|作 者：曹則賢

(中國科學院物理研究所)

本文選自《物理》2025年第3期

原文題目是“狄拉克：The Eigentutor in the era of quantum mechanics (下)”

(接上篇)

2.3 變換理論

狄拉克1927年The physical interpretation of the quantum dynamics一文(收稿日期1926年12月2日)的第三節The transformation equations被當作狄拉克變換理論的出處。解矩陣力學問題要求找到滿足如下條件的表示動力學變量的矩陣方案：

(i)量子條件qrpr-prqr=ih，等等；

(ii)運動方程 。如果算符g顯含時間t，則是 ；

(iii)表示哈密頓量H的矩陣是對角的；

(iv)表示實變量的矩陣是厄密的。

但是，矩陣方案不是唯一的。對矩陣g做正則變換，G=bgb-1，b是任何矩陣，新矩陣G滿足原來的所有代數關系，特別是量子條件(i)；如果b矩陣不是時間t的函數， ，也就是滿足運動方程。如果b矩陣與哈密頓量對易，那新的哈密頓量矩陣還是對角的。如果矩陣b，b-1是轉置共軛的，則對厄密的矩陣g，新矩陣G也是厄密的。矩陣G和矩陣g是同樣好的對動力學變量的表示。接下來要得到只需滿足條件(i)—(ii)的矩陣方案的一般變換理論。

方程G=bgb-1可寫為

的形式。但是，(對于滿足前述條件這事兒來說)新老矩陣之間沒有行列的一一對應( There is thus no one-one correspondence between the rows and

columns of the new matrices and those of the original matrices)，所以對變換可以換一種表示：

以強調變換前后的矩陣不必要有行列的對應，參數(集合)ξ' 與參數(集合)α' 沒有關系，它們可以有不同的取值范圍，甚至一者是連續的，另者可以是分立的。

怎么為矩陣G的矩陣元針對每一個參數值ξr' 賦值呢？合理的方式是找到變量ξ1，ξ2，…ξu的那樣的函數，其在新矩陣表示方案中是對角的，ξr(ξ' ξ'' )=ξr'δ(ξ'-ξ'' )。變量ξr是系統的積分常數，因為其矩陣元不含時間t。它們必須是互相對易的，因為對角陣都是對易的。這樣，變量ξr形成一個正則坐標集，且有相應的共軛動量集η1，η2，…ηu。{就是一般教科書里要找到一組提供完備正交集的動力學變量問題。那些動力學變量在經典力學中都是系統的積分常數}。

矩陣b，b-1滿足關系bb-1=1，b-1b=1，即：

矩陣元b(ξ'α' )，b-1(α'ξ' )形成了互相正交的歸一化函數系。任何兩個互相正交的歸一化函數系定義了一個滿足條件(i)—(ii)的到新矩陣方案的變換。如果b(ξ'α' )，b-1(α'ξ' )是復共軛的，則新矩陣方案還滿足條件(iv)。條件(iii)要求變量集ξ與哈密頓量H 對易。因為變量集ξ是運動常數，因此必是正則變量qr，pr的不顯含t的函數。兩次正則變換的結果還是正則變換{后來，外爾和維格納把群論引入了量子力學}。

變換理論現在一般稱為Dirac—Jordan transformation theory，該理論被構造時尚沒有希爾伯特空間的那套說辭。請把狄拉克的論文與如下約當同時期的五篇論文一起參詳：

P. Jordan, über kanonische Transformationen in der Quantenmechanik (論量子力學中的正則變換), Zeitschrift für Physik, 37, 383—386(1926); II. Zeitschrift für Physik, 38, 513—517(1926).

P. Jordan, über eine neue Begründung der Quantenmechanik (量子力學的新筑基), Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu G?ttingen, Mathematisch-physikalische Klasse, 161—169 (1926).

