精彩點評一

盧老師以2022年重慶市中考數學A卷第25題為例，將三角形全等中的一邊一角進行了梳理和歸納，及旋轉和翻折中的動點問題中常見線段關系和最值問題進行了梳理和歸納，使我收獲多多。

1、撥正反亂。第一問，由題目中的條件BD=CE BC=CB ∠BCD=CBE，好多學生容易錯用“SSA”來證明△BDC和△CEB全等，這是本題設置的第一個陷阱，增加了學生的解題難度。盧老師從題目中一邊一角來通過添加角或邊來引導學生用“SAS、AAS、ASA”來證明全等。在添加邊時，常用補短（在CD的延長線上作CM=BE）和截長（在BE上截取BM=CD），進而證明△BCM≌△CBE或△BCM≌△CBD；在結合等邊等角及三角形內角和180°和外角關系進而求得∠CFE=∠A=60°。在添加角時，常用補角使小角等于大角或截角使大角等于小角來證明三角形全等。這證明中，盧老師歸納了常見的6中證明方法。在這題解答之后，盧老師由一般推出了這題的特殊情況，當AB=AC AD=EC時，證得△ADC≌△CEB，進而也求得∠CFE=∠A=60°，歸納出了由一般到特殊的思想方法。

2、步步推進。第二問剛好是在第一問題中特殊圖形中進行旋轉和設問。盧老師引用我們在做該題時，可以先用度量的方法來猜測線段之間的數量關系：BF+CF=2NC。由于這三條線段都不共線，因此，引導學生利用截長補短和倍長中線的方法來將BF和CF放在同條線段上，再證得該線段和NC的關系。第一種方法，截的GF=BF，先證得△ABG≌△CBF，進而得到∠AGB=∠CFB=120° AG=CF ∠GAB=∠BCF，最后求得∠CGA=60°。再通過倍長中線的方法得到CR=2CN和平行四邊形FCMR，再結合平行的性質及內角和得到∠CMR=∠GAC，再通過證得△AGC≌△MRC來得到GC=CR，最后得到BF+CF=2NC。第二種解法是在第一種方法上連接AR，先證得點G、A、R三點共線，再證得等邊△GCR進而求得結果。第三種方法根據倍長中線得到延長FC=CL得到ML＝2CN，先證得△GAC≌△MCL，得到ML=CG，進而求得結果。也可以利用延長MC=CL得到FL=2CN，最后求得結果。

3、模型定位。第三問是定弦定角模型問題。在這一問中，盧老師歸納出了動點軌跡中最值問題的常見模型：直線型（兩點之間，線段最短--將軍飲馬和阿氏圓，垂線段最短--胡不歸）、圓弧型（某點到圓上的最值--定弦定角和定點定長）。在定角（∠BFC=120°）定弦（BC）問題中，當點P、F、O三點共線時，PF最小，利用HL/PL=OA/PA=2/√3，結合面積或三角函數將PK或PJ表示出來，進而得到PQ=2PJ或PQ=√2PK，設HL=KL=2x，進而將QP和BC都用x表示出來，PQ/BC的值也就求出來了。再由該問出發去思考第二問，發現第二問中第三種方法可以看成定弦定角問題，使得FL=BF+CF。

再次感謝盧老師的精彩講題和張欽博士提供的學習平臺，讓我不斷學習和成長！我將繼續向各位學習取經，更好的服務教學和學生！

精彩點評二

2022年重慶市中考數學A卷25題是一個幾何綜合題，這題考查的知識比較豐富，對學生分析問題、解決問題能力的考查要求也比較高，這就決定了本題的講解有一定的難度，要求老師解決“如何從相關條件切入、為什么從相關條件去切入？“的問題。從盧老師的視頻中，我清晰看到了盧老師研究這個綜合題時的抽絲剝繭的痕跡，也感受到了盧老師那種破繭成蝶的快樂。

首先，盧老師在解題教學中顯然有一個很好的習慣，回歸課本，回歸基本知識、基本方法。第一問，盧老師從已知條件著手， 根據全等所需條件構造對稱全等（兩個三角形在公共邊同側）這個基本圖形；第二問，充分運用了生動活潑的合情推理這個基本推理方法，通過測量、動點在特殊位置順其自然猜想三條線段的數量關系，并利用中點構造中位線、平行四邊形，利用60°構造等邊三角形等基本圖形來解決問題；第三問，解決最值問題之前先回顧所有相關的最值問題基本理論依據及基本圖形的構造，然后輕松切入本題。相信盧老師的這個思考習慣，會滲透在日常的教學中，對學生會有一定潛移默化的影響。這樣我們的學生在思考問題時才能做到有跡可循。

