精彩點(diǎn)評(píng)一

學(xué)習(xí)了孫園園老師的直播課，讓我收獲頗多。

一、“小題大做”，凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)，關(guān)注數(shù)學(xué)應(yīng)用

2023年濱州市中考數(shù)學(xué)第8、16題為例，第8題關(guān)聯(lián)的知識(shí)有三角形的內(nèi)角和、三角形全等、等邊三角形的性質(zhì)、四點(diǎn)共圓、旋轉(zhuǎn)；第16日關(guān)聯(lián)的知識(shí)有矩形的性質(zhì)，三角形全等，等腰三角形性質(zhì)等，涉及轉(zhuǎn)化的思想，構(gòu)造的思想。作為濱州市中考題，題目簡(jiǎn)潔，以等邊三角形或者矩形為切入點(diǎn)，入口起點(diǎn)低，但是拓展面廣，典型的“小題大做”，由淺入深地考查了學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)掌握的情況，綜合考察了學(xué)生的核心素養(yǎng)，最大的特點(diǎn)就是著眼素養(yǎng)，立足基礎(chǔ)，聚焦思維。

二、立足基礎(chǔ) 引導(dǎo)學(xué)科教學(xué)

本題關(guān)注通性通法，立足基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法，突出考查了初中階段的重點(diǎn)知識(shí)，切合教學(xué)實(shí)際。

面對(duì)這種填空題，選擇題，其難度不是很大，但是如何挖掘背后涉及到的知識(shí)點(diǎn)，如何在教材中找到題目的影子，從而有效備課，有效教學(xué)呢？孫老師從一個(gè)簡(jiǎn)單的提問(wèn)開(kāi)始，尋找解題策略，循序漸進(jìn)的講解，如沐春風(fēng)，解答水到渠成。

在講解過(guò)程中，孫老師不單從多角度解題進(jìn)行了深挖，還在相應(yīng)教材中尋找源頭，指導(dǎo)我們備課，從回歸教材中育人，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，同時(shí)，從這個(gè)源頭擴(kuò)散開(kāi)來(lái)，從內(nèi)涵看外延，拓寬了我的視野，對(duì)知識(shí)的承前啟后有了更充分的認(rèn)識(shí)。

三、著眼素養(yǎng) 體現(xiàn)育人價(jià)值

在本次研題中，孫老師從學(xué)生解答入手，站在學(xué)生的角度去理解題意，尋求解法，我們的教學(xué)初心，就是讓不同學(xué)生都能夠掌握知識(shí)，靈活應(yīng)用，落實(shí)了立德樹(shù)人根本任務(wù)。

同時(shí)，孫老師對(duì)數(shù)學(xué)史的講解，讓我很受感動(dòng)：人們要弄清數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)思想和方法的發(fā)展過(guò)程，增長(zhǎng)對(duì)數(shù)學(xué)的通識(shí),建立數(shù)學(xué)的整體意識(shí)，就必須運(yùn)用數(shù)學(xué)史作為補(bǔ)充和指導(dǎo)。特別是，現(xiàn)代數(shù)學(xué)的體系猶如“茂密繁盛的森林”，使人“站在外面窺不見(jiàn)它的全貌，深入內(nèi)部又可能陷身迷津”，數(shù)學(xué)史的作用就是指引方向的“路標(biāo)”，給人以啟迪和明鑒。

從孫老師的講題，從張欽博士搭建的講題平臺(tái)，我覺(jué)得，這也是指導(dǎo)我們數(shù)學(xué)研究的路標(biāo)，值得我反復(fù)學(xué)習(xí)，給我指點(diǎn)迷津。

精彩點(diǎn)評(píng)二

9月19日晚上，五中孫老師上了一節(jié)精彩的釘釘直播課。孫老師以2023年山東省濱州市中考數(shù)學(xué)試題第8題和第16題為例，研究了一道選擇題的壓軸題和一道填空題的壓軸題，帶給我很多的啟發(fā)和思考。

濱州市中考數(shù)學(xué)試卷有8道選擇題，8填空題，6道解答題，共22題，滿分120分。整個(gè)試卷做下來(lái)，填空題的最后一題即第16題應(yīng)該是全卷思維的最高點(diǎn)，反而最后一道22題，難度并不大，而且也不新。將選填題的最后一題或最后幾題加大難度，也是我省其它地市州的常見(jiàn)模式。研究這樣的選填題，很有借鑒作用。