P. Jordan, über eine neue Begründung der Quantenmechanik (量子力學的新筑基),

Zeitschrift für Physik

Zeitschrift für Physik

2.4 相對論量子力學

狄拉克引入相對論量子力學方程的文章The quantum theory of the electron，收稿日期是1928年1月2日。泡利引入泡利矩陣描述磁電子的那篇文章，收稿日期是1927年5月3日。狄拉克引用了泡利的這篇文章，以及Charles Galton Darwin, The electron as a vector wave, Roy. Soc. Proc., A116, 227—253(1927)一文{此文的前驅是Charles Galton Darwin, The electron as a vector wave, Nature 119, 282—284(1927)}。達爾文明確地指出電子的波函數應該是個矢量{是說波函數自身應該是個多分量的存在}，是量子力學發展過程中重要的一步。筆者識見短淺，沒在中文語境中見到有人提及。

為了解釋原子中的電子狀態數目觀察值是理論值兩倍的“duplexity”現象，古德施密特與烏倫貝克提出了電子具有半量子和一個玻爾磁矩的自旋角動量。泡利和達爾文把這個模型納入了理論，他們的理論關于類氫光譜在一階近似上同實驗吻合。為什么大自然為電子選擇了這個特別的模型而不是簡單的點電荷呢？人們傾向于在此前將量子力學應用于點電荷電子之上的方法中找到某種不完備的地方，當消除了不完備性，整個的“duplexity”現象會自然出現而無需引入隨意的假設。我們發現確實是這樣的，此前的理論同相對論，或者說同一般變換理論不符。同時滿足相對論和一般變換理論的針對點電荷電子的簡單哈密頓量能夠無需額外假設就得到對現象的解釋(…the simplest Hamiltonian for a point-charge electron satisfying the requirements of both relativity and the general transformation theory leads to an explanation of all duplexity phenomena without further assumption)。

根據經典理論，電磁場中運動的電子其相對論哈密頓量為

戈登(Walter Gordon，1893—1939)建議引入算符 ，r=1,2,3，將方程改造成量子理論的波方程：

此理論遭遇兩個困難。一是詮釋問題，此方程無法如非相對論量子力學那樣詮釋波函數。非相對論波函數的一般性詮釋基于變換理論，波函數是方程(H-W)ψ=0的解，而方程關于W或者?/?t是線性的，因此任意時刻的波函數就決定了未來時刻的波函數。如果要求此關于波函數的詮釋成立，則相對論量子論的波函數也必須關于W是線性的。戈登詮釋的第二個困難在于當對方程取復共軛時，得到：

而這恰是用-e代替e的結果。因此可以說這個方程論及的是帶電荷e和-e的電子。電荷為e的情形W取負值{注意，負能量不是來自E2=p2c2+m2c4的開根號，而是來自方程的變換不變形式}。經典理論可以簡單地將這樣的解丟掉，但是量子論不行，因為擾動會引起W為正的態到W為負的態的躍遷。這樣的躍遷對應實驗上電荷突然從-e變為e，這種現象從未被觀察到過。真正的相對論波方程其解應該分裂成兩個不攪合的集合(split up into two non-combining sets)，分別對應電荷-e和e。本文只考慮如何移除第一個困難。{筆者讀各種轉述量子力學的書，印象中似乎狄拉克一直糾結的是正能解、負能解的問題，而這里我們看到，從一開始狄拉克就注意到，當要考慮波函數及其共軛時，會有-e和e同時出現的問題。量子力學是什么時候認識到要同時同等地對待ψ*的？}

現在要構造一個滿足洛倫茲變換的量子力學方程，哈密頓量是關于 線性的，而相對論要求 p 0 , p 1 , p 2 , p 3 是對稱的，因此方程有形式：

其中的算符α1, α2, α3, β與動量、坐標無關，且與它們都對易。此波函數應涉及更多的變量而不只是坐標。

由要求

回到Klein—Gordon方程，記β=α4mc，則得到條件：

泡利矩陣滿足這樣的條件，但是只有三個，也不可能找到第四個。狄拉克通過將泡利矩陣沿對角線擴展成4×4矩陣，仍記為σ1, σ2, σ3，又把它們的第二、第三行對調，第二、第三列對調，得到了另外三個4×4矩陣ρ1, ρ2, ρ3，具體表示如下：

