死磕套路屢碰壁，回溯通法方破局

當我們在八年級學習了全等三角形之后，基于全等判定的各類模型大行其道，也頗有奇效，畢竟教材上的例題也好，習題也罷，綜合程度并不高，這些模型的簡單應用足以解決問題，但若就此以為高枕無憂，確實打錯了算盤。

走出模型應用的舒適區很難，特別對于嘗到了甜頭的八年級學生，甚至老師，數學作為一門理性學科，從來不需要給某種方法立個牌坊，而需要質疑一切的探究精神。

題目

如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α(90° <α<120°)，d為bc的中點，e是線段cd上的動點(不與點c、d重合)，連接ae，將線段ae逆時針旋轉α得到線段af，連接ef交ac于點g，過點b作ac的平行線交fe的延長線于點h.< pan>

(1)求證：∠ACF=∠CBH；

(2)若M為線段FH的中點，連接DM，用等式表示線段DM與FG之間的數量關系并證明.

解析：

01

(1)經典手拉手模型，觀察此類模型，抓住等腰三角形這個核心條件即可，圖中有兩個等腰三角形，且頂角相同，分別是△ABC和△AEF，如下圖：

這樣我們可以得到AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=α，所以∠BAE=∠CAF，從而證明了△ABE≌△ACF，所以∠ABE=∠ACF.

而∠ABC=∠ACB，于是∠ACB=∠ACF，再利用BH∥AC得到∠CBH=∠ACB，最后得到∠ACF=∠CBH.

02

(2)秉持觀察-猜想-驗證的基本方法，首先作圖如下：

學生感到困難的地方在于線段DM和線段FG看上去沒啥關聯，因此建立它們之間的聯系是當務之急，用簡單的目測或估測，猜想FG=2DM，回顧我們曾學過的證明二倍線段的方法，最容易想到的是截長補短，以及由此衍生的倍長中線，這個思考問題的方式沒有錯，于是便有了如下嘗試：

學生一：

學生二：

學生三：

以上嘗試全部以失敗告終，前面兩位學生甚至沒能構造出全等三角形，第三位學生添加了更多輔助線，仍然不能如愿，就此陷入困境.

無論哪一位學生，在探索證法的過程中，都有意無意忽略掉了BH∥AC和點D為BC中點這個條件，缺乏這兩個關鍵條件的推導，自然難有結果.

所以我們需要回到題目原始條件，平行和中點這兩個條件能給我們帶來哪些突破？

連接GD并延長，交BH于點K，連接EK，如下圖：

借助BH∥AC，點D是BC中點，我們易得△BDK≌△CDG，于是可證DK=DG，即點D也是KG中點，從作圖結果來看，如果點M也是EG中點，則可利用中位線判定EK=2DM.

順著這條思路走下去，我們補全“拼圖”.

第一步，證明△BEK≌△CFG，如下圖：

由△BDK≌△CDG得BK=CG，前面已證過∠ACF=∠CBH，BE=CF，因此△BEK≌△CFG，得EK=FG，完成了線段FG的轉換任務.

第二步，證明點M是EG中點：

由△BEK≌△CFG，得∠BKE=∠CGF，于是∠EKH=∠CGE，利用平行得∠CGE=∠H，所以∠EKH=∠H，所以EK=EH，進一步轉換得EK=FG=EH，即△EKH為等腰三角形，而點M是線段FH中點，于是FM=HM，兩邊分別減掉FG和EH，得GM=EM，故點M確實是EG中點.

第三步，利用中位線完成證明：

現在已經可以證明DM是△GEK中位線了，所以EK=2DM，最后轉換得FG=2DM.

解題思考

曾經遇到過困難的這三位學生，最終都表明聽懂了，但這仍然不是這節課的終點，進一步追問：你覺得你原先的思路哪有問題？均回答道：沒想到中位線.

通常情況下中等生在解題時，往往會出現想得太簡單的情況，倒不是題目真的簡單，而是他們想不到更深層的關聯，此時中線倍長法曾經的成功占了上風，難道倍長就只能延長？！

利用中點構造中位線也并非難以想到，但在解這道題的過程中，有學生確實沒能聯想起來，由此反思我們的課堂教學，是否在這節課教學或后續教學中，對于中位線的構建沒有足夠的重視？

點D是BC中點，則點D是否是另外一條線段的中點？若圖中沒有這樣的線段，能否構造？

倍長DM不可行，因為延長后均為孤立的點，甚至由于作圖不夠準確，還有幾個學生認為倍長DM后恰好落在CF上(作圖必須準確呀！)，便簡單轉為截長，取FG中點，但前面曾遇到過的問題一個也沒解決，其實這個時候學生仍然沒有意識到BH∥AC，點D是BC中點究竟怎么用？

所以回歸到最初的方法，我們如何證明一條線段是另一條線段的兩倍？

構造一條線段滿足兩倍關系，再證明這條線段與原線段相等，這便是通法，涉及到全等三角形判定，中點相關的定理等，這個突破口一旦打開，后面的思路就如同泉涌了。