精彩點評一

學習了孫園園老師的直播課，讓我收獲頗多。

一、“小題大做”，凸顯數學本質，關注數學應用

2023年濱州市中考數學第8、16題為例，第8題關聯的知識有三角形的內角和、三角形全等、等邊三角形的性質、四點共圓、旋轉；第16日關聯的知識有矩形的性質，三角形全等，等腰三角形性質等，涉及轉化的思想，構造的思想。作為濱州市中考題，題目簡潔，以等邊三角形或者矩形為切入點，入口起點低，但是拓展面廣，典型的“小題大做”，由淺入深地考查了學生對基礎知識掌握的情況，綜合考察了學生的核心素養，最大的特點就是著眼素養，立足基礎，聚焦思維。

二、立足基礎 引導學科教學

本題關注通性通法，立足基礎知識、基本技能、基本思想方法，突出考查了初中階段的重點知識，切合教學實際。

面對這種填空題，選擇題，其難度不是很大，但是如何挖掘背后涉及到的知識點，如何在教材中找到題目的影子，從而有效備課，有效教學呢？孫老師從一個簡單的提問開始，尋找解題策略，循序漸進的講解，如沐春風，解答水到渠成。

在講解過程中，孫老師不單從多角度解題進行了深挖，還在相應教材中尋找源頭，指導我們備課，從回歸教材中育人，透過現象看本質，同時，從這個源頭擴散開來，從內涵看外延，拓寬了我的視野，對知識的承前啟后有了更充分的認識。

三、著眼素養 體現育人價值

在本次研題中，孫老師從學生解答入手，站在學生的角度去理解題意，尋求解法，我們的教學初心，就是讓不同學生都能夠掌握知識，靈活應用，落實了立德樹人根本任務。

同時，孫老師對數學史的講解，讓我很受感動：人們要弄清數學概念、數學思想和方法的發展過程，增長對數學的通識,建立數學的整體意識，就必須運用數學史作為補充和指導。特別是，現代數學的體系猶如“茂密繁盛的森林”，使人“站在外面窺不見它的全貌，深入內部又可能陷身迷津”，數學史的作用就是指引方向的“路標”，給人以啟迪和明鑒。

從孫老師的講題，從張欽博士搭建的講題平臺，我覺得，這也是指導我們數學研究的路標，值得我反復學習，給我指點迷津。

精彩點評二

9月19日晚上，五中孫老師上了一節精彩的釘釘直播課。孫老師以2023年山東省濱州市中考數學試題第8題和第16題為例，研究了一道選擇題的壓軸題和一道填空題的壓軸題，帶給我很多的啟發和思考。

濱州市中考數學試卷有8道選擇題，8填空題，6道解答題，共22題，滿分120分。整個試卷做下來，填空題的最后一題即第16題應該是全卷思維的最高點，反而最后一道22題，難度并不大，而且也不新。將選填題的最后一題或最后幾題加大難度，也是我省其它地市州的常見模式。研究這樣的選填題，很有借鑒作用。

第8題，是一道等邊三角形中的角度計算，參考答案的思路是：作平行線構造新的等邊三角形進行角度轉換，把“以線段AP，BP，CP為邊的三角形”問題轉化到“構造出來的一個新的三角形中”。孫老師還另外研究了“旋轉解法”：由于等邊三角形有“邊”的等量關系，特別適合“旋轉”后構造“全等三角形”或“新的等邊三角形”，從而把分散的條件“集中”，或者把“不好用的條件”變得“好用”。孫老師介紹了“旋轉解法”的多種變式，聯系了“費馬點”的證法，由“旋轉后全等”延伸到“旋轉后相似”，并與教材中各種習題相呼應，說明這樣的中考試題往往“源于教材，高于教材”。幾個變式的聯想和研究，使第8題的作用得到了充分的發揮，孫老師的總結和思考，對九年級教師即將進行的“旋轉”教學是很有幫助的。

第16題，表面上是一個矩形中的計算問題，實際上是等腰三角形中計算問題。一個底邊為定值5的動等腰三角形，被條件“BF=AE，BE=3，AF=1”聯合限定了，于是BF成為了定值。求這個定值，孫老師想了很多辦法，用“形式多變”的“各類全等”，將一道不常見的“邊邊角”問題，轉化為“可以證明的全等問題”，尤其是孫老師還系統地研究了“用邊邊角證全等”的各種情形，介紹了他對“邊邊角”問題的思考，為我們今后解決“邊邊角”問題提供多個解決方案。

