防走失，電梯直達(dá)安全島報人劉亞東A

來源：知識分子

作者：張?zhí)烊?/strong>

英國數(shù)學(xué)家羅杰 ·彭羅斯（ Sir Roger Penrose ， 1931- ）

諾貝爾獎在科技界的地位無可非議，遺憾的是它沒有數(shù)學(xué)獎。不過，也有幾位數(shù)學(xué)家得到了諾貝爾獎。本篇的主角，英國數(shù)學(xué)家羅杰·彭羅斯（Sir Roger Penrose，1931-），就與兩個諾獎有關(guān)。

之前介紹過的“王浩瓷磚”，屬于“非周期性密鋪”圖案，由11個王氏磚組合成一組，可以實(shí)現(xiàn)一種非周期性密鋪。所謂“非周期性”，意味著將密鋪的一部分，不旋轉(zhuǎn)地移動有限距離，不會產(chǎn)生完全相同的密鋪圖案，也就是說，圖案不具有平移對稱性。通俗地說，就是可以用這一組瓷磚，一直鋪下去但圖案永不重復(fù)。這一組瓷磚叫做“原始瓷磚”。

由王氏磚研究的啟發(fā)，有人便思考如何用更少數(shù)目不同原始瓷磚的組合，來實(shí)現(xiàn)非周期性密鋪。結(jié)果得到一個較小的數(shù)目：2，例如彭羅斯密鋪。

01

彭羅斯密鋪

沒有周期的密鋪是非周期的。如果一組原始瓷磚構(gòu)成的所有密鋪都是非周期的，則稱為非周期密鋪。非周期密鋪比周期性密鋪更具趣味性，在數(shù)學(xué)研究中也更有意義，比如王浩瓷磚，能與圖靈機(jī)聯(lián)系起來。彭羅斯密鋪也很有意思，它是已知最簡單的由有限原始瓷磚構(gòu)成的平面非周期密鋪的重要例子之一。

圖1：兩種等效的彭羅斯密鋪（原始瓷磚數(shù)不同）

第一個彭羅斯密鋪，由六個原始瓷磚組成，由彭羅斯在1974 年的一篇論文中引入[1]，它基于正五邊形而不是正方形。我們知道，任何用正五邊形拼貼平面的嘗試都必然留下空隙，但這些空隙可以用五角星以及其他形狀填補(bǔ)。彭羅斯找到了這些形狀的匹配規(guī)則，得到了一個六種原始瓷磚的非周期集，見圖1a。在圖1a中，六種原始瓷磚用六種不同的顏色表示，其中有三種顏色的正五邊形，它們被看作是不同的原始瓷磚，是因為它們遵循的匹配規(guī)則不同[2]。

隨后，彭羅斯將原始瓷磚的數(shù)量減少到兩個，發(fā)現(xiàn)了菱形密鋪和風(fēng)箏飛鏢密鋪兩種類型，見圖1b。這個發(fā)現(xiàn)由馬丁·加德納在 1977 年 1 月的《科學(xué)美國人》 “數(shù)學(xué)游戲”專欄中發(fā)表。

從圖1中可見，彭羅斯這種密鋪方法拼出來的圖案，沒有周期性，但卻具有五次對稱性。

02

密鋪與諾貝爾獎

彭羅斯的密鋪是他眾多數(shù)學(xué)小作品中的一個。不過，這個“小”數(shù)學(xué)游戲，卻使另一位以色列科學(xué)家舍特曼受益匪淺，獨(dú)自獲得了2011年諾貝爾化學(xué)獎，以表彰他“對準(zhǔn)晶體的發(fā)現(xiàn)”。

1982-1984年，材料科學(xué)家丹·謝赫特曼（Dan Shechtman，1941-，丹尼爾·舍特曼）（圖2），在電鏡下觀察快速冷卻的鋁錳合金時，發(fā)現(xiàn)了一種新的金屬相，其電子衍射斑具有明顯的五次對稱性，這是一種新形態(tài)的二十面體相（Icosahedral Phase）分子結(jié)構(gòu)，見圖2右。

圖2：謝赫特曼和銀鋁合金準(zhǔn)晶的原子模型

然而一開始，謝赫特曼的新發(fā)現(xiàn)沒有被主流化學(xué)界認(rèn)同，別人都不相信他的說法，原始文章也難以發(fā)表，使謝赫特曼感到分外沮喪。

權(quán)威們?yōu)槭裁磿磳δ兀恳驗楦鶕?jù)晶體結(jié)構(gòu)理論，晶體就是空間中有周期重復(fù)的對稱性排列。周期重復(fù)對應(yīng)于數(shù)學(xué)中的平移，因此，晶體中的原子格點(diǎn)，需滿足平移對稱性。如此一來，原子格點(diǎn)只可能具有2、3、4、6重的旋轉(zhuǎn)對稱性，不可能具有謝赫特曼所觀察到的5重旋轉(zhuǎn)對稱性。換句話說：5重旋轉(zhuǎn)對稱不能與平移性共存，而平移對稱是晶體的基本特征。