另外，盧老師特別注重問題之間的聯系，在三個問題的分析過程中，充分挖掘三問之間的聯系，相信日常教學中也會注重知識或者不同問題之間的聯系，對學生抽象、歸納及創新能力培養應該有一定的價值。第一問分析完畢，盧老師作了一個變式，剛好與第二問相關，但是正是增加的特殊的條件才產生第二問的特殊的數量關系；我們會發現第二問三條線段特殊的數量關系就是因為“定弦定角120°的存在”，才可以使“BF+CF”等于特殊“某條線段”的長，所以只要構造“某條線段的一半”就可以得到三條線段的特殊數量關系；而且正是定弦定角的存在，才有角F的運動軌跡在一個圓上，進而出現相應的第三問的最值問題。

最后，一點可以共勉的建議：受第二、三問的啟發我們可以嘗試將等邊三角形換成正方形，定角轉化成90°，也可以構造新的三條線段的特殊的數量關系。第二問的120°，是我們很常見的一個基本圖形里面的定角，圍繞這個變化中的不變性，我們可以有很多繼續延展的研究，本題第二、三問在此基礎上衍生了新的問題，從問題表面，隱藏了定角的存在，給了我們更大的思維空間，這是我們自己在嘗試變式時所缺乏的。

感謝張欽博士給我們提供這樣一個平臺，感謝各位講題老師的認真研究，因為每個人的研題中所展現的智慧都會給我們啟迪。

精彩點評三

2022年重慶市中考數學A卷第25題，以三角形為載體，綜合考察了等邊三角形，全等三角形，四邊形，圓，相似三角形，最值等知識，感謝盧老師的精彩講解。
這道幾何壓軸題第一問起點就比較高，需要學生根據已知條件構造全等三角形，避開SSA，再進行等角轉化。第2小問是在第1問的基礎上條件特殊化，能猜想出BF+CF=2CN比較難，三條線段均不在同一條直線上，可以通過截長補短和中線倍長進行等量轉化。成功猜想需要構造出等邊三角形△GBF，BF轉化為GF，倍長中線后構造全等三角形△CMN≌△RFN，得到CR=2CN，通過觀察CR和CG，發現他們可能相等，再證明△AGC≌△MRC得到GC＝RC，線段等量轉化后得證。第3小題作圖較復雜，作圖也是很多學生比較畏懼的，此問還要在其中探索最值問題，線段比值問題，非常考驗學生的意志力。我們在平時教學中，如何通過課堂上基礎的作圖培養學生思考動點問題和分類問題，值得花時間探索，鼓勵學生敢于動手畫草圖，課堂上要舍得給學生時間嘗試。求線段比值類的問題，一般是用字母來表示線段長，尋找相關聯線段間的關系，可通過全等、勾股定理、相似、三角函數等建立聯系。在具體的題目解答過程中，靈活運用，由條件出發，推導出可能的結論，并在其中尋找有利于推理的部分，進行下一步推導。
通過學習盧老師對本題的講解，獲益匪淺。盧老師層層剖析，深入淺出，問題分解，各個擊破，化繁為易，嘆為觀止。感謝張欽博士搭建的研題平臺，讓我們每周都能享受到思維的盛宴、精神的洗禮，不斷的為平時教學充電蓄能。

精彩點評四

2022年重慶市中考數學A卷第25題，是以三角形為背景的幾何變換綜合題。主要考查了全等三角形的判定和性質、等邊三角形胡判定和性質、旋轉的性質、平行線的性質、圓的基本性質、解直角三角形、勾股定理等知識，綜合性強。三問都有不小的難度，解題的關鍵是作出合適的輔助線，正確尋找全等三角形解決問題，學會利用面積法解決問題，是一道難度較大的中考壓軸題。反復觀看盧老師的研題后收獲頗多。

首先，善于從條件本質出發，引導其認真讀題審題，每讀到一個條件，立刻進行知識前后關聯，進行發散并迅速組成知識網絡。第一問，條件“SSA”不能證出全等，盧老師通過添加邊或角來引導其用“SAS”“AAS”“ASA”構造出可以證明全等的三角形的條件，從而使問題迎難而解。

