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數(shù)碼相機(jī)檢校原理

一般情況下造成非量測相機(jī)的誤差主要是相機(jī)鏡頭的光學(xué)畸變差。相機(jī)鏡頭畸變差會(huì)造成像點(diǎn)坐標(biāo)位移，使鏡頭中心、像點(diǎn)和對應(yīng)的物點(diǎn)不能滿足中心投影的光學(xué)共軛關(guān)系，從而降低影像的配準(zhǔn)精度，光學(xué)畸變差包括徑向畸變差和偏心畸變差。

徑向畸變差是指像點(diǎn)沿著物鏡中像點(diǎn)偏移的方向偏離其理想位置而引起的畸變差，通常情況下，徑向畸變差呈對稱的方式，并且將主點(diǎn)視為對稱中心，但主點(diǎn)并不與對稱中心完全重合。徑向畸變差有正負(fù)之分，如圖3-13所示，相對主點(diǎn)向外偏移為正(枕形畸變)，向內(nèi)偏移為負(fù)(桶形畸變)。

偏心畸變差是由于鏡頭光學(xué)中心和幾何中心不一致引起的誤差，它使構(gòu)像點(diǎn)沿徑向方向和垂直于徑向方向都偏離其正確位置。偏心畸變差又可以分成非對稱徑向畸變差和切向畸變差。如圖3-14所示，dr為非對稱徑向畸變，dt為切向畸變。

除了徑向畸變和偏心畸變外，由于像素的采樣時(shí)鐘不同步和暗電流等噪聲的影響，造成了像素的水平間距與垂直間距存在的比例因子，以及像平面坐標(biāo)的x軸與y軸不正交，由此產(chǎn)生的偏差被稱為像平面內(nèi)仿射畸變差。在實(shí)際應(yīng)用中，由于像平面內(nèi)的仿射畸變差對測量結(jié)果的影響不大，對于質(zhì)量較好的數(shù)碼相機(jī)，只考慮徑向、切向和偏心畸變，其數(shù)學(xué)模型可表示為：

公式(3.54)中，(x 0 ，y 0 )表示像主點(diǎn)坐標(biāo)，(x，y)為像點(diǎn)坐標(biāo)，k 1 、k 2 、p 1 、P 2 為鏡頭的畸變系數(shù)，r表示向徑，x-x 0 為以像主點(diǎn)為原點(diǎn)并改正了各項(xiàng)誤差的像點(diǎn)坐標(biāo)，(△x，△y)為物鏡鏡頭畸變差在(x，y)方向上的改正數(shù)。

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非量測相機(jī)檢校算法

相機(jī)檢測的主要內(nèi)容包括主點(diǎn)坐標(biāo)(x 0 ，y 0 )的測定、焦距f的測定、光學(xué)畸變系數(shù)的測定和感光元件面陣內(nèi)畸變系數(shù)的測定。按照是否需要控制場，相機(jī)檢校方法可分為傳統(tǒng)檢校方法和自檢校方法。傳統(tǒng)檢校方法是將含有眾多控制點(diǎn)的控制場作為拍攝對象，然后對拍攝的圖像進(jìn)行相關(guān)處理，并利用一系列的數(shù)學(xué)變換求取相機(jī)的參數(shù)。相機(jī)自檢校方法不需要特定的控制場，僅僅依靠多幅影像之間的對應(yīng)點(diǎn)之間的關(guān)系(如Kruppa等)直接解算相機(jī)參數(shù)。

傳統(tǒng)檢校方法較為成熟，檢校精度較高，已得到了較廣泛的應(yīng)用，但是檢校過程煩瑣。自檢校方法較為靈活，缺點(diǎn)是需要特定的拍攝條件或者位置，并且參數(shù)過多，容易導(dǎo)致解算不夠穩(wěn)定。常用的自檢校方法有相機(jī)檢校法、直接線性變換相機(jī)檢校和基于 Kruppa方程的相機(jī)自檢校方法。

01、相機(jī)檢校法

只需要相機(jī)對一個(gè)檢校模板在不同的方向拍攝不少于三張影像，通過提取2D圖像點(diǎn)坐標(biāo)與三維點(diǎn)的對應(yīng)來獲得最終結(jié)果，是目前攝像機(jī)檢校研究中比較熱門的算法之一。該方法假定平面檢校板置于其所在的世界坐標(biāo)系Zω=0的平面上。通過線性成像模型來求得相機(jī)參數(shù)的初值，然后 基于非線性成像模型給出考慮了非線性畸變的目標(biāo)函數(shù)，最后采用非線性最優(yōu)化的方法來獲得相機(jī)參數(shù)的最優(yōu)解。

