兩個(gè)變化的量間的關(guān)系找到，它們都與弦心距有關(guān)，所以最后我們用含k的代數(shù)式表示OC，而此時(shí)的存在性則是指讓OC這條線段存在，利用線段長(zhǎng)是非負(fù)數(shù)這個(gè)基本事實(shí)來(lái)判斷。

我們?cè)诜治龆x中各元素間的關(guān)系時(shí)，原本直線和圓的位置關(guān)系有三種，但為什么我們?cè)谟懻搆值范圍時(shí)，卻只分兩類？這取決于我們研究的對(duì)象并不是直線和圓，而是點(diǎn)P、Q到直線l的距離。正由于兩點(diǎn)在直線同側(cè)或異側(cè)時(shí)，求得距離的結(jié)果不同，所以才會(huì)分兩種情況討論。

在給學(xué)生講這道題的時(shí)候，重點(diǎn)在于分析新定義究竟說(shuō)了些什么，幫助學(xué)生理解這些定義中的元素是如何關(guān)聯(lián)起來(lái)的，動(dòng)中取靜原則我們并不陌生，在學(xué)生理解新定義的過(guò)程中，需要聯(lián)想到這個(gè)原則，一般而言，多動(dòng)點(diǎn)、多變量終歸需要化為單動(dòng)點(diǎn)、單變量，這體現(xiàn)的正是我們?cè)诮舛淮畏匠探M時(shí)的消元思想，化繁為簡(jiǎn)，化動(dòng)為靜。