摘要

自舉滲流是一種被廣泛研究的網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)失效魯棒性分析模型。大量現(xiàn)實(shí)數(shù)據(jù)分析表明，網(wǎng)絡(luò)元素間存在超越成對(duì)交互的高階交互作用，這類交互通常通過超圖描述。本文提出了一種超圖上的廣義自舉滲流模型，該模型假設(shè)非活躍節(jié)點(diǎn)的激活取決于其通過超邊連接的活躍鄰居數(shù)量。通過數(shù)值模擬與理論分析，我們發(fā)現(xiàn)滲流閾值與相變類型與感染閾值及高階邊比例密切相關(guān)：當(dāng)感染閾值較大時(shí)，對(duì)于任意初始激活概率，巨型活躍組件（GAC）的規(guī)模均隨占據(jù)概率增加呈現(xiàn)連續(xù)增長(zhǎng)；當(dāng)感染閾值較小時(shí)，隨著初始激活概率增大，GAC的規(guī)模會(huì)從連續(xù)增長(zhǎng)轉(zhuǎn)變?yōu)榉沁B續(xù)增長(zhǎng)。此外研究發(fā)現(xiàn)，在固定網(wǎng)絡(luò)平均度的情況下，提高高階邊比例會(huì)降低滲流閾值，從而增強(qiáng)網(wǎng)絡(luò)魯棒性；同時(shí)高階邊為節(jié)點(diǎn)激活創(chuàng)造了更多機(jī)會(huì)，相同條件下增加高階邊比例會(huì)使GAC規(guī)模從連續(xù)增長(zhǎng)轉(zhuǎn)變?yōu)榉沁B續(xù)增長(zhǎng)。

關(guān)鍵詞：超圖，自舉滲流（bootstrap percolation）、巨活躍組件（Giant Active Component, GAC）、高階相互作用，相變

論文題目：Bootstrap percolation on hypergraph 發(fā)表時(shí)間：2025年4月10日 論文地址：https://doi.org/10.1063/5.0245651 期刊名稱：Chaos

研究背景

傳統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)科學(xué)研究多關(guān)注節(jié)點(diǎn)間的成對(duì)相互作用，但現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)中廣泛存在的高階相互作用（如社交群體共識(shí)、神經(jīng)元集群調(diào)控）需要更復(fù)雜的建模工具。超圖（hypergraph）通過允許單條超邊（hyperedge）連接多個(gè)節(jié)點(diǎn)，成為描述這類群體行為的重要框架。近期 Chaos 發(fā)表一項(xiàng)研究，首次將自舉滲流模型拓展至超圖，揭示了高階相互作用對(duì)網(wǎng)絡(luò)抗毀性和傳播動(dòng)力學(xué)的深刻影響。

超圖上的激活機(jī)制：從節(jié)點(diǎn)到群體的級(jí)聯(lián)

研究提出了一種基于超圖的自舉滲流模型，初始時(shí)隨機(jī)激活部分節(jié)點(diǎn)，隨后通過兩階段迭代傳播：

1.節(jié)點(diǎn)→超邊感染：若超邊內(nèi)活躍節(jié)點(diǎn)數(shù)超過閾值，整個(gè)超邊被激活；

2.超邊→節(jié)點(diǎn)感染：被激活超邊中的剩余節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)為活躍狀態(tài)。

這一過程模擬了現(xiàn)實(shí)中的群體行為“引爆點(diǎn)”，例如社交媒體中局部共識(shí)的突然爆發(fā)或疾病在社區(qū)內(nèi)的快速擴(kuò)散。研究進(jìn)一步通過蒙特卡洛模擬和理論推導(dǎo)，提出了巨活躍組件（GAC）的計(jì)算方法，GAC的定義是穩(wěn)定狀態(tài)下最大連通活躍節(jié)點(diǎn)集群的相對(duì)大小，標(biāo)志著網(wǎng)絡(luò)的抗毀性。

圖 1. 在由 11 個(gè)節(jié)點(diǎn)和 5 條超邊構(gòu)成的隨機(jī)超圖中，閾值 K = 2 的自舉滲流過程示意圖，其中藍(lán)色節(jié)點(diǎn)為初始激活節(jié)點(diǎn)，灰色節(jié)點(diǎn)為隨后激活的節(jié)點(diǎn)。（a）初始狀態(tài)下，超圖中沒有激活節(jié)點(diǎn)。（b）根據(jù)初始激活百分比 f 隨機(jī)激活一些節(jié)點(diǎn)，即圖中的藍(lán)色節(jié)點(diǎn)。（c）由于圖中兩條超邊中的激活節(jié)點(diǎn)數(shù)量達(dá)到閾值 K，因此整個(gè)超邊被激活，超邊中剩余的節(jié)點(diǎn)也被激活，即圖中的灰色節(jié)點(diǎn)。（d）然后另外兩條超邊中的激活節(jié)點(diǎn)數(shù)量達(dá)到閾值，導(dǎo)致整個(gè)超邊被激活，其剩余節(jié)點(diǎn) 4 和 6 也被激活。整個(gè)超圖被激活，達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。

相變類型：閾值與超邊比例的博弈

團(tuán)隊(duì)通過蒙特卡洛模擬與生成函數(shù)理論分析發(fā)現(xiàn)，網(wǎng)絡(luò)最終巨活躍組件（GAC）出現(xiàn)了兩種相變模式：

