概率分布可以理解為是一個描述可能結果的“地圖”，告訴你某個結果發(fā)生的可能性有多大，幫你看清楚在一堆可能性中哪些結果更常見，哪些結果比較少見。

舉個例子：你平時點的外賣，通常會在30分鐘左右送到，偶爾也會更快或更慢。假設我們畫出你歷史上點過的外賣的送達時間概率分布圖。圖中顯示：大多數(shù)的送達時間集中在平均值附近（約30分鐘），極少數(shù)時候還會遠早于或遠超預期時間。（比如極端天氣、或是小哥在途中見義勇為…）

圖中展示的就是一個典型的正態(tài)分布。概率分布告訴我們，在一系列結果的可能性中，哪些結果更常見，哪些結果更少見。

這就是概率分布的概念——展示某種事件出現(xiàn)的可能性大小。

理解概率分布可以幫助我們在各種隨機事件中找到規(guī)律，在不確定性中做出更好的預估和決策。比如在統(tǒng)計分析時，根據(jù)數(shù)據(jù)分布選擇適當?shù)募僭O檢驗方法、在金融和保險市場通過了解數(shù)據(jù)的分布來評估和管理風險等等。

接下來我們一起看看幾種日常生活中最常見的概率分布。

01

正態(tài)分布 (Normal Distribution)

這種對稱的鐘形曲線應該很眼熟了，它的特點是中間最高，兩邊逐漸降低。這就是我們身邊最為常見的正態(tài)分布（也稱高斯分布）。

正態(tài)分布代表了一種普遍的規(guī)律：大多數(shù)事物都集中在一個平均值附近，越偏離這個中心的極端事件越相對稀少。比如人群的身高、體重、智商等特征往往接近正態(tài)分布。

英國著名的統(tǒng)計學家高爾頓設計了釘板實驗來形象地展示正態(tài)分布：

想象一個木板上有很多小釘子，從頂部放下的小球會隨機向左或向右移動，最終落在底部的容器里。隨著小球數(shù)量增多，大多數(shù)小球會落在中間的容器里，少數(shù)會落到兩邊，形成一個“鐘形曲線”，即正態(tài)分布。

這表明，雖然每個小球的路徑是隨機的，但結果并不完全無序。因為左右移動的概率相等，大多數(shù)小球最終會集中在中間位置。正態(tài)分布展示了這種現(xiàn)象—— 大多數(shù)結果集中在平均值附近，極端情況較少出現(xiàn)。

這大概也是自然的平衡狀態(tài)的一種反映：萬事萬物趨于中庸。

為了更好地理解各種概率分布，我們經(jīng)常使用圖表來直觀地展示概率密度函數(shù)（PDF，通常用來展示連續(xù)數(shù)據(jù)的分布）或概率質量函數(shù)（PMF，通常展示離散數(shù)據(jù)的分布）來觀察不同分布的特性，比如數(shù)據(jù)集中在什么位置以及數(shù)據(jù)的分散程度。

正態(tài)分布的概率密度函數(shù)（PDF）由以下公式給出：

其中，μ是平均值（mean), σ是標準差（standard deviation)。

曲線的形狀完全由均值μ和標準差σ控制。（以下展示了不同均值和方差的分布曲線）

68-95-99.7規(guī)則

在正態(tài)分布中：

約68%的數(shù)據(jù)落在平均值加減一個標準差（μ±σ）范圍內(nèi)；

約95%的數(shù)據(jù)落在平均值加減兩個標準差（μ±2σ）范圍內(nèi)；

約99.7%的數(shù)據(jù)落在平均值加減三個標準差（μ±3σ）范圍內(nèi)

在生產(chǎn)流程中，68-95-99.7規(guī)則經(jīng)常用來判斷流程穩(wěn)定性。

如果某個部件的目標值偏離了平均值超過三個標準差，說明生產(chǎn)過程出了問題。舉個例子，假設我們在生產(chǎn)線上罐裝飲料，每罐飲料的目標容量是500ml，實際生產(chǎn)過程中存在一定微小誤差。假設這些容量的誤差服從正態(tài)分布：均值為500ml，標準差為5ml。

也就是說，當我們隨機抽取一罐飲料，有68%的概率這罐飲料的容量會在500±5ml（495ml到505ml）之間。

通過采樣和分析，如果大部分產(chǎn)品的容量都落在95%范圍內(nèi)（490ml到510ml），說明生產(chǎn)過程是穩(wěn)定和可控的。反之如果有較多產(chǎn)品超出這個范圍，就需要重新校準設備或調整流程。

