遵從定義挖掘隱圓——幾何思路怎么來？

俗話說幾何幾何，想破腦殼，輔助線不到位，思路完全沒著落，于是老師幫學(xué)生歸納出大量解題模型，甚至于到了“看到某某就作某線”的口訣地步，當(dāng)然對于常規(guī)題目，這些東西比較有效，瞎貓總會碰到幾只死老鼠，但這種學(xué)習(xí)方式魔怔化之后，卻是危害無窮。

所以作為數(shù)學(xué)老師，課堂上的重要任務(wù)不是告知學(xué)生輔助線要這樣畫，而是幫助學(xué)生想到輔助線怎么畫，學(xué)生腦子里應(yīng)該有大量的數(shù)學(xué)概念，課堂上老師引導(dǎo)學(xué)生用這些概念去匹配數(shù)學(xué)題目中的條件，解讀幾何圖形，下面以2025年海淀區(qū)一模第27題為例說明幾何思路究竟如何想到.

題目

如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α(0° <α<45°)，ad⊥bc于d，將射線ba繞點b順時針旋轉(zhuǎn)45°得到射線bm，過點c作bm的垂線交bm于點e，交射線ba于點f，連接ed.< pan>

(1)依題意補全圖形，并求∠EDC的大小；(用含α的式子表示)

(2)在DC上取點G，使DG=AD，連接EG，用等式表示線段EG，AF與CF的數(shù)量關(guān)系，并證明.

解析：

01

(1)補全圖形，如下圖：

由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，AD⊥BC說明AD同時也是BC邊上中線，即點D為BC中點，EF⊥BE可知△BCE是直角三角形，其中BC是其斜邊，則DE是其斜邊上的中線，因此DE=DB，∠DBE=∠DEB=45°-α，最后利用三角形外角定理，得∠EDC=2(45°-α)=90°-2α；

02

(2)按要求作圖如下：

首先觀察這三條線段的位置，AF與CF夾角為45°，EG相對“孤立”，從長度上觀察它們，AF最長，CF其次，EG最短，因此大膽猜想最長線段應(yīng)該是兩條較短線段之和，基于這個猜想(不一定正確)去尋找突破口；

通常情況下，我們將最短線段“放”到最長線段上，使其一個端點重合，再比較剩下線段之間的關(guān)系，所以采用何種方式將線段EG“放”到線段AF上是關(guān)鍵，再結(jié)合圖中已有條件∠ABE=45°，EF⊥BE，可知△BEF是等腰直角三角形，∠F=45°，利用這個特殊角，我們不妨作CH⊥AF，垂足為H，如下圖：

為方便敘述，我們將所有直角都標(biāo)注出來，觀察圖中Rt△BCH，點D同樣是斜邊上中點，所以連接DH，得Dh是斜邊上中線，可知DH=BD=CD，再加上前面推導(dǎo)出了BD=ED，于是我們很驚喜地發(fā)現(xiàn)B、E、C、H到點D的距離相同，這令人想起圓的概念，其實可以作出這個圓，如下圖：

此時我們再來觀察∠ABC，在圓D中，它是圓周角，所對弧是劣弧CH，同樣它還對著一個圓心角∠CDH，因此∠CDH=2α，求得∠ADH=90°-2α，和前一小題的結(jié)論∠EDC=90°-2α一樣，所以∠ADH=∠EDC，條件中還有AD=GD，這極易聯(lián)想到全等三角形，如下圖：

在△ADH和△GDE中，AD=GD，∠ADH=∠GDE，DH=DE，于是△ADH≌△GDE，得HA=EG，我們成功將線段EG“放”到了AF上，接下來就是觀察剩余的線段HF和線段CF間的關(guān)系了，顯然△FCH是等腰直角三角形，因此CF=√2HF，最后我們得到AF=HA+HF=EG+√2CF.

解題思考

在學(xué)生解題過程中，我留意觀察到幾種嘗試，其中也包括上面的輔助線作法，但始終得不到全等三角形的三個條件，在推導(dǎo)無果之后，又開始用別的套路來碰死老鼠……
其實這道題并不算難，典型的手拉手模型，但正如我們教學(xué)生手拉手模型一樣，這個模型是學(xué)生歸納出來的，還是老師一上課就告訴學(xué)生“今天我們學(xué)習(xí)手拉手模型”，并給出若干圖例讓學(xué)生在題目中找，實質(zhì)上這個過程就和碰死老鼠無異.

解題模型的歸納，是要學(xué)生自已歸納出來，每個學(xué)生記憶模型的方式是不一樣的，正如它的名稱一樣，你叫它腳拉腳模型未嘗不可，隨便你怎么叫，只要基本圖形在腦子里成型就好.(其實規(guī)范點，應(yīng)該叫旋轉(zhuǎn)全等三角形)

從前面的分析過程中可以發(fā)現(xiàn)，隱圓是關(guān)鍵條件，它有效關(guān)聯(lián)了兩個共斜邊的直角三角形，并且利用了第一小題的結(jié)論，湊齊了全等的三個條件，如果僅僅是套路，那可能會截取AH=EG，然后就陷入無法湊齊全等條件的困境中，也有學(xué)生過點C作了垂線，依然沒能找齊全等條件，是沒有發(fā)現(xiàn)隱圓，雖然通過導(dǎo)角也能得到結(jié)論，但耗時太多，這樣的解題過程，在我看來盡管做對了，但未達(dá)到題目的考查目的，屬于“雖勝猶敗”，這和我們刷題戰(zhàn)術(shù)下，只要解對就行，是完全不一樣的教學(xué)思路.

只有最優(yōu)解，才是需要積累的寶貴經(jīng)驗.