方程寫成了如下形式，(p0+ρ1(σ, p)+ρ3mc)ψ=0。{引入的6個矩陣，其中的ρ2沒用到，有點兒丑陋。}記p0=ip4，ρ3=γ4，ρ2σr=γr，r=1,2,3，方程可寫為緊致的形式(圖5)：

容易證明該方程是洛倫茲變換不變的。

圖5 狄拉克The quantum theory of the electron一文p.615上的截圖

對上述方程加入電磁勢，研究方程F *Fψ=0，結果會發現比此前多出了兩項 ，前一項除以2 m ，就是新自由度帶來的磁矩與磁場的作用，而第二項可以解釋為新自由度帶來的電極矩與電場的作用，但它是虛的。作為出發點的方程 Fψ =0是實的，這虛的項應該是在 F * Fψ =0操作中溜進來的，它可能沒有物理意義。{拿沒有物理意義的一些噱頭持續裝模做樣地討論，是后來的物理學研究范式之一。}

令A=0， ，可研究電子在中心勢下的運動，哈密頓量為

現在研究波方程Fψ=0的周期解，這意思是將p0當作一個參數而不是算符。軌道角動量m=x×p，其與r, pr對易，mF-Fm=ihρ1σ×p。同時，σF-Fσ=-2ihρ1σ×p，可見有 ，也即 是運動常數。這可以解釋為電子具有自旋角動量。

記 ，這個M和經典的角動量m=x×p有相同的對易關系，M×M=ihM{對易式簡記，別理解為矢量叉乘}，M2M3=M3M2。周期解，要求M3必須是半整數(m3是整數)，若記 ，則M3取值范圍(j-1/2)h到(-j+1/2)h。 因為j的特征值為正整數和負整數，因此(相對論修正的薛定諤)方程會有雙倍的能級 (Since j has, from its definition, both positive and negative integral characteristic values, our equation will give twice as many energy levels when the last term is not neglected)。這解決了困擾多年的“duplexity”現象。

狄拉克緊接著又發表了這篇文章的部分 II，收稿日期為2月2日。 在這篇文章中，狄拉克就注意到了哈密頓量非厄密的情形(We shall first make a slight generalisation of the usual interpretation of wave mechanics to apply to cases when the Hamiltonian is not Hermitian){90多年后，哈密頓非厄密情形得到了關注}。 接下來用他得到的方程研究了選擇定則、多重態譜線的相對強度和塞曼效應，詳情請參考原文。 特別地，若動力學變量X與j反對易，jX+Xj=0的矩陣形式為j′X(j' j'' )+X(j'j'')j''=0，則僅當j''=-j'，X(j' j'' )≠0。 因此，選擇定則為j→-j。 如果是滿足條件[[Y, jh]，jh]=-Y的動力學變量Y{此關系來處見狄拉克1926}，除非當(j''-j')2=1，否則應有Y(j' j'')=0，因此選擇定則是 j → j ±1.

