|作者：沈順清

(香港大學物理系)

本文選自《物理》2025年第5期

1

米—千克—秒的演變

你知道現(xiàn)在用來測量長度和質(zhì)量的單位，米和千克，是怎么來的嗎？其實，它們最早起源于1799年法國巴黎人創(chuàng)立的公制系統(tǒng)。巴黎人將從北極經(jīng)過巴黎到赤道的子午線的長度分成一千萬份，并把每份的長度定義為一米；然后再將一米分成十份，每份的長度就是分米，從而形成了十進制的長度單位。以長度單位為基礎(chǔ)，進一步可以定義面積和容量的單位。他們將每立方分米在4℃時蒸餾水的質(zhì)量定為一千克。以此為標準，用鉑金制作了兩個標準器件，作為長度和質(zhì)量的標準原器(圖1)，這樣就有了大家都可以共同參考的計量標準。而時間是根據(jù)每一天作為標準，把一天分成24小時，每小時60分，每分鐘60秒。換句話說，時間單位秒被定義為每天的86400分之一。如此，我們就有了米—千克—秒的公制系統(tǒng)。地球的子午線長度原則上是大家都能獨立測量的，蒸餾水也是很容易取得的，這一標準的制定體現(xiàn)了一個普適的計量原則：“在任何時間，對任何人”都適用。

圖1 (a)法國巴黎的公共標準長度米；(b)建于1791年和存放在巴黎的國際千克原器(取自網(wǎng)絡(luò))

1875年，有17個國家和相關(guān)組織在巴黎簽訂了一個公約，確定了以米和千克為標準單位，以組織形式廣泛推動公制，成為大家共同使用的度量衡單位。這方便了人們?nèi)粘Ｉ钪械挠嬃浚沧尣煌貐^(qū)之間的商業(yè)交流更加便利。1889年，在新成立的第一屆國際計量大會(CGPM)上又引入了時間秒，形成了米—千克—秒系統(tǒng)，推動和建立統(tǒng)一的國際計量標準。1954年，第十屆國際計量大會又加入了3個新的單位，安培(電流的單位)、開爾文(溫度的單位)和坎德拉(亮度的單位)，擴大了標準單位的應用范圍。1960年，該組織正式命名了國際標準單位制(SI)，包括米、千克、秒、安培、開爾文和坎德拉6個基本單位，使它能在不同學科和領(lǐng)域統(tǒng)一使用。并且首次利用氪原子光譜的波長來重新定義長度米，用物理常數(shù)替代實物標準原器，這是十分重要的一步，能使我們更精確地測量各種物理量，適應科技的快速發(fā)展。1967年，又采用銫原子的光譜頻率重新定義了秒。到1983年，進一步利用真空中的光速為常數(shù)，取代氪原子光譜的波長，再次重新定義了長度米。這樣，國際標準單位制逐漸從以實物原器為標準，過渡到以物理學基本常數(shù)為基礎(chǔ)的單位制，它提供了普適而嚴格的計量標準，大大提高了測量的精度。2018年，第二十六屆國際計量大會決定選定7個物理基本常數(shù)(表1)[1]，并以此為基礎(chǔ)導出了7個物理基本量的基本單位(表2)[1]，完全取代實物標準原器作為標準單位，這個改革從2019年5月開始實施。這些量的重新定義，雖然對人們?nèi)粘Ｉ詈蜕虡I(yè)活動影響并不大，但為科學研究和高科技發(fā)展提供了堅實的基礎(chǔ)。

表1 7個基本常數(shù)、符號和 定 義[1］

表2 7個基本量、單位符號、基本單位和定義[1]

2

基本物理常數(shù)選擇

國際標準單位制中選用的物理常數(shù)是在數(shù)學物理方程中出現(xiàn)的有量綱的系數(shù)。物理常數(shù)的出現(xiàn)是現(xiàn)代科學發(fā)展的一個重要組成部分。例如牛頓力學中，兩個物體間吸引相互作用中的萬有引力常數(shù)