其流程如下：

(1)打印一張模板并貼在一個(gè)平面上；

(2)從不同角度拍攝若干張模板圖像；

(3)檢測出圖像中的特征點(diǎn)；

(4)求出攝像機(jī)的內(nèi)參數(shù)和外參數(shù)；

(5)求出畸變系數(shù)；

(6)優(yōu)化求精。

這種檢校方法具有較好的魯棒性、實(shí)用性，但檢校精度較低。

02 基于直接線性變換的相機(jī)檢校方法

Abdel-Aziz和Karara首次提出直接線性變換方法，其基本思想是在空間設(shè)置足夠數(shù)量的控制點(diǎn)，事先測定每個(gè)控制點(diǎn)的空間坐標(biāo)位置，用相機(jī)對控制點(diǎn)進(jìn)行拍攝，將像點(diǎn)坐標(biāo)和空間坐標(biāo)代入構(gòu)像方程，就可以計(jì)算出該相機(jī)的內(nèi)外方位元素。

嚴(yán)格的中心投影共線方程式為：

由于非量測相機(jī)物鏡光學(xué)畸變差大，因此采用直接線性變換公式進(jìn)行解算，對公式(3.55)進(jìn) 行改化，可得到適用于非量測相對檢校的直接線性變換公式：

由于非量測相機(jī)物鏡光學(xué)畸變差大，因此需要顧及物鏡的徑向變形、偏心變形及仿射變形，則附有畸變改正的直接線性變換公式可表示為：

公式(3.55)~公式(3.57)中，(x，y)、(x 0 ，y 0 )分別為像點(diǎn)坐標(biāo)和像主點(diǎn)坐標(biāo)，(X，Y，Z)為像點(diǎn)對應(yīng)的地面點(diǎn)物方空間坐標(biāo)，f為相機(jī)主距，(Xs，Ys，Zs)為攝影中心對應(yīng)的地面點(diǎn)物方空間坐標(biāo)，△x、△y為畸變改正參數(shù)，可表示為：

徑向畸變差( Radial Distortion)指像點(diǎn)沿徑向方向偏離其準(zhǔn)確位置，可用齊次多項(xiàng)式表達(dá)：

像點(diǎn)沿徑向方向和正交與徑向方向偏離的理想位置即為偏心誤差( Decentering Distortion)，徑向誤差稱為非對稱徑向畸變；正交于徑向方向的誤差稱為切向誤差，其表達(dá)式為：

顧及鏡頭的徑向畸變、偏心暗變及仿射變形，公式(3.54)可改化成：

公式(3.61)中，m 1 、m 2 為成像面元的非正方形和不垂直性引起的仿射和剪切畸交換系數(shù)，利用該方法對非量測數(shù)碼相機(jī)進(jìn)行檢校，可求得L i (i=1,2，…11)及k 1 、k 2 、p 1 、p 2 、m 1 、m 2 ，通過進(jìn)一步計(jì)算可得到內(nèi)外方位元素。

鏡頭畸變差校正方法為建立一個(gè)高精度室內(nèi)定標(biāo)場，將待檢校的非量測相機(jī)物鏡的焦距設(shè)置在無窮遠(yuǎn)處，使主距f不變，從而保證內(nèi)方位元素和物鏡畸變系數(shù)穩(wěn)定，然后對室內(nèi)定標(biāo)場進(jìn)行攝影得到各個(gè)定標(biāo)點(diǎn)的像點(diǎn)坐標(biāo)，將標(biāo)志點(diǎn)坐標(biāo)根據(jù)共線方程反算出影像坐標(biāo)(假定為無誤差的像點(diǎn)坐標(biāo))，最后由公式(3.61)計(jì)算其畸變改正參數(shù)。

03、基于Kruppa方程的相機(jī)自檢校方法

Kruppa方程最初是由O.D. Faugeras、Q.T.Luong和S.J. Maybank引入到計(jì)算機(jī)視覺領(lǐng)域中來，他們提出求解 Kruppa方程的相機(jī)自檢校方法，在歷史上被看作是第一個(gè)相機(jī)自檢校方法，F(xiàn)augeras等研究證明了每兩幅圖像間存在兩個(gè)形如 Kruppa方程的二次約束，內(nèi)部參數(shù)可以通過求解 Kruppa方程組來確定，其原理如下：

