話說(shuō)英國(guó)二三百年前有個(gè)叫托馬斯?貝葉斯的古人，最近在科技圈可火了，為啥呢？就因?yàn)樗置哪莻€(gè)“貝葉斯定理”。這定理可厲害了，不僅搞出了一個(gè)叫“貝葉斯學(xué)派”的流派，現(xiàn)在更是人工智能、機(jī)器學(xué)習(xí)這些高科技里的常客。貝葉斯學(xué)派跟傳統(tǒng)的概率學(xué)派想法很不一樣，咱們先從一個(gè)挺有意思的老概率問(wèn)題聊起……
這個(gè)叫“三門問(wèn)題”。這問(wèn)題其實(shí)老早就有了，后來(lái)在1990年左右突然火了起來(lái)。它火起來(lái)得感謝美國(guó)一個(gè)叫《Let's Make a Deal》的電視游戲節(jié)目，這節(jié)目從八十年代一直播到現(xiàn)在。你看，這就看出現(xiàn)代媒體普及科學(xué)知識(shí)的力量了。當(dāng)年那節(jié)目的主持人叫蒙特?霍爾，特別會(huì)玩心理戰(zhàn)，動(dòng)不動(dòng)就改規(guī)則，搞得參賽選手和觀眾都懵圈，非得讓人“腦筋急轉(zhuǎn)彎”。三門問(wèn)題就是他常用的招數(shù)之一。后來(lái)大家干脆就把這問(wèn)題叫做“蒙特?霍爾問(wèn)題”了。

游戲規(guī)則很簡(jiǎn)單：有三扇關(guān)著的門，其中一扇后面藏著一輛汽車，另外兩扇后面是山羊。要是你選中了藏汽車的門，車就歸你了。很明顯，你一開(kāi)始就猜對(duì)的概率是三分之一。
但是呢，主持人稍微改了下玩法。當(dāng)你選好一扇門，還沒(méi)打開(kāi)的時(shí)候，知道門后啥情況的主持人說(shuō)：“別急，我再給你一次機(jī)會(huì)。我會(huì)打開(kāi)你沒(méi)選的兩扇門里，有山羊的一扇，讓你看看山羊。然后，你有兩個(gè)選擇：要么堅(jiān)持你原來(lái)選的那扇門（不換），要么換成剩下的那扇沒(méi)開(kāi)的門（交換）。”
問(wèn)題來(lái)了：到底要不要換？
咱們別靠運(yùn)氣瞎蒙，得講點(diǎn)概率。問(wèn)題是這樣的：如果不換，堅(jiān)持原來(lái)的選擇，拿到汽車的概率確實(shí)是三分之一。那如果換了，能增加拿到汽車的機(jī)會(huì)嗎？ 為了這事兒，專家和老百姓吵了好一陣子呢，現(xiàn)在主流的看法是：要換！ 換了門，你贏汽車的機(jī)會(huì)就從三分之一提高到了三分之二！為啥呢？咱們來(lái)細(xì)細(xì)分析下整個(gè)過(guò)程，看看參賽者選了不同的門，然后選擇“換”之后會(huì)發(fā)生啥。
想象參賽者第一次選門，有三種情況，每種情況的機(jī)會(huì)都一樣大（都是三分之一）：
1. 參賽者運(yùn)氣好，一開(kāi)始就選中了汽車的門（比如1號(hào)門）。 主持人呢，會(huì)在剩下兩扇山羊門里隨便開(kāi)一扇（比如開(kāi)了2號(hào)或3號(hào)）。這時(shí)候，如果你換了，完了，車沒(méi)了！你換到了山羊門。
2. 參賽者一開(kāi)始選中了第一扇山羊門（比如2號(hào)門）。 主持人知道情況啊，他只能打開(kāi)另一扇山羊門（就是3號(hào)門）。這時(shí)候，剩下的那扇沒(méi)開(kāi)的門（1號(hào)門）后面肯定是汽車！你如果換了（換到1號(hào)門），恭喜你，車開(kāi)走了！
3. 參賽者一開(kāi)始選中了另一扇山羊門（比如3號(hào)門）。 主持人只能打開(kāi)2號(hào)山羊門。剩下的那扇沒(méi)開(kāi)的門（1號(hào)門）后面還是汽車！你如果換了（換到1號(hào)門），車又歸你了！
看明白沒(méi)？在情況2和情況3里，只要你選擇“換”，你就贏汽車！只有在情況1里，你“換”了會(huì)輸。三種情況，兩種換贏，一種換輸。所以，選擇“交換”，贏的機(jī)會(huì)就是三分之二（三種情況里占了兩種贏的情況）。