G

，以及光在真空中的傳輸速度

c

，它們不依賴于運動坐標系，并且不會隨時間和地點變化，適用于所有的觀測者，是普適的常量。由于物理常數(shù)本身帶有量綱，人們可以將它作為一種普適的計量標準。例如真空中的光速有速度的量綱，可以用作速度的自然標準單位。在實踐活動中，利用物理常數(shù)來定義物理量的單位，在不同的學科中都有應用。像在天文學中采用的長度單位光年，是指光在一年時間傳播的距離，相對于日常生活，這是一個極大的長度單位。因此作為標準單位的物理基本常數(shù)的選擇并不是唯一的，但它同時必須是完備和非冗余的。如果在實際運用中被選作為標準，這些基本常數(shù)就要求可以被精確測量，以滿足實際需求。

最初以地球子午線長度來定義的米，就是以地球的尺度大小作為物理常數(shù)。這個定義引起的偏差主要來自兩個方面，一是實際測量過程中帶來的不確定性，二是地球本身并非一個表面理想光滑的球體，表面的不規(guī)則性也會帶來偏差。兩方面都給米的定義帶來了不可避免的局限性。作為單位標準，在眾多的物理常數(shù)中，主要利用能量

E

相關(guān)的等價關(guān)系進行關(guān)聯(lián)：

E

mc

2 =

hν

eV

k

B

T

這組方程很好地總結(jié)了幾個物理常數(shù)和相應物理量之間的相互關(guān)聯(lián)，是現(xiàn)代物理學中最基礎(chǔ)的結(jié)論[2]，為我們提供了參考標準。其中普朗克常數(shù)

h

、光速

c

、基本電荷

e

和玻爾茲曼常數(shù)

k

B 是基本的物理常數(shù)，它們都具有一定量綱，而且現(xiàn)代技術(shù)也能為這些參量提供實際可行的測量方法。

m

是質(zhì)量，

是頻率，

V

是電壓，

T

是溫度，它們是相對應的物理可觀測量。相對論中的質(zhì)量和能量關(guān)系

E

mc

2 ，由于

c

是物理常數(shù)，能量和質(zhì)量就直接聯(lián)系起來，可以相互轉(zhuǎn)換；量子物理中能量和頻率的關(guān)系

E

hν

，頻率是時間的倒數(shù)，這樣能量和時間就關(guān)聯(lián)在一起；電磁場論中的

E

eV

，把能量和電壓直接聯(lián)系在一起；熱力學關(guān)系

E

k

B

T

給出了能量和溫度的關(guān)系。這組方程實際上總結(jié)了相對論、量子科學、電磁學和熱力學幾個不同學科的知識，形成了國際標準單位制的科學基礎(chǔ)。從這幾個物理量中，挑選任何一個量作為標準，能量的大小就可確定，進而相應其他的量也就都可確定了。我們選定了銫原子Cs超精細躍遷頻率Δ

Cs 作為基本頻率標準，其他的量，像質(zhì)量、電壓和溫度的單位，就都可利用相對應的基本常數(shù)來一一確定。

因此，選定光速

c

、普朗克常數(shù)

h

、基本電荷

e

和玻爾茲曼常數(shù)

k

B 為有量綱的基本常數(shù)后，加上基本頻率基準Δ

Cs ，我們就可確定質(zhì)量、時間、電流和溫度的單位大小了。這樣，國際標準單位制就有了科學的基礎(chǔ)，可以滿足人們的實際需求。

3

秒與米

物理意義上的時間定義源于物體的周期運動，如每天的太陽升起和落下，我們就有了一“天”的時間概念，又以太陽在天空的位置，再把一天細分成十二個時辰(圖2)。又例如單擺在重力下的周期運動，也可以用來定義時間的單位。新的時間定義是基于現(xiàn)代原子物理和冷原子技術(shù)的飛速發(fā)展，利用原子光譜中非常穩(wěn)定的頻率作為時間的參考標準。我們選定的銫原子(Cs)133，它的外殼層只有一個

s

電子，自旋是1/2，它原子核的自旋是7/2。電子自旋和原子核間的超精細相互作用導致有兩個不同的能級，一個是電子自旋和原子核自旋平行的態(tài)，總自旋為4；另一個是電子自旋和原子核自旋反平行的態(tài)，總自旋為3。總自旋為4的態(tài)能量略高于自旋為3的態(tài)。當電子從自旋為4的態(tài)躍遷到自旋為3的態(tài)，輻射出的光子頻率為Δ