狄拉克的相對論量子力學方程引起了外爾(Hermann Weyl，1885—1955)的注意。外爾1929年發文討論了負能解的數學含義[Hermann Weyl, Gravitation and the Electron, PNAS 15(4),323—334(1929)]，這篇文章一般是當作規范場論的奠基性工作。1930年，狄拉克發表了三篇關于“電子與質子”的文章(見前面的文章列表)，把負能解歸于質子，或者認為物理世界中那些負能態是占據態，正能態的電子不會落入負能態。1930年，奧本海默發文強烈反對狄拉克的負能電子是質子的提議[J. R. Oppenheimer, Note on the Theory of the Interaction of Field and Matter, Physical Review 35(5), 461—477(1930)]，指出如果是這樣，氫原子會迅速自毀(rapidly self-destruct)。奧本海默關于如果質子是狄拉克方程負能解對應的粒子，就想到了氫原子的迅速自毀，不知道這和多年以后他成了第一個研究原子核毀滅力量工程的首席科學家是否有關系。1930年談論電子—質子毀滅的還有狄拉克自己的文章以及一篇塔姆的文章 [Igor Tamm, über die Wechselwirkung der freien Elektronen mit der Strahlung nach der Diracschen Theorie des Elektrons und nach der Quantenelektrodynamik(基于 狄拉克的電子理論和量子電動力學論自由電子與輻射間的相互作用)，Zeitschrift für Physik 62, 545—568(1930)]。詮釋狄拉克理論關鍵的一步出現在1931年，外爾認為所謂的負能電子必須和正能電子具有同樣的質量，見于Quantenmechanik und Gruppentheorie(量子力學與群論)一書第二版p.200(全書共366頁。第一版出現于1928年)，原句為“那個擁有電子質量m，電荷是-e而非+e的(大自然里未出現的)粒子可稱為‘正的電子’。如上可知，正的電子的能級是-hν，與此同時負電子的是hν。拋開符號不論，兩種粒子的行為相同[ Das (in der Natur nicht vorkommende) Teilchen von der Elektronenmasse m, dessen Ladung nicht -e, sondern +e ist, werde als ‘positives Elektron’ bezeichnet. Man erkennt aus dem Gesagten, da? die Energieniveaus des positiven Elektrons - hν sind, wenn hν diejenigen des negativen Elektrons sind. Abgesehen vom Vorzeichen verhalten sich beide Sorten von Teilchen Gleich]”。所謂“Weyl proposed that a ‘hole’ in the Dirac sea…”，筆者在外爾的書里還沒找到證據。狄拉克引用時指向了該書的234頁，那應該是 這一句：“她(大自然)有必要賦予質子與電子同樣的質量(Denn sie verleiht notwendig dem Proton die gleiche Masse wie dem Elektron)”。{很多文獻會不負責任地指向外爾1927年的論文[Hermann Weyl, Quantenmechanik und Gruppentheorie, Zeitschrift für Physik 46(1-2),1—46(1927)]。此外，把所謂的0質量狄拉克方程安到外爾的頭上，也是找不到原始文獻。}最終，在1931年，狄拉克在Quantised singularities in the electromagnetic field一文里指出解量子力學的相對論表述需要對基本概念做根本性的修正(more drastic revision of our fundamental concepts)。相對論量子力學預言的電子的負動能態被歸于一種具有同電子一樣的質量但電荷相反的新粒子，狄拉克稱之為反電子(anti-electron)，并斷言當反電子與電子接觸時會發生湮滅(annihilation)。因為同電子的極速復合(on account of their rapid rate of recombination with electrons)，不能指望在自然中觀察到反電子，但如果能在真空中實驗產生反電子，它們會是相當穩定的，可以被觀察到的。兩個(束？)硬γ射線相遇會導致電子—反電子的同時產生(An encounter between two hard γ-rays could lead to the creation simultaneously of an electron and anti-electron)。質子與電子沒有關系，或許有自己的負能態，一般來說也都是占據的，未占據的態以反質子的面目 出現(Presumably the protons will have their own negative-energy states, all of which normally are occupied, an unoccupied one appearing as an anti-proton)。 當前的理論無法提供理由說明為什么電子和質子之間要有區別。{這一段似乎已經有了產生—湮滅算符的萌芽了。閱讀這一段時，筆者的感受是，盡管放心大膽地預言，總有一些是對的，一些是錯的。如果擱在當今時代發個文章非得經過所謂的審稿人同意，狄拉克的那些預言可能都得胎死腹中。}