換個(gè)更簡(jiǎn)單的思路理解：三扇門，只有一扇后面是汽車（你選中的概率是1/3），兩扇后面是山羊（你選中山羊的概率是2/3）。如果你第一次就幸運(yùn)地選中了汽車（1/3的機(jī)會(huì)）， 那你一換，肯定完蛋，換到山羊。如果你第一次倒霉選中山羊了（2/3的機(jī)會(huì)）， 那主持人幫你把另一扇山羊門打開(kāi)排除掉了，剩下那扇沒(méi)開(kāi)的門后面必定是汽車！你這時(shí)候一換，鐵定贏車！所以啊，你選擇“交換”能贏車的概率，其實(shí)就等同于你第一次選中山羊的概率，也就是三分之二！為啥好多人想不通？我現(xiàn)在說(shuō)一個(gè)大爺大媽也能秒懂的生活例子。
想象一下，你不是在選門，是在買菜找錢！
假如菜市場(chǎng)老板張三，手里拿著三張錢要找你。但張三這人不太老實(shí)，三張錢里只有一張是真錢，另外兩張是假錢！（這就對(duì)應(yīng)三扇門：一扇“真錢/汽車”，兩扇“假錢/山羊”）
第一步： 你閉著眼睛，從張三手里隨便抽走一張錢（這就相當(dāng)于你第一次選門）。你抽到真錢的概率只有1/3，抽到假錢的概率是2/3。這張錢在你手里，你不知道真假。
第二步： 張三（他知道哪張是真錢啊！）看著手里剩下的兩張錢。他必須做一件事：把其中一張假錢撕掉（或者收起來(lái)不給你看）！ （這就相當(dāng)于主持人打開(kāi)一扇有山羊的門，排除一個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng)）。他不能撕真錢，只能撕掉一張假錢。所以，他手里現(xiàn)在只剩下一張錢了。
第三步： 張三問(wèn)你：“哎，你要不要用你手上那張錢，換我手上這張錢？” （這就是主持人問(wèn)你要不要換門）
問(wèn)題：換不換？
情況A（你第一次就抽到了真錢 - 1/3概率）： 你手上是真錢。張三手里剩下兩張，一張真（你抽走那張剩下的“真”？不，你抽走的是真，他手里兩張都是假！）他只能撕掉一張假錢，他手里剩下一張假錢。如果你跟他換？完了！你把真錢換成了假錢！虧大了！
情況B（你第一次抽到了第一張假錢 - 1/3概率）： 你手上是假錢。張三手里剩下兩張：一張真錢，一張假錢。他必須撕掉一張假錢（他不能撕真錢），所以他撕掉那張假錢，手里剩下那張真錢。如果你跟他換？太棒了！你把假錢換成了真錢！賺了！
情況C（你第一次抽到了第二張假錢 - 1/3概率）： 你手上是另一張假錢。張三手里剩下兩張：一張真錢，一張假錢（就是你第一次沒(méi)抽到的那張假）。他只能撕掉一張假錢，所以他撕掉那張假錢，手里剩下那張真錢。如果你跟他換？太棒了！你又把假錢換成了真錢！賺了！
看明白沒(méi)？只有在你第一次運(yùn)氣爆棚直接抽到真錢（情況A，1/3機(jī)會(huì)）時(shí)，換錢你才吃虧。但只要你第一次抽到的是假錢（情況B和C，加起來(lái)2/3機(jī)會(huì)！），張三撕掉他手里另一張假錢后，他手里剩下的那張必定是真錢！你跟他換，準(zhǔn)沒(méi)錯(cuò)，肯定拿到真錢！所以，換錢贏真錢的概率（2/3），就是你第一次抽到假錢的概率（2/3）！ 不換，你贏的概率只有最開(kāi)始那1/3。換了，贏面就翻倍了！
還不信？把三門變成多門后也許你就明白了。
要是門變成10扇呢？只有一扇后面是汽車，其他九扇都是山羊。你先隨便挑一扇（比如3號(hào)門），你挑中汽車的概率只有1/10，挑中山羊的概率是9/10。然后，知道內(nèi)情的主持人把另外八扇山羊門全打開(kāi)了，就剩下你選的3號(hào)門和另一扇（比如2號(hào)門）沒(méi)開(kāi)。他問(wèn)你要不要換？這下腦子該清楚了吧？你最開(kāi)始選3號(hào)門，只有1/10的機(jī)會(huì)是對(duì)的。那剩下的9/10的機(jī)會(huì)，是不是都在主持人幫你排除掉8個(gè)錯(cuò)誤答案后，集中到那扇剩下的2號(hào)門上了？換！當(dāng)然要換！換了贏汽車的機(jī)會(huì)就從1/10猛增到9/10了！
要是100扇門、1000扇門呢？道理一模一樣！門越多，一開(kāi)始你選中的概率越小（1/100, 1/1000），主持人幫你排除掉絕大部分錯(cuò)誤選項(xiàng)后，剩下的那扇門藏著汽車的概率就越大（99/100, 999/1000）！換門，能讓你贏的概率大大提高！