Cs =9192631770赫茲，利用光速

c

Cs ，可以導出相應的波長

為3.26厘米，長度在微波的波長范圍內(nèi)。這個頻率非常穩(wěn)定，是被選定為基本頻率標準的原因之一。頻率的量綱是時間的倒數(shù)，然而這個頻率對應的時間周期太短，所以一秒被定義為9192631770個輻射周期，即9192631770/Δ

Cs 。這個9位數(shù)的選取只是為了所定義的秒足夠接近人們通常小時—分—秒中所定義的時間長度，沒有其他特別的含義。

圖2　利用日影測量時間的日晷(a)和單擺座鐘(b)(取自網(wǎng)絡(luò))

原子鐘是基于原子系統(tǒng)的一種鐘表。銫原子可以處于兩種可能的低能態(tài)之一，處于一種能態(tài)的銫原子受到微波輻射作用，電子被激發(fā)，有機會躍遷到另一個能態(tài)。輻射的頻率越接近原子固有振蕩頻率，轉(zhuǎn)換狀態(tài)的原子數(shù)量就越多，這種相關(guān)性允許對微波輻射的頻率進行非常精確的調(diào)節(jié)。一旦微波輻射被調(diào)節(jié)到已知頻率，使得最多數(shù)量的原子轉(zhuǎn)換狀態(tài)，該原子及其相關(guān)的轉(zhuǎn)換頻率就可以用作計量時間的基準振蕩器。為了提高測量的精確度，通常會要求原子鐘在極低溫下運行，以減少原子運動對測量的影響。選擇銫原子作為基準是因為銫原子較重，在相同溫度下，它的運動速度相比其他原子要低得多，這樣可以減少熱運動帶來的相對誤差。

光速

c

是個普適的基本常數(shù)。在經(jīng)典電磁場理論中，光是交變電磁場形成的電磁波，在真空中傳播，傳播速度由真空介電常數(shù)

0 和磁導率

0 來決定。從描寫電磁場變化的麥克斯韋方程可以發(fā)現(xiàn)，光速 不依賴于運動坐標系。在現(xiàn)代量子論中，光由沒有靜質(zhì)量的光子組成，光子是電磁場的基本元激發(fā)，它的運動速度就是光速

c

，這是物質(zhì)運動的極限。光速不變原理是狹義相對論的基礎(chǔ)，也是現(xiàn)代時空觀的基礎(chǔ)。當然，在通常的介質(zhì)中，如水中，光速會變慢，但它在真空中的速度是恒定的。現(xiàn)在真空中的光速

c

被嚴格定義為299792458米每秒，約30萬公里每秒。光從地球到月球需要大約1.25秒。光速等于波長乘以頻率，或波長除以時間周期，波長是有長度量綱的。1960年，國際標準單位制曾以氪原子光譜中的波長來定義長度單位，所以作為常數(shù)的光速

c

實際上為長度和時間提供了一個換算基準，長度和時間可以互換。有了標準時間秒后，一米就是光在1/299792458秒的時間里走過的長度，這樣我們確定了長度單位米。

光速

c

和銫原子超精細躍遷頻率Δ

Cs 決定了時間和長度的單位。這得益于激光和冷原子技術(shù)的發(fā)展，使我們有非常精確的時間和長度的測量標準。

4

千克與安培

用來衡量物體質(zhì)量的單位是千克，用來衡量電流強度的單位是安培。這兩個單位都與兩個重要的物理常數(shù)有關(guān)，即普朗克常數(shù)

h

和基本電荷

e

。普朗克常數(shù)

h

是1900年 德國物理學家馬克斯·普朗克(圖3)在研究黑體輻射時提出的。理想的黑體是不透明和無反射的物體，在它與環(huán)境處于熱力學平衡的狀態(tài)下，會向周圍發(fā)射電磁波。在自然界中，宇宙背景就是一個溫度為2.7開爾文的理想黑體輻射體。為擬合電磁波的熱輻射強度的實驗觀測數(shù)據(jù)，普朗克提出了以他名字命名的公式：

圖3　德國物理學家馬克斯·普朗克(1858—1947)，普朗克常數(shù)

h

的發(fā)現(xiàn)者(取自：NobelPrize.org)