第8題，是一道等邊三角形中的角度計(jì)算，參考答案的思路是：作平行線構(gòu)造新的等邊三角形進(jìn)行角度轉(zhuǎn)換，把“以線段AP，BP，CP為邊的三角形”問(wèn)題轉(zhuǎn)化到“構(gòu)造出來(lái)的一個(gè)新的三角形中”。孫老師還另外研究了“旋轉(zhuǎn)解法”：由于等邊三角形有“邊”的等量關(guān)系，特別適合“旋轉(zhuǎn)”后構(gòu)造“全等三角形”或“新的等邊三角形”，從而把分散的條件“集中”，或者把“不好用的條件”變得“好用”。孫老師介紹了“旋轉(zhuǎn)解法”的多種變式，聯(lián)系了“費(fèi)馬點(diǎn)”的證法，由“旋轉(zhuǎn)后全等”延伸到“旋轉(zhuǎn)后相似”，并與教材中各種習(xí)題相呼應(yīng)，說(shuō)明這樣的中考試題往往“源于教材，高于教材”。幾個(gè)變式的聯(lián)想和研究，使第8題的作用得到了充分的發(fā)揮，孫老師的總結(jié)和思考，對(duì)九年級(jí)教師即將進(jìn)行的“旋轉(zhuǎn)”教學(xué)是很有幫助的。

第16題，表面上是一個(gè)矩形中的計(jì)算問(wèn)題，實(shí)際上是等腰三角形中計(jì)算問(wèn)題。一個(gè)底邊為定值5的動(dòng)等腰三角形，被條件“BF=AE，BE=3，AF=1”聯(lián)合限定了，于是BF成為了定值。求這個(gè)定值，孫老師想了很多辦法，用“形式多變”的“各類(lèi)全等”，將一道不常見(jiàn)的“邊邊角”問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為“可以證明的全等問(wèn)題”，尤其是孫老師還系統(tǒng)地研究了“用邊邊角證全等”的各種情形，介紹了他對(duì)“邊邊角”問(wèn)題的思考，為我們今后解決“邊邊角”問(wèn)題提供多個(gè)解決方案。

第104講研題，從兩道選填題的研究開(kāi)始，通過(guò)深入解析、變式延伸、成因探究，反思討論，落腳到我們?nèi)粘５慕虒W(xué)中，讓所有聆聽(tīng)直播課的老師都收獲多多！

感謝孫老師的精心準(zhǔn)備和深刻思考，感謝張欽博士提供給我們一個(gè)思考借鑒的學(xué)習(xí)平臺(tái)！

精彩點(diǎn)評(píng)三

認(rèn)真學(xué)習(xí)了孫老師2023年山東省濱州市中考數(shù)學(xué)第8題和第16題的研題，收獲頗多。兩道題都以特殊的圖形為背景，計(jì)算角度或線段的長(zhǎng)度。

第8題是一道等邊三角形中的角度計(jì)算，雖然沒(méi)給出圖形，但根據(jù)題意容易畫(huà)出圖形。孫老師從題干中“以線段AP、BP、CP為邊的三角形”這一條件出發(fā)，想辦法通過(guò)作平行或旋轉(zhuǎn)構(gòu)造新的等邊三角形將分散的條件集中起來(lái)，也可以看成任意一條線段繞其端點(diǎn)順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°來(lái)構(gòu)造新的等邊三角形，從而將線段AP、BP、CP轉(zhuǎn)換到一個(gè)三角形中，這些解法思路均源于課本例習(xí)題，可見(jiàn)教材中的例題習(xí)題在我們平時(shí)教學(xué)中起到一個(gè)重要的實(shí)例作用。另孫老師由本題的圖形與情景關(guān)聯(lián)到費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題，進(jìn)而將本題進(jìn)行變式拓展，使第8題的作用得到了充分的發(fā)揮。反思我平時(shí)教學(xué)，還需對(duì)教學(xué)中例習(xí)題充分利用研究，讓其發(fā)揮余熱，力爭(zhēng)讓學(xué)生“解一題、會(huì)一類(lèi)、通一片”，讓學(xué)生的能力進(jìn)一步升華提高。