以左像片為參考，設(shè)立體模型右像片針對左像片的相對運(yùn)動(dòng)參數(shù)為(R，t)，相機(jī)內(nèi)方位元素矩陣為K，則立體模型的基本矩陣有如下形式：

F=λ1K -T [t]xRK -1 (3. 62)

公式(3.62)中，λ 1 為常數(shù)因子，R為旋轉(zhuǎn)矩陣，t=(t x ，t y ，t z )為偏移量。

矩陣K中，(x 0 ，,y 0 )為相機(jī)主點(diǎn)坐標(biāo)，f x 、f y 分別為針對影像橫縱坐標(biāo)的主距，s為橫、縱坐標(biāo)軸不垂直度的量。

設(shè)C=KK T ，那么 Kruppa方程可以用矩陣表示為：

（3.63）

公式(3.63)中，λ為常數(shù)因子，e＇為右核點(diǎn)，e＇=λ 2 K t 。

FCF T ，λ 2 [e＇]xC[e＇]TX兩個(gè)矩陣各項(xiàng)均可表示為向量c=(c 1 ，c 2 ，c 3 ，c 3 ，c 5 ) T 的線性函數(shù)，即：

其中，M(c)，m(c)均為c的線性函數(shù)，因此矩陣方程公式(3.63)等價(jià)于下述方程組：

公式(3.64)即為相機(jī) Kurppa方程。方程中，已知量為基本矩陣F，核點(diǎn)e＇為F T x=0的一個(gè)非零解，未知量為向量c=(c 1 ，c 2 ，c 3 ，c 3 ，c 5 ) T 。上述方程中最多僅有兩個(gè)獨(dú)立的方程，因此至少需要有相機(jī)在不同位置上拍攝的三對圖像，才能求解出攝像機(jī)的內(nèi)參數(shù)矩陣K，基本矩陣F的解算需要至少八個(gè)同名像點(diǎn)。

基于 Kruppa方程的自檢校方法檢校相機(jī)的過程僅需要建立兩幅圖像之間的方程，對圖像序列的攝影重建過程并不考慮，如果圖像序列較長，且所有圖像相對于確定的射影空間的無窮遠(yuǎn)平面一致性無法保證，檢校算法的穩(wěn)定性會(huì)受到影響，而且求解 Kruppa方程的計(jì)算量太大，非線性優(yōu)化后收斂性不好，因此該自檢校方法魯棒性較低。另外，從相機(jī)內(nèi)方位元素矩陣的形式也可看出， Kruppa方程沒有考慮鏡頭的畸變差，而實(shí)際的攝影測量應(yīng)用中，鏡頭的畸變差是不能忽略的。

04、光束法附加參數(shù)相機(jī)檢校

光束法是一種把控制點(diǎn)的像點(diǎn)坐標(biāo)，待定點(diǎn)的像點(diǎn)坐標(biāo)以及其他內(nèi)業(yè)、外業(yè)量測數(shù)據(jù)視為觀測值，整體地求解其最或是值和待定點(diǎn)空間坐標(biāo)的計(jì)算方法。在預(yù)先檢校出內(nèi)方位元素的條件下，光束法處理普通數(shù)碼影像，有內(nèi)方位元素已知和未知兩種處理方式。此外，與量測相 機(jī)檢校不同，由于構(gòu)想畸變差對量測結(jié)果影響顯著，故普通數(shù)碼相機(jī)除(x 0 ，y 0 ，f)外，畸變校正系數(shù)也可歸為廣義的內(nèi)方位元素，物鏡畸變的徑、切向畸變改正模型一般為：

式(3.65)中，△x、△y為像點(diǎn)坐標(biāo)畸變差改正值，x，y＇為以影像中心為原點(diǎn)的像點(diǎn)坐標(biāo)量測值；x 0 ，y 0 為內(nèi)方位元素，r為像點(diǎn)徑向半徑，k 1 、k 2 、k 3 為徑向睛變系數(shù)，p 1 、p 2 為切向畸變系數(shù)，將公式(3.65)代入共線方程可得：