普朗克公式可在不同溫度下從低頻到高頻區(qū)域完美地擬合實驗測量結(jié)果(圖4)。在這個公式中，普朗克同時引進了兩個與能量相關(guān)的常數(shù)：普朗克常數(shù)

h

乘以頻率

hν

具有能量量綱；玻爾茲曼常數(shù)

k

B 乘以溫度

T

k

B

T

也具有能量量綱。這個公式是量子論誕生之前發(fā)現(xiàn)的，被后來發(fā)展的理論證明是嚴格的，它在量子論和量子力學的發(fā)展過程中起了重要的作用。愛因斯坦首先把

hν

理解為光量子的能量，用來解釋光電效應，這是量子論發(fā)展過程中的重要一步。丹麥物理學家尼爾斯·玻爾創(chuàng)造性地把原子光譜和原子能級聯(lián)系到一起，建立了原子模型。法國物理學家德布羅意將光子具有的波長和頻率的概念推廣到是所有粒子都具有的一個基本特性，使之成為量子論的基礎(chǔ)。量子力學誕生后，普朗克常數(shù)作為基本常數(shù)，出現(xiàn)在量子力學的各種基本方程中，如位置與動量的基本對易關(guān)系和薛定諤方程等。在選定光速

c

和銫原子超精細躍遷頻率Δ

Cs 后，由普朗克—愛因斯坦能量關(guān)系，單個銫原子超精細躍遷頻率Δ

Cs 的光子的能量

E

h

Cs ，進一步由愛因斯坦質(zhì)量與能量關(guān)系

E

mc

2 ，可以得到單個光子的有效質(zhì)量

m

h

Cs /

c

2 。這樣，要確定質(zhì)量的單位，就需要確定普朗克常數(shù)

h

的數(shù)值。普朗克常數(shù)

h

最初由黑體輻射的實驗數(shù)據(jù)估算出來。考慮到銫原子的基本標準頻率Δ

Cs ，單個基本標準頻率光子對應的質(zhì)量

m

h

Cs /

c

2 為7.036×10 -41 千克。這其實是個非常小的量，但同時也揭示了質(zhì)量與普朗克常數(shù)是直接聯(lián)系在一起的。

圖4　宇宙微波背景(COBE)光譜和 2.725 開爾文黑體輻射光譜的比較：觀測的數(shù)值和公式的結(jié)果完全一致

另一個基本常數(shù)是基本電荷

e

。現(xiàn)代物理的一個重要結(jié)論是物質(zhì)由原子組成，而原子由電子、中子和質(zhì)子組成。電子帶有負的基本電荷-

e

，而質(zhì)子帶有正的基本電荷+

e

。一個基本原則是任何粒子的電荷都是基本電荷的整數(shù)倍，不存在非整數(shù)電荷的粒子，這就是所謂的電荷量子化原理，也是基本電荷這個術(shù)語的含義。基本電荷

e

最早于1909年用所謂的“油滴實驗”測量出來，和現(xiàn)在的標準值只差大約0.6%。有了基本電荷這個概念，加上秒已被定義，我們就可以定義電流的單位安培：即單位時間內(nèi)流過的電荷量是基本電荷

e

的1/1.602176634?×10 -1 9 倍，約為6.2415090744×10 18 個基本電荷。原有的定義是基于1安培的恒定電流，若在兩根長度無限、橫截面積可忽略不計的圓形平行直導體中，并且在真空中相距一米，則這兩根導體之間將產(chǎn)生的力為每米2×10 -7 牛頓。這個定義強調(diào)的是具體的可操作性，而新的定義依賴于電荷的定義和測量。電荷

e

乘以電壓

V

具有能量的量綱，其實電壓的單位同時也確定了，一個伏特為焦耳每庫侖。國際標準單位制中選擇電流單位安培作為基本單位，而不是電壓的單位伏特，其實任取其一都是可以的。

5

普朗克常數(shù)

h

和基本電荷

e

的精確值

基本電荷

e

和普朗克常數(shù)

h

的數(shù)值最終由兩個宏觀量子效應來確定，它們分別是超導體間的約瑟夫森效應和整數(shù)量子霍爾效應，這是一個非常意外但又優(yōu)美的結(jié)果。每個物理效應中出現(xiàn)了一個物理量，可以用非常高的精度來測量，所以被物理學家用來定義了兩個重要的物理常數(shù)。這為完成由物理常數(shù)確定度量衡單位邁出了非常關(guān)鍵的一步。