謝赫特曼相信自己多次實(shí)驗所見到的事實(shí)，為了解釋這點(diǎn)，他提出一種解釋，認(rèn)為晶體可能有時會出現(xiàn)“非周期性” 的圖案。這種解釋遭到科學(xué)界的敵視和嘲諷。萊納斯·鮑林甚至說他在“胡說”，“沒有偽晶體，只有偽科學(xué)家。”，上司告訴他，“回去讀教科書”，“讓他停止為團(tuán)隊‘帶來恥辱’。”

最后，彭羅斯早就發(fā)現(xiàn)了的數(shù)學(xué)拼圖方法幫助了謝赫特曼，讓晶體研究者們認(rèn)識到5重旋轉(zhuǎn)對稱的非周期結(jié)構(gòu)的確是真實(shí)存在的，加上后來接連不斷的其他類似實(shí)驗結(jié)果的發(fā)現(xiàn)。人們才認(rèn)識到這是一種新物態(tài)，類似晶體又不完全是晶體，故稱之為“準(zhǔn)晶體“。

比較圖1和圖2，可以看出，彭羅斯密鋪與謝赫特曼發(fā)現(xiàn)的銀鋁合金準(zhǔn)晶體原子模型的相似性。

兩年后，謝赫特曼的文章得以發(fā)表。2011年，他獨(dú)享該年的諾貝爾化學(xué)獎[3]。

03

彭羅斯自己的諾獎

9年之后，彭羅斯自己也得了諾獎，不是因為容易理解的拼圖小游戲了，而是與“黑洞”有關(guān)。他因為“發(fā)現(xiàn)黑洞的形成是對廣義相對論的有力預(yù)測”，而榮獲了2020年度的諾貝爾物理學(xué)獎。

羅杰·彭羅斯出生于英國埃塞克斯郡，一個顯赫的學(xué)術(shù)家族。祖父母是愛爾蘭裔藝術(shù)家；父母都是精神病學(xué)家和遺傳學(xué)家；兄弟姐妹皆為學(xué)術(shù)精英。彭羅斯的父親在智力障礙遺傳學(xué)方面進(jìn)行了開創(chuàng)性的工作，同時也是著名的數(shù)學(xué)家和國際象棋理論家，這點(diǎn)對彭羅斯的成長影響巨大。

二戰(zhàn)期間，彭羅斯在加拿大度過了童年，隨后，他進(jìn)入倫敦大學(xué)學(xué)院，并于1952 年完成本科，1957 年在劍橋大學(xué)獲得代數(shù)幾何博士學(xué)位。

彭羅斯本科時便開始了他的學(xué)術(shù)生涯，作出不凡的成績，90歲之后仍然參與學(xué)術(shù)活動。

彭羅斯得到諾貝爾物理學(xué)獎的工作，是他作為“數(shù)學(xué)物理學(xué)家”的成果。1964 年，彭羅斯研究廣義相對論的彎曲幾何，使用與約翰·惠勒發(fā)展的微擾論不同的更具創(chuàng)新性的方法，即忽略時空的詳細(xì)幾何結(jié)構(gòu)，而只關(guān)注空間的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。彭羅斯在1965年發(fā)表的劃時代重要論文《引力坍縮與時空奇點(diǎn)》[4]中提出，如果一個物體（例如后期恒星）在某個點(diǎn)之后內(nèi)爆，那么沒有什么可以阻止引力場變得如此強(qiáng)大以形成某種奇點(diǎn)，是他對黑洞引力塌縮理論之最早陳述。

彭羅斯比公眾熟知的霍金年長10歲左右，他曾擔(dān)任霍金博士答辯的評委。彭羅斯在廣義相對論工作中的第一條奇性定理，對霍金的研究有所啟發(fā)，之后，他們倆又一起證明了廣義相對論中的“彭羅斯-霍金奇點(diǎn)定理”。彭羅斯在引力坍縮的局部背景下做出了最具決定性的貢獻(xiàn)，除了1965的論文之外，他1969 年提出宇宙審查猜想，之后與霍金完成的共同工作，為黑洞之引力塌縮理論奠定了基礎(chǔ)，無愧于2020年的諾貝爾物理獎。

在宇宙學(xué)方面，彭羅斯提出了一個頗具新意的，基于共形映射的循環(huán)宇宙的思想，即彭羅斯共形循環(huán)宇宙（CCC）的數(shù)學(xué)模型（圖3），詳情見筆者的另一篇文章[5]。

圖3：彭羅斯將共形映射應(yīng)用于循環(huán)宇宙模型

彭羅斯也是一位科學(xué)哲學(xué)家及思想家，他興趣廣泛，知識淵博，出版過一系列與科學(xué)哲學(xué)相關(guān)的著作，也與霍金及其他同行一起合著過好幾本有關(guān)宇宙、大爆炸等的普及讀物。他寫過很多關(guān)于基礎(chǔ)物理學(xué)和人類（或動物）意識之間聯(lián)系的書籍，其中有一本廣為人知的科普書，中文版叫《皇帝新腦》，討論量子物理與人類意識的關(guān)系等等。彭羅斯是“少數(shù)相信意識的本質(zhì)意味著量子過程的科學(xué)家之一”。