第16題，是矩形對(duì)角線形成的一個(gè)等腰三角形中線段長(zhǎng)度計(jì)算問(wèn)題。孫老師從條件及問(wèn)題兩方面分析，通過(guò)多種方法構(gòu)造全等三角形，利用勾股定理計(jì)算得到所求線段長(zhǎng)度。而構(gòu)造全等三角形的關(guān)鍵是解決一個(gè)不常見(jiàn)的“邊邊角”問(wèn)題，孫老師通過(guò)對(duì)教材中“邊邊角為什么不能證明全等”問(wèn)題的深入細(xì)致地思考與分析，自然而然地想到將其轉(zhuǎn)化成全等的圖形，從而出現(xiàn)了本題中的多種解決方法。孫老師對(duì)研題及教材研究之深之透值得我學(xué)習(xí)。

感謝張博士提供這樣一個(gè)豐富的學(xué)習(xí)平臺(tái)，感謝孫老師呈現(xiàn)的精彩研題，學(xué)無(wú)止境，一直在路上。

精彩點(diǎn)評(píng)四

聽(tīng)了孫老師的研題，對(duì)幾何探究尤其是全等三角形有了更深刻的認(rèn)識(shí)，收獲很多。首先是第八題，通過(guò)等邊三角形這個(gè)載體，可以作平行線構(gòu)造新的等邊三角形或者通過(guò)旋轉(zhuǎn)構(gòu)造手拉手模型的全等，將原本凌亂的線段轉(zhuǎn)化到一個(gè)新的三角形中解決問(wèn)題。接著第16題的幾何填空壓軸題，在矩形的背景下研究全等構(gòu)造。孫老師深挖此題出現(xiàn)的背景：邊邊角模型。對(duì)于非直角三角形的邊邊角問(wèn)題，圖形定下來(lái)則全等與否就定了下來(lái)了，可以通過(guò)構(gòu)造相應(yīng)的直角三角形來(lái)解決問(wèn)題。每一個(gè)題目孫老師都提供了數(shù)10種解法，而且對(duì)于每種解法的來(lái)龍去脈講解十分到位，并重視探究解法的思想來(lái)源以及共同之處，對(duì)發(fā)散學(xué)生的思維很有幫助。在每道例題的最后，孫老師也進(jìn)行了相應(yīng)的專題變式，將解決一類(lèi)問(wèn)題的思路進(jìn)一步鞏固。孫老師的幾點(diǎn)建議也非常實(shí)用，一是重視教師教學(xué)用書(shū)，重視課本例題以及習(xí)題。二是注重大單元教學(xué)，研究知識(shí)之間的聯(lián)系，構(gòu)建知識(shí)體系。三是關(guān)注學(xué)生，以生為本，提升學(xué)生的素養(yǎng)。總之，在今后的幾何研究中，我也會(huì)向?qū)O老師學(xué)習(xí)，多研多思多做，提升自己的解題能力和教學(xué)水平，從而助力學(xué)生的成長(zhǎng)。

精彩點(diǎn)評(píng)五

聽(tīng)完孫老師的研題分享，頗有收獲。兩道題都與旋轉(zhuǎn)相關(guān)，都可以借助旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化線段位置，同時(shí)保持相等關(guān)系，考察學(xué)生思維能力，也非常凸顯幾何直觀價(jià)值。

我本人前期研題中也對(duì)手拉手模型有過(guò)研究，但孫老師結(jié)合圖形的旋轉(zhuǎn)，將手拉手模型剖析得更為深刻，如孫老師所說(shuō)，同一知識(shí)點(diǎn)在不同階段，可以有不同的理解方式，前面的階段，教師可以從幾何直觀的角度，對(duì)后一階段即將學(xué)習(xí)的新知識(shí)進(jìn)行滲透，在后一階段學(xué)習(xí)過(guò)程中，關(guān)聯(lián)前一階段的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，拓寬思維廣度。

第8題的解題思想都是利用等邊三角形或旋轉(zhuǎn)來(lái)轉(zhuǎn)化線段位置，但旋轉(zhuǎn)應(yīng)旋轉(zhuǎn)哪個(gè)圖形？繞著哪個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)？一次旋轉(zhuǎn)達(dá)到什么樣的目的才能有效解決問(wèn)題？從孫老師的解法來(lái)看，旋轉(zhuǎn)的對(duì)象有多種選擇，旋轉(zhuǎn)中心有多種旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)方向也可以有多個(gè)旋轉(zhuǎn)，而進(jìn)一步觀察我們可以發(fā)現(xiàn)，其實(shí)就是在全等章節(jié)中接觸過(guò)的手拉手模型。但事實(shí)上，學(xué)生反復(fù)接觸的手拉手模型也可能成為解題的攔路虎，根本原因也許就在于教師對(duì)于例題的剖析、拓寬不夠充分。