狄拉克1931年的Quantised singularities in the electromagnetic field一文最酷的地方是揭示了一種電與磁的對稱性(a symmetry between electricity and magnetism)，沒有這個對稱性，hc/e2的值是不定的。不管相對論不相對論，波函數形式為ψ=Aeiγ，歸一化的ψ會留一下一個不確定性，即相位γ可以有一個可加常數的自由度?？臻g點上γ值沒意義，但兩點上γ的差才有意義?？梢约僭Oγ在空間點上沒有定值但在兩點之間有確定的差。進一步假設這個差只當兩點是近鄰時才有定值。對于遠隔的兩點，沿確定的連結兩點的曲線才有確定的相位差，不同的曲線一般會給出不同的相位差。這就是說，沿閉合曲線繞一圈的相位差不必為零。這個相位的不可積如果在量子理論的應用中不造成含混，條件該是什么呢？

考察兩個不同波函數積的積分， ，其模平方的物理意義是兩個狀態契合的概率(probability of agreement of the two states){純從數學層面來說，就是函數的交疊積分}。 若使積分有確定的模，積分函數必須在兩點間，不管遠近，有確定的相位差。 也就是說?mψn沿閉合曲線繞一圈的相位差必為零。 這樣，ψn沿閉合曲線繞一圈的相位差與?m的相等但符號相反，因此與ψm的相等{?m在積分中應理解為取復共軛的}。 因此有結論，所有波函數沿任何閉合曲線的相位變化必是相同的(The change in phase of a wave function round any closed curve must be the same for all the wave functions)。 這個條件也擴展到變換函數與觀測量矩陣表示上{矩陣力學的習慣性簡寫讓很多人忘了或者根本不知道矩陣表示還有一個省略的相因子！ }，量子力學的所有操作都可以盡管進行仿佛相位不存在不確定性一樣(all the general operations of quantum mechanics can be carried through exactly as though there were no uncertainty in the phase at all)。 {比較一下狄拉克討論的量子力學uncertainty與海森堡討論的量子力學uncertainty。 基于嚴謹數學的量子力學討論就不如天馬行空的討論討大眾科學家喜歡}。

既然所有波函數繞任何閉合路徑一圈經歷的相位變換是一樣的，它就與系統的狀態無關而可能是由動力學系統決定的。相位的不可積與粒子所處的力場相關聯。把波函數表示為ψ=ψ1eiβ，波函數ψ1在各點上有確定的相位，這樣相位不確定性都體現在因子eiβ中。β在空間點上沒有確定的值，但其導數 須有確定的值。相應的Stokes定理為 ，其中dl (4-vector)是線元而dS(6-vector)是邊界為前述閉合曲線之曲面的面元。由ψ=ψ1eiβ，有 ，可見如果ψ滿足含有動量算符p和能量算符W的波方程，則ψ1滿足含有動量算符p+hk和能量算符W-hk0的波方程{對于固體中的電子來說，原子實的振動和外加電磁場一樣是外場，固體物理教科書會照抄這個做法，但不交代來處}。假設ψ是自由粒子的波函數，則ψ1對應電荷在勢為 的電磁場下的波方程，ψ1是具有確定相位的波函數?？梢?，有沒有外場都必須有滿足同樣波方程的波函數ψ，而外場的整個效果就是讓相位不可 積(We see that we must have the wave function 4 always satisfying the same wave equation, whether there is a field or not, and the whole effect of the field when there is one is in making the phase non-integrable)。把6-vector的?×k等同于電磁場，若把4-vector的k改成(k; k0)的記號 ，則有 。 這里的相位不可積與電磁場的聯系不是啥新鮮事兒，就是外爾的規范不變性原理。 {把外爾1918年談論電與引力的論文，1922年薛定諤挽救外爾理論的論文，以及1926年?？税央姶艌鲆幏蹲儞Q同波函數聯系起來的論文一起參詳，就能更好地理解狄拉克的這篇論文。 參見拙著《云端腳下》。 }