雖然彭羅斯得的是諾貝爾物理獎，但他在物理界的確屬于“少數(shù)派”，他有許多古怪的、與眾不同的想法，這位如今已94歲的學(xué)者，經(jīng)常用他抽象的數(shù)學(xué)眼光來“挑剔”物理，看到許多物理主流理論的缺陷和問題。他用數(shù)學(xué)的直覺，表達(dá)他對物理概念的憂慮：他質(zhì)疑弦論的額外維度，不相信標(biāo)準(zhǔn)時空，懷疑量子引力等等。當(dāng)然，這些也仍然是物理中懸而未決的幾個問題，但彭羅斯提出的新方法卻是讓許多人覺得更匪夷所思。據(jù)說在某一次會議上，物理學(xué)家薩斯金對彭羅斯說過一句極具代表性的“真”話：“當(dāng)然，你可能完全正確的，卻迷失了方向！”意思是，您就算對了，也和我們走的不是一條路啊！

04

彭羅斯樓梯及其他

也許在學(xué)術(shù)界，彭羅斯更是一位成功的數(shù)學(xué)家。他原來的專長是代數(shù)幾何學(xué)，在幾何方面，有許多完全可以被普通老百姓所理解，又十分有趣的成果及哲學(xué)思考。比如彭羅斯地磚，就可以在日常生活中直接應(yīng)用。

彭羅斯對幾何有一種與眾不同的直覺。他從小對“不可能”的東西感興趣，并且善于從“不可能”中，發(fā)現(xiàn)其隱藏于深層的秘密。彭羅斯密鋪瓷磚也是一例：局部看起來圖案是對稱的，也具有整體對稱性，如果一直鋪下去呢？好像“不可能”不重復(fù)，應(yīng)該是周期的吧？但結(jié)論卻不是！

在劍橋讀書時的數(shù)學(xué)會上，彭羅斯看見了埃舍爾的畫，十分感興趣，啟發(fā)他與父親合作設(shè)計并推廣了“彭羅斯三角形”，后來演化成“不可能樓梯”（圖4）。之后，父子倆與埃舍爾有了很多互動，彼此交換素材，互相啟發(fā)思維。彭羅斯從數(shù)學(xué)的角度研究不可能圖形的上同調(diào)，埃舍爾以畫家的觀察，產(chǎn)生了《瀑布》、《升與降》等膾炙人口的作品。

圖4：彭羅斯用直觀的幾何表達(dá)哲學(xué)思想

這些“不可能”的幾何思考，必然對彭羅斯的學(xué)術(shù)研究有所影響。1967年，彭羅斯發(fā)明了扭子理論，將閔可夫斯基空間中的幾何對象映射到四維復(fù)空間中，他認(rèn)為全純的扭量應(yīng)該是時空的最基本結(jié)構(gòu)。雖然他的扭量理論在數(shù)學(xué)圈有一定影響，但物理響應(yīng)不多。

彭羅斯在1971 年發(fā)明自旋網(wǎng)絡(luò)，后來形成了圈量子引力中的時空幾何，再看看他的的彭羅斯共形圖（圖4左圖），他將無限的時空，用一個有限的圖形表示出來，將無限映射到有限，這實(shí)際上就是一種“不可能”幾何的具體實(shí)現(xiàn)。還有彭羅斯“共形循環(huán)宇宙學(xué)”，其淵源是有趣的外爾曲率。從這些有關(guān)時空結(jié)構(gòu)的研究中，都能看到彭羅斯幾何表象下的哲學(xué)思考。

彭羅斯的成果如此之多，我們可以來一趟“彭羅斯世界之旅”：踏上彭羅斯密鋪地，走下彭羅斯階梯，手舉彭羅斯三角形，眼觀彭羅斯共形圖，思考彭羅斯無限循環(huán)的共形宇宙，考察其中的奇點(diǎn)效應(yīng)……

當(dāng)然，要真正了解這位多產(chǎn)的科學(xué)家，是讀他的書。彭羅斯的幾本書，都有中文版，如《皇帝新腦》和《通向現(xiàn)實(shí)之路：宇宙法則完整指南》。其中許多有趣的想法，也包括彭羅斯對他自己理論的解釋等，值得一讀。

參考文獻(xiàn)：（上下滑動可瀏覽）

【1】Penrose, Roger (1974). "The role of aesthetics in pure and applied mathematical research". Bulletin of the Institute of Mathematics and Its Applications. 10: 266ff..

【2】Original pentagonal Penrose tiling (P1)：https://en.wikipedia.org/wiki/Penrose_tiling

【3】維基百科：丹·謝赫特曼，https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%B9%C2%B7%E8%B0%A2%E8%B5%AB%E7%89%B9%E6%9B%BC

【4】Roger Penrose，Gravitational Collapse and Space-Time Singularities

， Article in Physical Review Letters, published January 1965 ， DOI 10.1103/physrevlett.14.57 ， pub.1060767972

【 5 】科學(xué)網(wǎng) - 博文，https://wap.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=677221&do=blog&id=979548