中心極限定理（Central Limit Theorem）

中心極限定理是一條重要的統(tǒng)計學原則：當我們從總體中隨機抽取多個獨立且相同下的樣本，這些樣本平均值的分布會趨近于正態(tài)分布。

也就是說，不管原始數(shù)據(jù)的分布如何，隨著樣本數(shù)量的積累，最終都會趨向于一種有序和可預測性（聽起來是不是有點像“無論過程多么混亂，最后總會歸于平靜”的人生哲學）

比如賭彩公司的盈利機制就利用了中心極限定理，保證即使彩票中獎分布是離散的或不規(guī)則的，累加起來的總獎金分布卻是平滑的正態(tài)分布，讓彩票公司能夠在面對小概率事件（如頭獎爆發(fā)），整體上依然能夠維持盈利。

02

伯努利分布（Bernoulli Distribution）

伯努利分布（Bernoulli Distribution）描述只有兩個可能結果的隨機試驗。

拋硬幣就是一個典型的伯努利試驗，它的結果服從伯努利分布：每次拋擲硬幣時，結果只有兩種可能——正面或反面。伯努利分布也是所有二項分布的基礎。

伯努利分布的數(shù)學表達：

其中p 是成功的概率（0 ≤ p ≤ 1）。

伯努利分布在許多實際問題中都有應用，尤其是在那些可以簡化為“成功-失敗”的二元結果場景中：比如在生產(chǎn)線上檢測產(chǎn)品質量，每個產(chǎn)品要么合格（成功）要么不合格（失敗），每次檢測就是一次伯努利試驗。

03

二項分布（Binomial Distribution）

如前面所說，每次拋硬幣都是獨立的伯努利實驗。那么二項分布就可以理解為反復拋硬幣，可以看作是多次伯努利試驗的結果。

二項分布（Binomial Distribution）是描述 n次獨立相同的伯努利試驗中成功次數(shù)的分布。

二項分布的概率質量函數(shù)（PMF）可以用來計算在n次試驗中成功k次的概率，數(shù)學表達式為：

二項分布的參數(shù)包括實驗次數(shù) n和每次實驗成功的概率p。

舉個例子，我們可以用伯努利分布描述用戶是否點擊廣告的情況。某業(yè)務投放了一次廣告給某個用戶，用戶的點擊行為可以看作是一個伯努利試驗（要么點擊，要么不點擊），該用戶的點擊行為服從伯努利分布，那么在n次廣告的投放中（或是n個用戶的點擊事件），這些點擊次數(shù)服從二項分布。

又比如某工廠每天生產(chǎn)100個產(chǎn)品，每個產(chǎn)品有5%的概率是次品，二項分布可以描述每天出現(xiàn)次品的數(shù)量分布；籃球運動員在一次訓練中進行20次投籃，每次投中的概率為0.8，二項分布可以描述他投中次數(shù)的分布情況。

04

泊松分布（Poisson Distribution）

假設你注意到每天早高峰去咖啡店的顧客數(shù)量是隨機的，有時候會突然來一大群人，有時候則沒人光顧。

你開始好奇，在8點到9點這一小時內(nèi)有25位顧客到達的概率是多少？這時泊松分布就能很好地回答這個問題。

泊松分布用于描述“在一定時間內(nèi)發(fā)生了多少次事件”，特別適用于分析那些發(fā)生時間隨機且獨立的事件，比如每小時有多少輛車通過某個路口。

泊松分布在現(xiàn)實中有廣泛的應用，尤其是那些涉及隨機事件發(fā)生次數(shù)的場景，比如：

電話客服中心的呼叫量：如果某個客服中心平均每小時接到5個電話，那么在某個小時內(nèi)接到k個電話的概率可以用泊松分布來估算；

交通事故的發(fā)生次數(shù)：可以用泊松分布來預測下個月某路段可能發(fā)生的事故次數(shù)；

罕見事件的發(fā)生：假設一家醫(yī)院每天平均接收3個急診病例，那么也可以用泊松分布來計算某天接收到2個或4個急診病例的概率。

泊松分布的概率質量函數(shù)（PMF）定義如下：

其中X是隨機變量，表示事件發(fā)生的次數(shù)。λ 是單位時間內(nèi)事件發(fā)生的平均次數(shù)（即平均到達率）

隨著λ值的增加，事件發(fā)生的次數(shù)的分布會向右移動，且分布的峰值也逐漸變寬。這意味著事件發(fā)生的次數(shù)增多且有更大的分散性。例如，當λ=9時，事件發(fā)生次數(shù)從0到10都有較大的概率，并且分布曲線的尾部比較長。