約瑟夫森效應是發(fā)生在兩個弱連接的超導體間的量子隧穿效應。超導電性指某些金屬體在極低溫下，電阻突然完全消失，且具有完全抗磁性。低溫下的電子具有特殊的相位相干性，結(jié)合起來展現(xiàn)出宏觀量子效應。1962年，年僅22歲的研究生，英國物理學家約瑟夫森(圖5)提出，當兩個超導體被一個絕緣體分隔開后，超導電子相位的相干性會導致電子穿過勢壘形成隧穿電流，并得到了實驗的證實。這是個純量子效應，在經(jīng)典物理中是不可能發(fā)生的。當兩個超導體間的電勢差為

V

時，隧穿電流會隨時間波動

t

c sin(

K

J

Vt

0 )，其中約瑟夫森常數(shù)

K

J =2

e

h

0 為兩者間的相位差。這個交流約瑟夫森效應的電流振蕩頻率為

f

K

J

V

。由于頻率測量的相對精度可以高達10 -10 以上，所以約瑟夫森結(jié)可以作為一個理想的電壓

V

與頻率

f

的標準轉(zhuǎn)換器。

圖5　英國物理學家布賴恩·約 瑟夫森(1940— )，約瑟夫森效應發(fā)現(xiàn)者(取自：NobelPrize.org)，

K

J =2

e

h

被稱 為約瑟夫森常數(shù)

整數(shù)量子霍爾效應由德國物理學家馮·克利青(圖6)在半導體異質(zhì)結(jié)中發(fā)現(xiàn)。半導體異質(zhì)結(jié)的界面形成勢阱，吸引并積累了自由電子形成理想的二維電子氣，在低溫和強磁場下，電流可以產(chǎn)生橫向的電勢差。霍爾電阻是橫向的電勢差與電流的比值，在低溫下隨磁場變化會呈現(xiàn)出一系列量子化的平臺，其數(shù)值為
，其中

n

為一個整數(shù)值， 是馮·克利青常數(shù)。這是個拓撲量子效應，量子化霍爾電阻極其穩(wěn)定，與樣品不規(guī)則的形狀無關(guān)，樣品中的雜質(zhì)和各種相互作用對它也沒有影響，實際測量精度可高達10 -9 以上。目前在單層石墨烯和其他二維材料，以及無磁場的鐵磁材料中也能觀測到這個效應，是個極其理想的電阻標準。有了標準電阻，電流和電壓就可以直接轉(zhuǎn)換了。

圖6　德國物理學家克勞斯·馮·克利青(1943— )，整數(shù)量子霍爾效應的發(fā)現(xiàn)者(取自：NobelPrize.org)，被稱為馮·克利青常數(shù)

2018年第28屆國際計量大會選定約瑟夫森常數(shù)

K

J 和馮·克利青常數(shù)

R

K 為嚴格物理常數(shù)，用以等價地定義基本電荷

e

和普朗克常數(shù)

h

的精確值。它們之間的關(guān)系為基本電荷

e

R

K

K

J )，普朗克常數(shù)

h

R

K

K

J2)。這樣兩個可測量的物理量和兩個基本物理常數(shù)就密切地聯(lián)系在一起了。

6

質(zhì)量的測量

約瑟夫森效應和量子霍爾效應為精確測量質(zhì)量提供了切實可行的途徑。有了精確定義的普朗克常數(shù)

h

，直接由它給出的單個銫原子標準頻率的光子有效質(zhì)量太小，無法直接運用。實際操作中，測量物體質(zhì)量使用的是基布爾(Kibble)天秤。它利用了電力和機械動力的平衡，可以精確測量物體質(zhì)量。這個天秤有兩個模式，一是稱重模式，利用線圈中的電流

在圓形磁場

B

下的洛倫茲力

IBL

與重力

mg

達到平衡

mg

IBL

；另一個模式是速度模式，當線圈在磁場下以均勻速度

v

運動，法拉第效應會在線圈中產(chǎn)生電壓

V

vBL

，其中

L

為線圈長度，這樣樣品的質(zhì)量 。由于電流乘以電壓是功率的量綱，單位為瓦特，基布爾天秤又稱為瓦特天秤。它原是利用標準質(zhì)量來測量普朗克常數(shù)的，當普朗克常數(shù)被定義為基本常數(shù)后，這個天秤就反過來用來測量物體的質(zhì)量了。物體的速度v和重力加速度

g

都可利用激光技術(shù)精確測量，例如重力加速度

g

可以用原子干涉絕對重力儀來測量 [3] 。電流利用量子霍爾效應轉(zhuǎn)換成電壓，

V

H =

R

H

，而電壓可利用約瑟夫森效應進一步轉(zhuǎn)換成頻率的測量，

f

H =

K

J

V

H ，和

f

V =

K

J

V

。兩個頻率

f

H 和

f

V 極高的測量精度確保了質(zhì)量的測量精度。美國國家標準與技術(shù)研究所利用這種裝置，測量的質(zhì)量相對精度可達2.0×10 -8 。這個裝置實現(xiàn)了由物理常數(shù)決定物體質(zhì)量的實體測量。