不可積的相位導數可以詮釋為電磁勢，這也沒什么新內容。然而，相位總有一個2π任意整數倍的不確定性，從這個角度考慮，則相位導數與電磁勢的聯系應該帶來新的物理現象。前面提及的條件要放寬一些，繞閉合曲線一圈帶來的相位改變對于不同的波函數可以相差2π的任意整數倍，因此相位(導數)直接用電磁場詮釋不是那么確定的(not sufficiently definite)。

因為波函數是連續的，不同波函數繞一個小的閉合曲線的相位變化不能相差2π整數倍，而必須是一個確定的值，那它的用6-vector電磁場之通量的詮釋就沒有含混的余地。但是，有個例外，即波函數為零的情形，這時相位沒有意義。(復)波函數一般來說是沿著一條線為0，這樣的線稱為節線(nodal line)。如果波函數有一條穿過小的閉合曲線的節線，基于連續性考量就不再能斷言繞小的閉合曲線所引起的相位變換是小的了。我們能說的是相位變換接近某個2πn，其中的整數n是這條節線的特征，其正負正好表示閉合曲線繞節線的取向。(有節線的波函數)繞閉合曲線一圈的相位變化同最近的2πn之差與沒有節線的波函數相位變化相同。因此，這個差才是要用6-vector電磁場詮釋的。對于三維物理空間的閉合曲線，只有磁通量要考慮，因此繞小的閉合曲線造成的相位差可表示為 ，這個表示分兩部分，對于不同的波函數，差別在第一項。是應用于積分表面之邊界的，當應用于一個閉合曲面時，必為0。那么，如果≠0，則必有節線終結于閉合面的內部。就是終結于閉合面內部的節線數目。對所有波函數節線的終結點是相同的。這些節線的終結點就是電磁場的奇點。于是，在繞某終結點的磁通量為4πμ=2πnhc/e，也就是在終結點處有強度(strength)為μ=nhc/2e的磁極(magnetic pole)。最后的結論是，當前的量子力學表述，自然地不可避免地導向這樣的波方程，其唯一的詮釋是電子在單個磁極的場中電子的運動(wave equations whose only physical interpretation is the motion of an electron in the field of a single pole)。之所以觀察不到孤立磁極，是因為符號相反的兩個單量子極(one-quantum pole)之間的吸引為質子—電子間的電吸引的 倍，所以不能分開。{狄拉克在這篇文章里的推導功夫，以及硬湊詮釋的功夫都是一流的，有興趣的讀者可跟隨作者自己推演一遍。他那時候想不到后來加速電子、質子能獲得的能量遠超那個時代能獲得的能量值的4692.25倍。筆者不懂這里的內容后來怎么被理解為magnetic monopole的，故不予評論。}

2.5 量子力學表示

量子力學是一門需要新的數學加持的學科，狄拉克為量子力學的表述引入了一些非常有用的數學工具。在1927年The physical interpretation of the quantum dynamics一文(收稿日期1926年12月2日)中，狄拉克引入了如今被稱為狄拉克delta-函數的δ(x)。如果僅僅考慮到對于x≠0，有δ(x)≡0， 這樣的性質，這樣的函數在狄拉克之前約100年就有了。愛因斯坦此前就用過這種函數表示量子化的態密度發展量子統計。狄拉克把δ(x)的性質挖掘往前推進了不少步，比如得出：