泊松分布廣泛應用在資源配置優(yōu)化方面的問題。比如呼叫中心在不同時間段接到的電話數(shù)量可能會有很大波動。管理者可以根據(jù)泊松分布的概率預測，判斷在高峰期可能出現(xiàn)的電話需求來合理安排接線員的數(shù)量。

05

指數(shù)分布(ExponentialDistribution）

在統(tǒng)計學中，指數(shù)分布是一種重要的概率分布，用于描述時間間隔或事件間隔的概率。例如，假設你在某個公交車站等待公交車，公交車到達的時間間隔可以用指數(shù)分布來描述。指數(shù)分布廣泛應用在生物學、工程學、物理學和金融學等領域。

回憶前面講的泊松分布 ——

泊松分布描述的是在一個固定時間段內(nèi)某個事件發(fā)生的次數(shù)。它關注的是事件的頻率，指數(shù)分布描述的是兩個事件之間的時間間隔。它關注的是事件的間隔時間。

簡單來說，泊松分布是用來解決“在給定時間內(nèi)，事件發(fā)生了多少次”的問題。比如在1周內(nèi)接到多少次詐騙電話？在1年內(nèi)，某個路段上發(fā)生了多少次交通事故？

指數(shù)分布則用來解決“兩個連續(xù)事件之間的時間間隔有多長”的問題。比如兩個電話呼叫之間的時間間隔是多少？兩次交通事故之間的時間間隔有多長？

概率密度函數(shù)（PDF）:

其中參數(shù)λ 代表著平均發(fā)生率。

指數(shù)分布經(jīng)常用于運籌優(yōu)化。比如通過使用排隊論中的指數(shù)分布模型，銀行可以分析客戶到達的情況以及平均等待時長，了解系統(tǒng)負載情況從而調整服務資源。

06

帕累托分布（Pareto Distribution）

舉個例子，我日常80%的時間都在穿衣柜中20%的那幾件衣服…這其實就是我們熟知的帕累托原則！（28原則）

28原則是指在很多現(xiàn)象中，少數(shù)重要的因素（約20%）往往貢獻了大多數(shù)的結果（約80%）。這個概念最先由意大利經(jīng)濟學家維爾弗雷多·帕累托（Vilfredo Pareto）提出。他發(fā)現(xiàn)，80%的財富掌握在20%的人手中，引出了帕累托分布。

帕累托分布為28原則提供了數(shù)學基礎和理論支持。

帕累托分布還具有長尾效應，也就是說雖然大多數(shù)的事件或結果集中在“頭部”（比如熱門商品或常見事件），但還有一個很長的“尾部”，包含了大量的低頻事件或小眾商品。這些小眾的部分雖然單個來看不太顯眼，但總覆蓋面也相當可觀。

帕累托分布的概率密度函數(shù)（PDF）：

其中：x是隨機變量，表示某一資源的大小（如財富、收入）Xm是最小可能值（通常大于0）；α是形狀參數(shù)，決定分布的形狀。

帕累托分布的期望值和方差取決于形狀參數(shù)α的值。

帕累托分布幫助我們在分析和預測不均衡分布現(xiàn)象時更加準確，從而優(yōu)化資源分配和業(yè)務決策。

以上就是6個數(shù)據(jù)分析中常見的概率分布。

數(shù)學家皮埃爾-西蒙·拉普拉斯說過：“概率論是常識的延伸。”看似隨機的現(xiàn)象背后都有著一定的模式。概率分布的作用正是體現(xiàn)現(xiàn)實世界的運行規(guī)律，讓我們能更理性地面對不確定性。

參考文獻

[1]Towards Data Science.“Waiting Line Models.” Towards Data Science, 2024, https://towardsdatascience.com/waiting-line-models-d65ac918b26c.

[2]Padilla, José. “Dice, Dragons and Getting Closer to Normal Distribution: The Centra Limit Theorem.” Minitab Blog, Minitab, 27 June 2020. https://blog.minitab.com/dice-dragons-and-getting-closer-to-normal-distribution

[3]Durrett, Richard. Probability: Theory and Examples. Cambridge University Press, 2019.

[4]Weisstein, Eric W. “Normal Distribution.” MathWorld—A Wolfram Web Resource.

[5]Wikipedia Contributors. “Binomial Distribution.” Wikipedia, The Free Encyclopedia. Available at: https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution

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來源：DataCafe

編輯：瀟瀟雨歇

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