其次，注重探究過程和數學思想方法的逐步滲透，層層遞進。原圖線條并不是太多，但在第二問中要猜想出BF+CF=2CN確實不容易。盧老師采用由特殊到一般的思維方法，用度量的方法先直觀感受，再猜想線段之間的關系，再去驗證，探究過程脈絡清晰。第一種方法用截長補短和倍長中線法構造全等，及構造平行四邊形來解決問題。第二種方法中隱藏著G、A、R三點是否共線的“坑”，但都逐個突破。

再次，善于進行系統性地概括歸納，發現其規律性，形成統一的模型。第三問作圖十分復雜，完成作圖后還要在其中探索最短問題、線段比值問題，對學生的分析能力、解決問題能力就要求較高。中考中求線段最大值、最小值問題知識覆蓋面廣，綜合性強。若在學習中將這些相似的、存在聯系的題目及解決方法進行歸納總結，就有助于幫助其梳理思維。比如：“垂線段最短”“將軍飲馬問題”等等。理解和掌握通法，才是解完題后應該學會的東西。

最后，感謝張欽博士給我們提供的寶貴學習平臺，感謝盧老師的精彩研題！教研之路，永無止境，今后要繼續不斷學習，不斷提升自我！

個人感言

“千磨萬擊還堅勁，任爾東西南北風”。研題的過程就像竹子經歷風雨的洗刷后，依然頑強執著。

研題的第一步是選題，選什么樣的題目比較難。我首先選擇了自己比較擅長類型的題目，結果審核時沒有通過。于是我挑了一個最不擅長的題目，希望通過對這道題目的研究使不擅長問題變成擅長的問題。事實證明這個想法是可行的。第二步探究題目，題目難度比較高，結果探究過程更難。這道題目屬于幾何和代數的綜合題。第一問的起點就比較高，考查三角形全等的判定，SSA不一定能證明兩個三角形全等，如何轉化使得三角形全等，同時也滲透從特殊到一般的思想，以及截長補短的方法。第二問考查三角形中不相連線段中的數量關系，運用到倍長中線，中位線，圖形的變化旋轉，以及四點共圓等相關知識。第三問考查作圖能力，動點最值問題，三角函數等相關知識。本題從這幾個點重點考查了學生圖形識別，辨析，作圖能力以及數形結合，模型等思想。我從每天思考這道題的解法，得出一種解法后思考還有沒有別的解法，與教材內容有怎樣的聯系，以及對教學中有怎么的啟示。最讓我犯難的是第三問，因為我本身對最值問題不擅長，所以看著題目我無從下手。于是我決定把初中階段所有類型的動點最值問題查出來，然后逐個分析，各個擊破。最后終于理清了這道題的解法。那么將這些研究的問題轉化對我們教學有幫助的內容才是重點。這個問題我思考了許久，百思不得其解，最終通過與其他老師交流終于找到突破口。當我終于松了口氣時，PPT制作卻花費了大量的時間。研題的過程真是痛并快樂著！

本次研題我收獲滿滿：（1）要讀懂教材，理解教材內容，教學過程中給學生傳遞數學的基本知識和基本技能。（2）要讀透教材，教學中不僅要關注基本知識和基本技能，更注重思想方法以及基本活動經驗的滲透。（3）要讀深教材，注重初高中知識的銜接，讓學生的知識形成體系。（4）讀廣教材，了解知識間的關聯，形成項目式的學習，從而提升學生探究熱情，開闊學生的視野。

感謝張欽博士搭建這個線上研題平臺，感謝興山縣初中數學教研員黃海濤的鼓勵和指導，感謝黃毅老師和袁曉芹老師的指導，感謝劉家付老師，高飛老師，郭春艷老師的精彩點評，感謝我們昭君中學的數學組教師的支持與幫助，是你們讓我在前進的路上更有動力。

路雖遠，行則將至；事雖難，做則必成！本次研題讓我更加堅定探究數學教學的信心！

盧卉芳老師簡介

盧卉芳，興山縣昭君鎮初級中學教師，宜昌市初中數學“1+1+N”成員，興山縣初中數學學科工作室成員，曾獲得湖北好課堂二等獎，湖北省精品課三等獎，宜昌市初中數學展評課一等獎等多項獎勵。主張快樂學習，充分尊重學生個性，讓數學課堂更加生動活潑！