將控制點(diǎn)坐標(biāo)視為真值，像點(diǎn)坐標(biāo)視為觀測值，各項(xiàng)畸變系數(shù)和待定點(diǎn)的空間坐標(biāo)視為未 知數(shù)，附加參數(shù)的光束法平差的誤差方程如下：

設(shè)X 1 、X 2 、X 3 、X 3 分別為外方位元素改正數(shù)、內(nèi)方位元素改正數(shù)、待定點(diǎn)坐標(biāo)改正數(shù)、畸變系數(shù)改正數(shù)，設(shè)A 1 、A 2 、A 3 、A 3 為相應(yīng)未知數(shù)的系數(shù)向量，L=[x-(x)y-(y)] T ，其中，(x) ，(y)為按照共線方程式計(jì)算的各片像點(diǎn)坐標(biāo)近似值，(x，y)為像點(diǎn)坐標(biāo)量測值，則誤差方程可按下式表示：

V=A1X1+A2X2+A3X3+A3X3-L （3.68）

根據(jù)誤差方程即可列出相應(yīng)的法方程，進(jìn)而解算出內(nèi)方位元素以及相機(jī)畸變參數(shù)。

05、基于空間后方交會(huì)的相機(jī)檢校

基于空間后方交會(huì)的相機(jī)檢校是一種依據(jù)共線條件方程式，以像點(diǎn)坐標(biāo)作為觀測值，在求解像片內(nèi)方位元素和某些附加參數(shù)為主要目的但又同時(shí)求解像片外方位元素的相機(jī)檢校方法。其誤差方程如下：

V=AX外+BX內(nèi)+CXad-L （3.69）

公式（3.69）中

假設(shè)拍攝3張像片1、2、3，每片上有n個(gè)公用點(diǎn)1、2、…、n，有3個(gè)附加參數(shù)如α 1 、α 1 、β 1 、β 2 (徑向畸變系數(shù)k 1 、k 2 和偏心畸變系數(shù)p 1 、p 2 )，那么誤差方程可表示為：

運(yùn)用最小二乘原理：V T V=min，求得各位置參數(shù)X 1外 、X 2外 、X 3外 、X 內(nèi) 、X ad ，詳細(xì)表達(dá)式為：

以上的解算過程是一個(gè)逐次迭代的過程。需要說明的是：

(1)采用單張像片處理(單片空間后方交檢校)為特例。這種處理方法也可解算出檢校結(jié)果，但受攝影方式和觀測值數(shù)量的限制，很難保證可靠性和精度。

(2)拍攝多張像片進(jìn)行處理時(shí)，需保證是在同一主距條件下拍攝的，這時(shí)各張像片的外方位元素不同，但它們的內(nèi)方位元素以及附加參數(shù)是相同的。

基于空間后方交會(huì)的相機(jī)檢校可分為單片檢校和多片檢校兩種，單片檢校的穩(wěn)定性較差，并且很難保證精度，多片檢校具有較好的穩(wěn)定性，但是無論單片還是多片，檢校的精度比較依賴控制點(diǎn)的物方坐標(biāo)，如果達(dá)到物方坐標(biāo)精度要求，需要高精度的量測一起并且需要消耗大量的人力、物力。

傳統(tǒng)攝影測量采用的是量測型相機(jī)，其內(nèi)方位元素已知并且有較高的穩(wěn)定性、較小的鏡頭畸變，但其價(jià)格昂貴且設(shè)備較為復(fù)雜。近些年，隨著非量測相機(jī)(普通數(shù)碼相機(jī))的分辨率、穩(wěn)定性等性能的提高，同時(shí)具有價(jià)格低廉、攜帶方便等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于無人機(jī)航空攝影測量以及近景攝影測量中，但是普通數(shù)碼相機(jī)由于內(nèi)方位元素未知、鏡頭畸變較大，為了滿足要求，在進(jìn)行測量之前必須進(jìn)行相機(jī)檢校。

空間點(diǎn)的三維位置信息與通過相機(jī)拍攝到的二維圖像中的對應(yīng)點(diǎn)之間的相互關(guān)系由攝影機(jī)成像幾何模型決定，該幾何模型被稱為相機(jī)內(nèi)方位元素(計(jì)算機(jī)視覺中稱其為相機(jī)參數(shù)）。相機(jī)內(nèi)方位元素需要通過試驗(yàn)和計(jì)算來確定，求解這些參數(shù)的過程即為相機(jī)檢校。

來源：新瑞得儀器