• 連續(xù)相變：當(dāng)感染閾值較大時(shí)，GAC隨初始激活比例連續(xù)增長(zhǎng)，無突躍現(xiàn)象。

• 不連續(xù)相變：當(dāng)感染閾值較小時(shí)，GAC可能在特定初始激活發(fā)生突躍。例如，在平均超度?q? = 3 的超圖中，增加高階超邊比例（即三元及以上邊）會(huì)降低滲流閾值，使網(wǎng)絡(luò)更魯棒，但同時(shí)可能觸發(fā)GAC的突躍增長(zhǎng)。

這一現(xiàn)象源于亞臨界脆弱集群：當(dāng)活躍節(jié)點(diǎn)數(shù)接近感染閾值時(shí)，微小擾動(dòng)即可觸發(fā)級(jí)聯(lián)激活。高階超邊通過增強(qiáng)節(jié)點(diǎn)間的協(xié)同效應(yīng)，加速了這種“雪崩式”擴(kuò)散。

理論突破：

隨機(jī)超圖與均勻超圖的臨界行為差異

研究對(duì)比了均勻超圖（所有超邊基數(shù)相同）和隨機(jī)超圖（超邊基數(shù)服從泊松分布）的相變特征：

• 均勻超圖：滲流閾值與超邊基數(shù)呈負(fù)相關(guān)，稀疏網(wǎng)絡(luò)更易因激活條件苛刻而難以形成GAC。

• 隨機(jī)超圖：超邊基數(shù)的異質(zhì)性導(dǎo)致系統(tǒng)更易出現(xiàn)二階相變，即GAC規(guī)模在臨界點(diǎn)附近發(fā)生突變（圖3）。

通過構(gòu)建自洽方程，團(tuán)隊(duì)推導(dǎo)出臨界閾值公式，揭示了超度分布與超邊基數(shù)分布對(duì)網(wǎng)絡(luò)抗毀性的聯(lián)合作用。

圖 2. 在均勻超圖中 d = 3 時(shí)的滲流轉(zhuǎn)變。（a）和（c）活躍節(jié)點(diǎn)的比例 Sa 作為占據(jù)概率 p 和平均超度 ?q? 的函數(shù)。（b）和（d）巨連通分量的大小 Sgc 作為占據(jù)概率 p 和平均超度 ?q? 的函數(shù)。在（a）和（b）中閾值 K = 4，在（c）和（d）中閾值 K = 5。白色曲線表示滲流閾值。

圖 3. 隨機(jī)超圖上的滲流轉(zhuǎn)變。（a）活躍節(jié)點(diǎn)的比例 Sa 作為占據(jù)概率 p 和平均超度 ?q? 的函數(shù)，K = 4。（b）GAC 的大小 Sgc 作為占據(jù)概率 p 和平均基數(shù) ?q? 的函數(shù)，K = 4。（c）活躍節(jié)點(diǎn)的比例 Sa 作為占據(jù)概率 p 和平均超度 ?q? 的函數(shù)，K = 5。（d）GAC 的大小 Sgc 作為占據(jù)概率 p 和平均基數(shù) ?q? 的函數(shù)，K = 5。（e）-（h）在相同參數(shù)設(shè)置下平均基數(shù)和占據(jù)概率對(duì)滲流的影響。白色曲線代表滲流閾值。

現(xiàn)實(shí)啟示：從脆弱性預(yù)警到傳播干預(yù)

1. 社交網(wǎng)絡(luò)韌性：增加群體互動(dòng)（高階邊）可降低系統(tǒng)崩潰閾值，但需警惕“超邊過度連接”導(dǎo)致的不穩(wěn)定相變風(fēng)險(xiǎn)。

2. 傳播控制策略：在疾病防控中，針對(duì)基數(shù)較大的超邊（如密集社區(qū)）實(shí)施局部隔離，可有效提高感染閾值\( K \)，抑制不連續(xù)爆發(fā)現(xiàn)象。

3. 信息擴(kuò)散優(yōu)化：研究為“病毒式傳播”提供了動(dòng)力學(xué)解釋——當(dāng)初始激活節(jié)點(diǎn)滲透足夠多脆弱集群（vulnerable clusters）時(shí)，GAC規(guī)模將呈指數(shù)級(jí)躍升。

未來展望

該模型為信息傳播、疾病防控等領(lǐng)域提供了新視角，例如，在流行病學(xué)中，群體接觸（如家庭、學(xué)校）的感染閾值可用于預(yù)測(cè)疫情爆發(fā)臨界點(diǎn)；在供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)中，高階依賴關(guān)系的識(shí)別有助于優(yōu)化關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)保護(hù)策略。這項(xiàng)研究為理解大腦神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)同步、供應(yīng)鏈中斷傳播等復(fù)雜現(xiàn)象提供了新工具，標(biāo)志著網(wǎng)絡(luò)科學(xué)向高階動(dòng)力學(xué)邁出關(guān)鍵一步。 未來研究可進(jìn)一步探索異質(zhì)性超圖（如節(jié)點(diǎn)權(quán)重、動(dòng)態(tài)閾值）對(duì)級(jí)聯(lián)失效的影響，以及多層級(jí)網(wǎng)絡(luò)的耦合效應(yīng)。

彭晨| 編譯

高階網(wǎng)絡(luò)社區(qū)

隨著對(duì)現(xiàn)實(shí)世界探索的不斷深入，人們發(fā)現(xiàn)在許多真實(shí)的復(fù)雜系統(tǒng)中，組成系統(tǒng)的個(gè)體之間不僅存在二元交互關(guān)系，也廣泛存在多個(gè)體同時(shí)（或以特定順序）進(jìn)行交互，即高階交互現(xiàn)象。為此，研究人員分別發(fā)展出了基于超圖、單純復(fù)形、依賴關(guān)系等的網(wǎng)絡(luò)高階表示模型，為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)分析和研究提供了新的思路。

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