一、題目

如圖，已知AB=CD=3，∠A=∠C=15°，∠D=105°，則線段AD的長(zhǎng)為_______.

二、分析

本題出自2022山西中考導(dǎo)向卷（五）第15題，題目類型為求線段長(zhǎng).

求線段長(zhǎng)常用方法為勾股和相似，現(xiàn)有圖形中存在含有所求線段AD的相似三角形，但相似三角形中卻不知任一線段長(zhǎng)，故無法直接用相似求解.

本題中已知條件較少，需要拓展已知條件，通常需要構(gòu)造特殊三角形，也可嘗試構(gòu)造直角三角形利用勾股或三角函數(shù)求解.

三、解答

1、用三角函數(shù)求解

如圖，分別延長(zhǎng)AD、CB，交于點(diǎn)E.

易證∠AEB=90°，△ABE≌△CDE(AAS)

∴BE=DE

在RT△ABE中，

∵sin15°=BE/AB，cos15°=AE/AB

∴BE=ABsin15°=3sin15°=DE

AE=ABcos15°=3cos15°

∴AD=AE-DE=3cos15°-3sin15°

現(xiàn)在的問題就是如何求出sin15°和cos15°.

如下圖所示，先畫一個(gè)含30°角的直角三角形，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)A，使AB=BD.

由勾股定理可得AD=√6+√2（開方時(shí)需要一些小技巧，文末有解釋）

∴sin15°=1/(√6+√2），cos15°=(2+√3)/(√6+√2）

∴AD=3[(2+√3)/(√6+√2）-1/(√6+√2）]

=3(√3+1)/(√6+√2）=3/√2=3√2/2

2、用勾股定理求解

如圖，分別延長(zhǎng)AD、CB，交于點(diǎn)E，在AD上取點(diǎn)F，使AF=BF.

易得 BE=DE，∠BFE=30°

設(shè)BE=x，則EF=√3x，BF=AF=2x

在RT△ABE中，由勾股定理，得

(2x+√3x)^2+x^2=3^2

解得x=3/(√6+√2)（開方時(shí)涉及雙重根號(hào)，方法見文末）

∴AD=2x+√3x-x=(√3+1)x=3(√3+1)/(√6+√2)=3√2/2

3、構(gòu)造特殊三角形求解

如圖，分別延長(zhǎng)AD、CB，交于點(diǎn)E，連接AC，過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F.

易證△ACE為等腰直角三角形

在△ADC中，∠DAC=45°，∠DCA=30°，CD=3

已知兩角一邊，則該三角形一定可解，故作高DF

DF=1/2CD=3/2

AD=√2DF=3√2/2

四、小結(jié)與反思

1、尋找特殊角，構(gòu)造特殊三角形

看了上面的解答，方法3相比方法1和方法2要簡(jiǎn)單許多，所以遇到條件較少的題目時(shí)，可嘗試尋找特殊角，構(gòu)造特殊三角形求解，而最特殊的三角形就是含30°的直角三角形與等腰直角三角形，所以要尋找的特殊角就是30°、45°、60°.

2、待定系數(shù)法化簡(jiǎn)雙重根號(hào)

例、化簡(jiǎn)√(8+4√3)

解：設(shè)8+4√3=(√a+√b)^2

∵(√a+√b)^2=(a+b)+2√(ab)

∴a+b=8，ab=12

解得a=2,b=6或a=6,b=2

∴8+4√3=(√2+√6)^2

∴√(8+4√3)=√2+√6