7

新單位制下的新物理問題

在新單位制下，選定了一些物理常數(shù)作為基礎(chǔ)。但實際上還有其他物理常數(shù)可以選擇，如萬有引力常數(shù)。萬有引力常數(shù)

G

是現(xiàn)代物理學中最早發(fā)現(xiàn)的物理常數(shù)之一，它出現(xiàn)在牛頓的萬有引力定律和愛因斯坦的廣義相對論中，也被稱為重力常數(shù)。萬有引力常數(shù)的測量，最早由英國物理學家卡文迪什在1797年完成，基于萬有引力常數(shù)，結(jié)合地球的半徑

R

e 和表面重力加速度

g

，可以導出地球的質(zhì)量

M

e =

R

e 2

g

G

。 當卡文迪什完成萬有引力常數(shù)的測量后，自然就導出了地球的質(zhì)量，所以他也被稱為最先測量出地球質(zhì)量的人。從量綱分析的角度來看，

G

和其他常數(shù)一起可以作為質(zhì)量單位的定義標準。像普朗克單位制中，就是選定

G

c

、?(=

h

/2π)和

k

B為基本常數(shù)，從而有時間單位 =5.391×10-44秒，長度單位 =1.616×10-35米和質(zhì)量單位 =2.176×10-8千克。這些量也曾被認為是時間、長度和質(zhì)量的最小單位。不過實際測量中

G

的不確定度大約只有10-5，這限制了千克定義的可重現(xiàn)度。

G

本應該是取代銫原子頻率Δ

Cs的一個基本常數(shù)，因為其測量精度不夠高，沒有入選為國際單位制的基本常數(shù)。在新的單位制下，

G

變成了一個可導出量，由基本常數(shù)來表示。這樣就引申出了一個基本的物理問題，即萬有引力常數(shù)是否可以從理論上推導出來。從量綱分析來看，它必須和光速、普朗克常數(shù)相關(guān)，

G

c

5/

h

(Δ

Cs)2。而普朗克常數(shù)

h

是量子力學中的基本常數(shù)，這是否預示著引力與量子力學是緊密聯(lián)系在一起的？怎樣能從理論上推導出引力常數(shù)就變成了一個有待解決的問題。

精細結(jié)構(gòu)常數(shù)

，也被稱為索末菲常數(shù)，是物理學中一個謎一樣的無量綱常數(shù)，它可以用來量化電磁相互作用的強度。

是兩個獨立能量的比值：距離為

的兩個電子間的庫侖排斥勢能和波長為

=2π

的單光子能量之比， 。

≈1/137.035999，它的測量精度在過去百余年來一直在提高。在新的國際單位制下，

取決于

0 是否隨時間演化，換句話說，

取決于

0 = 是否是一個常數(shù)。光速不變原理只確定了

0 和

0 的乘積是常數(shù)，而它們比值是否為常數(shù)，是一個值得進一步探討的基本問題。當然，怎樣從理論上推導出精細結(jié)構(gòu)常數(shù)

0 也是個有趣的問題。從這個常數(shù)發(fā)現(xiàn)至今已有一百多年，有不少著名的物理學家都試圖理解它，隨著各種物理量測量精度的不斷提高，我們或許可以對這個數(shù)有更深刻的認識。

當然，物理學中還有許多其他常數(shù)，它們是否為獨立的常數(shù)，都是物理學的最基本問題。一旦我們接受了國際單位制，或任何物理常數(shù)定義的單位制，所有其他的物理常數(shù)應該都是可推導量。比如說，電子和質(zhì)子的質(zhì)量比值約為1/1836，也是個無量綱常數(shù)。