等等。

很多文獻都會說狄拉克在1927年的The quantum theory of the emission and absorption of radiation一文中引入了產生算符和湮滅算符，a+,a，然而筆者在這篇文章里并沒有發現蛛絲馬跡。在John Avery所著的Creation and annihilation operators(McGraw-Hill，1976)一書中，還把產生算符和湮滅算符的引入歸于P. Jordan, O. Klein, Zum Mehrk?rperproblem der Quantentheorie(量子多體問題), Zeitschrift für Physik 45, 751—765(1927)(收稿日期為1927年10月4日)和P. Jordan, E. Wigner, über das Paulische ?quivalenzverbot(論泡利的等價禁制), Zeitschrift für Physik 47, 631(1928)(收稿日期為1928年1月26日)這兩篇文章。然而，雖然這兩篇文章中都出現了類似b+b，a+(β' )a(β'' )+a(β' )a+(β'' )這樣的表示，但都沒有明確使用creation operator, annihilation operator(德語為Erzeugungsoperator, Vernichtungsoperator)的字樣。在1928年的這篇中，有一句Entsprechend sollen sich m1+, m2+, …mρ + ; m1-, m2-, …mσ- auf die nach dem Proze? übriggebliebenen bzw. neu erzeugten Tei lchen beziehen(相應地m1+, m2+, …mρ+; m1-, m2-, …mσ- 應當表示此過程后留下的以及新產生的粒子)，似乎可以算作是引入了產生算符的證據。 到底是誰在哪里明確地引入了產生算符a+、湮滅算符a并用于量子力學問題的討論，筆者目前沒有線索。 {一個感慨，對二手文獻一定要存疑。 }

在1939年的A new notation for quantum mechanics一文中，狄拉克指出一個好的記號系統對于協助理論的發展具有極大的價值，可以讓寫下重要的量及其組合變得容易起來。張量分析中的求和規則就是一例。狄拉克為量子態引入了bra-ketnotation，極大地方便了量子態的表示以及量子力學的計算推導。Bra-ket就是把英文bracket(括號)一詞兒拆成了兩部分，bra表示，ket表示(狄拉克的原文是 <和> )，有人把它們漢譯為左矢、右矢，湊合著用挺好(還有刀矢、刃矢的譯法，不知道是咋想的)。一般地，對應波函數，比如記為ψ，對應波函數ψ的復共軛ψ*。當然，bra-ket里面可以塞入波函數的名稱或者就是狀態的量子數，比如|ψ>， 。進一步地， <?|ψ> =∫?*(x)ψ(x)dx，而|><|可理解為算符， 表示狀態集n 的完備性。 狄拉克評價自己的記號系統提供了一個利落、簡明的書寫方式，能夠帶來思想的統合(…leads to a unification of ideas)。

3多余的話

1984年10月20日狄拉克辭世，一代理論物理巨星隕落。那時，筆者恰好剛開始上量子力學課，似乎沒有獲得關于狄拉克的任何信息。筆者的量子力學學得幾近于無，除了筆者自己愚鈍不知上進以外，還有一個可以大膽說出來的原因，那就是沒見過創立量子力學的真神，沒讀過創立者們留下的真經。一般的原子物理和量子力學教科書，大體上都是天上一句地上一句，天知道它在說什么，學習者大概鮮有愉快的體驗。好想知道老師是怎么把那課給糊弄過去的。我猜，一個人如果能夠得學問創造者親炙，雖然未必就能學有所成，但多少應該開點兒竅。有不少談論聆聽狄拉克講述量子力學(圖6)感受的文章，不妨拿來讀讀找找感覺。對于絕大多數的大學來說，能有科學巨擘親自站臺授課那是妄想，作為補救之萬一，愚以為，引導學子們在四年里至少裝模做樣地閱讀科學巨擘原著一次具有重要的形式意義。此刻，可以說關于量子論、量子力學還有規范場論創生時期的原始論文筆者幾乎都瀏覽了一遍(懂是不敢指望的)，回頭再看一些關于原子物理和量子力學的表述，我大概能記起是誰在哪篇文章在什么語境下得到的，感覺原子物理和量子力學親切多了。