第16題孫老師也提供了豐富的解題方法，多種方法對(duì)比，其中都有一種對(duì)稱的思想，因此當(dāng)問(wèn)題中出現(xiàn)了不對(duì)稱的因素，又需要我們得出對(duì)稱的結(jié)論時(shí)，我們往往采用一種類(lèi)似于截長(zhǎng)補(bǔ)短的思想，去構(gòu)造出對(duì)稱的元素。教學(xué)中我們也應(yīng)重視同類(lèi)解題思想的歸類(lèi)，讓學(xué)生在練習(xí)中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，融會(huì)貫通。

非常感謝孫老師精彩的分享，相信有張欽博士提供的平臺(tái)，我們宜昌市數(shù)學(xué)教師團(tuán)隊(duì)，群策群力，一定能走得更遠(yuǎn)。

精彩點(diǎn)評(píng)六

學(xué)習(xí)了孫老師2023年山東省濱州市中考數(shù)學(xué)第8題和第16題的研題，對(duì)孫老師的研究深感佩服。孫老師對(duì)二道題與書(shū)中例題、習(xí)題的原型對(duì)比，展示了實(shí)體來(lái)源于課本中最基本的問(wèn)題的變式，研題過(guò)程對(duì)課本中例題習(xí)題中擠出知識(shí)、基本技能、基本思想方法的應(yīng)用作了詮釋。我們?cè)诮虒W(xué)中能認(rèn)識(shí)到這些，對(duì)例題和習(xí)題精打細(xì)磨，強(qiáng)化核心素養(yǎng)，學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握、方法提升、思想領(lǐng)悟都大有裨益。

孫老師的研題過(guò)程，就像一個(gè)縱橫捭闔的將軍，研題過(guò)程中對(duì)例題習(xí)題關(guān)聯(lián)，對(duì)第8題通過(guò)作平行或旋轉(zhuǎn)構(gòu)造新的等邊三角形將分散的條件集中，又由本題的圖形與情景關(guān)聯(lián)到費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題，進(jìn)而將本題從不同角度進(jìn)行變式拓展，對(duì)新課改下的大單元整體設(shè)計(jì)教學(xué)有很好的啟發(fā)。

個(gè)人感言

解題能力是數(shù)學(xué)老師的一個(gè)專業(yè)制高點(diǎn)，研究解題是專業(yè)攀登的一座發(fā)展里程碑。對(duì)數(shù)學(xué)老師而言，解題活動(dòng)是不同于常人的，不僅要自己知道“怎樣解題”，更為重要的是指導(dǎo)學(xué)生“學(xué)會(huì)解題”。數(shù)學(xué)老師與學(xué)生的思維、知識(shí)儲(chǔ)備、技能方法、數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、觀題視角等方面差別巨大，所以解題不能滿足于“解出”，更要思考“探源”、“溯流”等一系列問(wèn)題。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，解題是解決“是什么”，而教學(xué)生解題還要解決“為什么”。所以研題的重要性不言而喻。

本次研題活動(dòng)，我選的是2023年濱州市中考數(shù)學(xué)第8題、第16題。選題階段，做了今年大量中考的選填題，最終選定了這兩道初看很常規(guī)、再看有新意的試題。第8題屬于“三線碰頭”問(wèn)題，題中的P點(diǎn)是在三角形的邊上，將P點(diǎn)一般化放在三角形的內(nèi)部，我第一時(shí)間想到了三角形的費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題。費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題的解決給的啟示是：三線碰頭思旋轉(zhuǎn)，于是本題基于“旋轉(zhuǎn)”批量產(chǎn)生了眾多解法。研第8題的過(guò)程中再讀教材教參和2022版課程標(biāo)準(zhǔn)，又有了新的體會(huì)。解法1和解法2均源于人教版教材八上13.3.2等邊三角形的例、習(xí)題，利用等邊三角形的性質(zhì)轉(zhuǎn)移邊角是我在之前的教學(xué)中所忽略的，現(xiàn)在想來(lái)著實(shí)汗顏。解法3-解法6本質(zhì)是通過(guò)旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)移邊角位置，也可以理解為利用等邊三角形三邊相等的性質(zhì)構(gòu)造全等三角形從而轉(zhuǎn)移線段，我在研題中也有闡述，解法幾乎全部源自課本習(xí)題。第16題本質(zhì)是理解“邊邊角”為何不能證明三角形全等，源自人教版課本八上12.2第39頁(yè)的思考題。通過(guò)本次研題，厘清“邊邊角”不能證全等的實(shí)質(zhì)及其應(yīng)用，在本學(xué)期的教學(xué)中，講這一節(jié)課時(shí)感到格外清晰，學(xué)生理解起來(lái)、運(yùn)用起來(lái)也有如神助，深感研題之重要。而這僅僅是書(shū)上的一兩道思考題和三五道例習(xí)題，整個(gè)初中階段的六本教材六本教參和一本課標(biāo)，還有多少這樣的細(xì)枝末節(jié)等待著我去探究、去發(fā)現(xiàn)，體會(huì)到這樣的“探究”、“發(fā)現(xiàn)”的重要性，讓我越來(lái)越感到學(xué)習(xí)的必要性、重要性和緊迫性。