三門問(wèn)題（蒙特?霍爾問(wèn)題）的核心就是，主持人利用他的信息幫你排除掉一個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng)，改變了剩余選項(xiàng)的概率分布。一開(kāi)始你選中山羊（錯(cuò)誤選項(xiàng)）的可能性更大（2/3），而主持人這個(gè)“排除錯(cuò)誤”的動(dòng)作，讓剩下的那扇門“繼承”了這些可能性。所以，換門才是上策！就像買菜找錢，第一次拿到假錢的可能性大，張三撕掉另一張假錢后，他手里那張就一定是真錢了，換過(guò)來(lái)準(zhǔn)沒(méi)錯(cuò)！
在生活中，類似有趣概率的例子到處都是。譬如體育彩票超級(jí)大樂(lè)透。體彩超級(jí)大樂(lè)透分為前區(qū)35選5，后區(qū)12選2。前區(qū)號(hào)碼由01—35共三十五個(gè)號(hào)碼組成，后區(qū)號(hào)碼由01—12共十二個(gè)號(hào)碼組成。如果我隨機(jī)挑選了一注大樂(lè)透，請(qǐng)問(wèn)前區(qū)號(hào)碼中了二個(gè)的概率有多大？不加考慮的直男也許會(huì)說(shuō)，很簡(jiǎn)單，只有二個(gè)結(jié)果，要么中，要么不中，所以中獎(jiǎng)概率是50%。難道中獎(jiǎng)概率真的有50%這么高嗎？顯然這個(gè)是沒(méi)有認(rèn)真計(jì)算沒(méi)有尊重客觀事實(shí)的錯(cuò)覺(jué)。體彩超級(jí)大樂(lè)透前區(qū)35選5的所有理論組合有且僅有324632組。經(jīng)過(guò)計(jì)算：選5中0的理論概率: 43.89%，選5中1的理論概率: 42.21%，選5中2的理論概率: 12.51%，選5中3的理論概率: 1.34%，選5中4的理論概率: 0.05%，選5中5的理論概率: 1/324632。對(duì)上述理論概率統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的通俗易懂的解釋是：有100個(gè)人，每個(gè)人花了2元買了一注大樂(lè)透。開(kāi)獎(jiǎng)結(jié)果出來(lái)后，對(duì)100個(gè)人的彩票中獎(jiǎng)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，前區(qū)號(hào)碼中獎(jiǎng)情況統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：
1.有44個(gè)人一個(gè)號(hào)碼也沒(méi)中。
2.有42個(gè)人僅中一個(gè)號(hào)碼。
3.有13個(gè)人僅中二個(gè)號(hào)碼。
4.有1個(gè)人中了三個(gè)號(hào)碼。
5.沒(méi)有人中四個(gè)號(hào)碼。
6.沒(méi)有人中五個(gè)號(hào)碼。
上述情況的前提是100個(gè)人買的號(hào)碼不相同。如果100個(gè)人買了一組相同的號(hào)碼，結(jié)果會(huì)咋樣呢？很簡(jiǎn)單，相當(dāng)于一注大樂(lè)透買了100倍。大概率是一個(gè)號(hào)碼也沒(méi)中或者僅中一個(gè)號(hào)碼。這樣的概率高達(dá)86%，僅有14%的概率中二個(gè)號(hào)碼或者三個(gè)號(hào)碼。上述統(tǒng)計(jì)結(jié)果說(shuō)明一個(gè)道理：中獎(jiǎng)其實(shí)是一個(gè)小概率的隨機(jī)事件。就是我們老百姓通常說(shuō)的中獎(jiǎng)是靠運(yùn)氣。體育彩票和福利彩票都是利國(guó)利民的公益事業(yè)。作為彩民，我們應(yīng)該支持，但是應(yīng)該保持理智的頭腦和平和的心態(tài)，理性購(gòu)買彩票，并且需要量力而行，千萬(wàn)不要盲目和沖動(dòng)。