圖6 晚年的狄拉克在講解狄拉克方程。這張照片定義了什么才是合格的老師

狄拉克的《量子力學原理》是表述量子力學的經典，但也沒有必要將之神話。對于經典物理和數學基礎不夠扎實的讀者來說，把這本書當作入門讀物未必合適。1930年的狄拉克，對物理的理解很深刻，但量子力學畢竟是在草創過程中，故狄拉克的著作也會有一些明顯的不恰當表述。比如，他寫道：“It is, however, more convenient to work with the momentum components instead of the velocity components”，經典力學從(x, v)表述轉到(q, p)表述可不是方便不方便的問題，而是質的提升。動量p相較速度v之不同處在于納入了運動物體的質量，那可是運動的主體。類似的不恰當表述還有不少。此外，我們也注意到狄拉克的表示理論混淆了狀態與波函數，一些狀態表示是有量綱的，帶來了概念性的混亂。

狄拉克的量子力學和相對論表述都具有明顯的數學傾向，他和約當是那種也被稱為數學家的物理學家。與他們共軛的是龐加萊和外爾這類參與基礎性物理創造的職業數學大家，而哈密頓、雅可比和馮·諾伊曼這樣的則是數學、物理成就平分秋色的人物。到1923年獲得數學專業的學士學位，狄拉克在布里斯托大學的學習時間滿打滿算不過四年，從1924年起他就能開始發表極具數學色彩的研究論文，我猜其在大學里可能學到了一些有思想的數學。數學，是一門思想的科學。那些宣稱不用數學公式就能講清楚物理的人，可能不知道數學不只是物理的表述語言，還是物理學的靈魂。

有人評論狄拉克，說這樣偉大的人物都是僅關注極少事物的人，從不為不感興趣的事情耽誤功夫。Nevill Mott在Reminiscences of Paul Dirac(回憶狄拉克)一文中，說了這么一個故事。在劍橋，某天午餐時，某人問狄拉克在忙乎什么。狄拉克反問，你知道什么是非渡越變量嗎(do you know what adiabatic invariants are?)，問的人說不知道哇。狄拉克說，“如果對一個主題的要素你一無所知，那我跟你聊有啥用呢(What, then, is the use of my talking to you if you don’t know the very elements of the subject)?”狄拉克的態度是對的。再者，就學問自身而言，如果一個人對經典力學的哈密頓正則方程，哈密頓—雅可比方程，正則共軛變量，正則變換，泊松括號，作用-角變量，積分常數，特征函數，多周期解，非渡越變量等等基本概念不甚了了，那他學習量子力學除了能記住幾句裝神弄鬼的論斷還能學到啥？

狄拉克是英國人，從他后來的論文或許可作如下大膽的推測，他在大學期間就深得牛頓、哈密頓、麥克斯韋精神之真傳。狄拉克是說法語的移民之子，其父就要求狄拉克兄弟小時候要說嚴謹的法語，或許他的數學、物理學習也深受法國思想家如拉格朗日的影響。一個人若能是拉格朗日和哈密頓的精神嫡傳弟子，那構造起量子力學得心應手就是可理解的。狄拉克能寫優雅的法語文章是天經地義的，讓筆者驚訝的是他的德語論文，筆者眼拙，看不出和約當、泡利的德語論文有什么區別。此處擷取“論碰撞過程的量子力學”一文的摘要，能閱讀德語的朋友可自行評價。 Die Wellengleichung der Quantenmechanik für Sto?vorg?nge wird in Impulsver?nderlichen gel?st. Die Streuungswahrscheinlichkeit und die Ausbeute funktion ergeben sich dann durch eine Untersuchung der Singularit?tsstellen der Wellenfunktion. Die Methode, angewandt auf den Fall, wo das sto?ende Teilchen absorbiert werden kann, liefert die Breite einer Absorptionslinie [(本文)用動量表示求解關于碰撞過程的量子力學波方程。散射概率和傳播函數可通過對波函數奇點的研究得到。用于碰撞粒子被吸收情形的方法能得出吸收線的寬度]。

順便說一句，狄拉克著述頗豐且親自授課，但他是個沉默寡言的人。他不僅讓自己的名字同一個偉大的方程甚至一個偉大的時代相聯系，他還把自己的名字活成了一個非物理學單位，1狄拉克等于每小時說一個詞。

參考文獻

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