以前的我不重視課程標(biāo)準(zhǔn)，甚至有時(shí)連教參也未精讀細(xì)讀，只想多做幾個(gè)題，多刷幾套卷，認(rèn)為課標(biāo)無(wú)足輕重。本次研題恰逢暑假，就靜下心來(lái)讀了讀課標(biāo)，收獲頗豐。如2022版課程標(biāo)準(zhǔn)第85頁(yè)在教學(xué)建議篇寫(xiě)到：整體把握教學(xué)內(nèi)容要注重教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化、注重教學(xué)內(nèi)容與核心素養(yǎng)的關(guān)聯(lián)。這不就是前兩年提出的“結(jié)構(gòu)化教學(xué)”嗎？確實(shí)啊，學(xué)生學(xué)習(xí)到的知識(shí)與技能、思想與方法，如果沒(méi)有形成網(wǎng)絡(luò)、沒(méi)有構(gòu)建體系、沒(méi)有筑成結(jié)構(gòu)，就會(huì)是零散點(diǎn)狀分布的，碰到問(wèn)題時(shí)就無(wú)法產(chǎn)生知識(shí)、方法上的聯(lián)結(jié)，就會(huì)有一聽(tīng)就懂、一做就錯(cuò)的學(xué)習(xí)感覺(jué)。一部分原因還是沒(méi)有從整體上來(lái)把握教學(xué)。所以今后對(duì)課標(biāo)的學(xué)習(xí)，對(duì)教參教材的研讀，還要繼續(xù)，還要加深。

這次研題，也翻閱了很多雜志和數(shù)學(xué)教學(xué)相關(guān)的書(shū)籍，有張鶴最新發(fā)表在中國(guó)數(shù)學(xué)教育的文章《思維是可以教的》，有劉霞老師發(fā)表在初中數(shù)學(xué)教與學(xué)的文章《與“費(fèi)馬點(diǎn)”相關(guān)問(wèn)題的處理策略》，還有黃偉建老師寫(xiě)的書(shū)《教數(shù)學(xué)，在路上》等等。甚至從抖音、b站等網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)上也學(xué)習(xí)了很多高手對(duì)相關(guān)問(wèn)題的高見(jiàn)，發(fā)現(xiàn)其實(shí)想研究、想學(xué)習(xí)，門(mén)路還是蠻多的，還是自己不夠勤奮不夠用心。言及于此不由得想起一段話：業(yè)精于勤，荒于嬉；行成于思，毀于隨?？磥?lái)今后還得更加努力。

當(dāng)然，最為重要的是感謝張欽博士搭建的研題平臺(tái)，促進(jìn)我多思考多研題，感謝黃毅老師對(duì)我提的寶貴意見(jiàn)，感謝五中數(shù)學(xué)組的老師，特別是程雪瓊老師對(duì)我的幫助。感謝陳仁蓉老師、是海松老師、曹榮老師、鄒正陽(yáng)老師、朱丹花老師、陳麗君老師的精彩點(diǎn)評(píng)，讓我受益匪淺。本次研題活動(dòng)雖然告一段落，但新的征程已然開(kāi)啟，路漫漫其修遠(yuǎn)兮，吾將上下而求索。

孫園園老師簡(jiǎn)介

孫園園，男，31歲，宜昌市初中數(shù)學(xué)工作室成員，宜昌市第五中學(xué)數(shù)學(xué)老師。自2014年畢業(yè)于華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)以來(lái)，一直耕耘在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)一線。立志于通過(guò)數(shù)學(xué)教學(xué)，讓不聰明的孩子變聰明，讓聰明的孩子更聰明。