8

凝聚態(tài)物理學與精密測量

早期的凝聚態(tài)物理學，也就是我們通常說的固體物理，按泡利(Wolfgang Pauli)說法，是臟的物理學(Festk?rperphysik ist eine Schmutzphysik)；蓋爾曼(Murray Gel-Mann)則將固態(tài)(solid state)稱之為骯臟狀態(tài)(squalid state)，與核物理或粒子物理相比，認為固體物理學是平庸且缺乏深度的。人們很難想象它會和精密測量有聯(lián)系。凝聚態(tài)物理學所研究的物質(zhì)是由許多成分組成的，這些成分之間都有很強的相互作用和很多不確定的因素，這使整個領(lǐng)域的研究變得復雜而且困難。人們很難得到一個理想簡單的系統(tǒng)，將其看成一個“骯臟的狀態(tài)”也是自然的。然而，正是這些復雜的相互作用，當系統(tǒng)的粒子數(shù)量極大時，從量變到質(zhì)變，會出現(xiàn)一系列奇特的量子相干狀態(tài)，比如超導電性、鐵磁和反鐵磁相以及量子霍爾效應等，這些物態(tài)有其獨特的宏觀物理性質(zhì)。像超導體中的零電阻，電子在超導態(tài)中的運動完全不受原子核和其他雜質(zhì)的任何干擾，可以毫無阻力地自由穿行，眾多電子因彼此間的相互作用，抱團形成一種超流動狀態(tài)。量子相干的尺度遠遠大于原子間的距離和各種缺陷尺度，表現(xiàn)出的物理性質(zhì)遠超出了人們的想象。

約瑟夫森效應和量子霍爾效應實際上源于凝聚態(tài)物理中的兩類不同的量子物態(tài)。一個是源于由短程相互作用引發(fā)的長程有序的物態(tài)，是多體系統(tǒng)中一種特有的層展現(xiàn)象。另一個是固體晶格能帶結(jié)構(gòu)和拓撲學相結(jié)合的產(chǎn)物，有極其特殊的穩(wěn)定性，不受雜質(zhì)和多體相互作用的影響。對應的約瑟夫森常數(shù)和馮·克利青常數(shù)是這兩種不同量子物態(tài)所呈現(xiàn)的產(chǎn)物。所以，盡管凝聚態(tài)物理學可能看起來“臟”，但它卻能產(chǎn)生非常純凈、精確的物理常數(shù)，這是非常神奇的。所謂出淤泥而不染，是自然界的常見現(xiàn)象，也會出現(xiàn)在凝聚態(tài)物理學中。

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其他幾個量

國際標準單位制中選定的7個基本常數(shù)，還有兩個量和溫度與亮度有關(guān)，它們分別是玻爾茲曼常數(shù)

k

B 和發(fā)光效率

K

cd。玻爾茲曼常數(shù)

k

B和是和溫度

T

密切聯(lián)系在一起的一個基本常數(shù)，來自熱力學與統(tǒng)計力學。在理想氣體中，體積為

V

N

個粒子的氣體壓強

p

Nk

B

T

V

，而氣體中單個理想粒子的平均能量是 。作為最后一個確定的基本常數(shù)，其精確值的確定，歷經(jīng)多年努力，最終通過聲學氣體測溫法獲得。這種方法利用微波和聲學共振確定三軸橢球室中單原子氣體的聲速，實驗相對精度高達10-10。在實際應用中，玻爾茲曼常數(shù)使用了足夠多的精確數(shù)字，以確保273.16開爾文具有足夠多的有效數(shù)字來包含水三相點的不確定性，并且水在273.00開爾文，也就是攝氏零度時仍會以高精度正常結(jié)冰。在選擇玻爾茲曼常數(shù)為基本常數(shù)之前，水的三相點精確值是273.16 K，現(xiàn)在，這種不確定性就轉(zhuǎn)移到水的三相點上了，目前它的數(shù)值為273.1600(1)開爾文，在小數(shù)點后第五位數(shù)才出現(xiàn)細微的差別。不過，物理上

k

B

T

總是一起出現(xiàn)的，這使

k

B不同于其他幾個物理常數(shù)。目前，我們還沒有一個普適物理關(guān)系式在任何溫區(qū)成立，特別是在極端條件下，如極低溫下量子漲落越來越強時。實際操作中，人們在不同溫區(qū)會利用不同原理設(shè)計的溫度計，像電阻噪聲熱溫度計和磁熱溫度計。

發(fā)光效率

K

cd 是頻率為540×10 12 赫茲的單色輻射光源在某個方向的輻射強度，為1/683瓦特每球面度，是衡量光源產(chǎn)生可見光能力的指標，它的發(fā)光強度為1坎德拉。1坎德拉的點狀光源的總光通量為4π流明。1瓦白熾燈的發(fā)光強度約為1坎德拉。與通常的測量能量強度相比，發(fā)光強度的定義考慮了人的視覺因素和光學特點。這個量的選擇明顯帶有人為因素，和其他幾個基本常數(shù)相比，有本質(zhì)差別，它并不是出現(xiàn)在物理方程中的常數(shù)。筆者相信這個量是可以用量化來定義的，例如以單位時間每球面度某個頻率的光子抵達的數(shù)目來定義，像前面用基本電荷

e

來定義電流單位安培一樣。隨著激光和量子信息技術(shù)的發(fā)展，人們會對和量子光學相關(guān)的課題有更深入的理解，可能會有更好的亮度標準出現(xiàn)。

至于阿伏加德羅常數(shù)

N

A ，它是用于標準化樣品中以摩爾為單位的歸一化因子。這個數(shù)以前是質(zhì)量為12克的碳-12中原子的數(shù)目。這個量現(xiàn)在是國際單位制中的定義常數(shù)。雖然阿伏加德羅常數(shù)

N

A曾在科學發(fā)展過程中起到了積極作用，但現(xiàn)在它更多的是承接科學發(fā)展的連貫性。在凝聚態(tài)物理深入發(fā)展的今天，我們對微觀世界有了更深刻的認識，這個常數(shù)的重要性可能會逐漸減弱，至少在凝聚態(tài)物理這個領(lǐng)域，早已沒有這個常數(shù)的痕跡了。

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結(jié) 語

國際標準單位制還在不斷進步和完善，以提高我們的測量精度。從實物原器到物理常數(shù)的轉(zhuǎn)化，提高了它的普適性、科學性和代表性。嚴格地說，銫原子基本頻率標準Δ

Cs 沒有完全擺脫實物標準，并不是一個最基本的物理常數(shù)。以銫原子為基礎(chǔ)的基本頻率標準正接受新的挑戰(zhàn)，現(xiàn)在已有一些新的系統(tǒng)，如核鐘或核光鐘，將使用核異構(gòu)體躍遷的能量作為參考頻率，可以達到更高的精度，并且更加穩(wěn)定，這個技術(shù)最近有重大的突破 [4] 。相信在不久的將來銫原子的基本頻率標準可能會被核鐘取代，以提高時間的測量精度。

盡管國際標準單位制有著非常堅實的科學基礎(chǔ)，在科學領(lǐng)域已被廣泛接受和應用，但在不同國家和地區(qū)的日常生活和商業(yè)交流中并沒有被完全接受。例如，英制仍然在一些地方廣泛應用，不同行業(yè)仍保持各自的習慣。在香港的街市中，人們?nèi)栽谑褂盟抉R斤(十六兩制/0.6048千克)，而在超市中，公斤和磅被混雜使用。一般內(nèi)地城市市斤被廣泛使用(十兩制/0.500千克)，而在新疆和云南昆明周邊的集市上使用的是公斤(1.000千克)，這說明要改變生活習俗是很難的。推廣統(tǒng)一的度量衡單位仍然面臨著艱巨的挑戰(zhàn)，不過這已不是科學范疇的事情了。

最后再回到文章的原題：一米有多長，一公斤有多重？答案是：

一米的長度等于光速除以銫原子的頻率乘以9192631770再除以299792458。

一公斤的質(zhì)量等于普朗克常數(shù)乘以銫原子的頻率，再除以光速的平方，然后乘以1.42118845813×1040。這個答案充分體現(xiàn)了現(xiàn)代科學對質(zhì)量的精確定義和測量。

致 謝感謝牛謙教授在成文過程中的深入討論。

參考文獻

[1] Wikipedea：International System of Units/本文中引用的有關(guān)數(shù)據(jù)主要來自維基百科中的相關(guān)條目

[2] Newell D B. Physics Today，2014，67(7)：35

[3] 張偉陽，董翔宇，王少凱 . 物理，2024，53(12)：820

[4] Gibney E. Nature，2024，636：544

《物理》50年精選文章