第104講研題，從兩道選填題的研究開始，通過深入解析、變式延伸、成因探究，反思討論，落腳到我們日常的教學中，讓所有聆聽直播課的老師都收獲多多！

感謝孫老師的精心準備和深刻思考，感謝張欽博士提供給我們一個思考借鑒的學習平臺！

精彩點評三

認真學習了孫老師2023年山東省濱州市中考數學第8題和第16題的研題，收獲頗多。兩道題都以特殊的圖形為背景，計算角度或線段的長度。

第8題是一道等邊三角形中的角度計算，雖然沒給出圖形，但根據題意容易畫出圖形。孫老師從題干中“以線段AP、BP、CP為邊的三角形”這一條件出發，想辦法通過作平行或旋轉構造新的等邊三角形將分散的條件集中起來，也可以看成任意一條線段繞其端點順時針或逆時針旋轉60°來構造新的等邊三角形，從而將線段AP、BP、CP轉換到一個三角形中，這些解法思路均源于課本例習題，可見教材中的例題習題在我們平時教學中起到一個重要的實例作用。另孫老師由本題的圖形與情景關聯到費馬點問題，進而將本題進行變式拓展，使第8題的作用得到了充分的發揮。反思我平時教學，還需對教學中例習題充分利用研究，讓其發揮余熱，力爭讓學生“解一題、會一類、通一片”，讓學生的能力進一步升華提高。

第16題，是矩形對角線形成的一個等腰三角形中線段長度計算問題。孫老師從條件及問題兩方面分析，通過多種方法構造全等三角形，利用勾股定理計算得到所求線段長度。而構造全等三角形的關鍵是解決一個不常見的“邊邊角”問題，孫老師通過對教材中“邊邊角為什么不能證明全等”問題的深入細致地思考與分析，自然而然地想到將其轉化成全等的圖形，從而出現了本題中的多種解決方法。孫老師對研題及教材研究之深之透值得我學習。

感謝張博士提供這樣一個豐富的學習平臺，感謝孫老師呈現的精彩研題，學無止境，一直在路上。

精彩點評四

聽了孫老師的研題，對幾何探究尤其是全等三角形有了更深刻的認識，收獲很多。首先是第八題，通過等邊三角形這個載體，可以作平行線構造新的等邊三角形或者通過旋轉構造手拉手模型的全等，將原本凌亂的線段轉化到一個新的三角形中解決問題。接著第16題的幾何填空壓軸題，在矩形的背景下研究全等構造。孫老師深挖此題出現的背景：邊邊角模型。對于非直角三角形的邊邊角問題，圖形定下來則全等與否就定了下來了，可以通過構造相應的直角三角形來解決問題。每一個題目孫老師都提供了數10種解法，而且對于每種解法的來龍去脈講解十分到位，并重視探究解法的思想來源以及共同之處，對發散學生的思維很有幫助。在每道例題的最后，孫老師也進行了相應的專題變式，將解決一類問題的思路進一步鞏固。孫老師的幾點建議也非常實用，一是重視教師教學用書，重視課本例題以及習題。二是注重大單元教學，研究知識之間的聯系，構建知識體系。三是關注學生，以生為本，提升學生的素養。總之，在今后的幾何研究中，我也會向孫老師學習，多研多思多做，提升自己的解題能力和教學水平，從而助力學生的成長。

精彩點評五

聽完孫老師的研題分享，頗有收獲。兩道題都與旋轉相關，都可以借助旋轉轉化線段位置，同時保持相等關系，考察學生思維能力，也非常凸顯幾何直觀價值。

我本人前期研題中也對手拉手模型有過研究，但孫老師結合圖形的旋轉，將手拉手模型剖析得更為深刻，如孫老師所說，同一知識點在不同階段，可以有不同的理解方式，前面的階段，教師可以從幾何直觀的角度，對后一階段即將學習的新知識進行滲透，在后一階段學習過程中，關聯前一階段的學習經驗，拓寬思維廣度。

第8題的解題思想都是利用等邊三角形或旋轉來轉化線段位置，但旋轉應旋轉哪個圖形？繞著哪個點旋轉？一次旋轉達到什么樣的目的才能有效解決問題？從孫老師的解法來看，旋轉的對象有多種選擇，旋轉中心有多種旋轉，旋轉方向也可以有多個旋轉，而進一步觀察我們可以發現，其實就是在全等章節中接觸過的手拉手模型。但事實上，學生反復接觸的手拉手模型也可能成為解題的攔路虎，根本原因也許就在于教師對于例題的剖析、拓寬不夠充分。

第16題孫老師也提供了豐富的解題方法，多種方法對比，其中都有一種對稱的思想，因此當問題中出現了不對稱的因素，又需要我們得出對稱的結論時，我們往往采用一種類似于截長補短的思想，去構造出對稱的元素。教學中我們也應重視同類解題思想的歸類，讓學生在練習中發現規律，融會貫通。

非常感謝孫老師精彩的分享，相信有張欽博士提供的平臺，我們宜昌市數學教師團隊，群策群力，一定能走得更遠。

精彩點評六

學習了孫老師2023年山東省濱州市中考數學第8題和第16題的研題，對孫老師的研究深感佩服。孫老師對二道題與書中例題、習題的原型對比，展示了實體來源于課本中最基本的問題的變式，研題過程對課本中例題習題中擠出知識、基本技能、基本思想方法的應用作了詮釋。我們在教學中能認識到這些，對例題和習題精打細磨，強化核心素養，學生對知識的掌握、方法提升、思想領悟都大有裨益。

孫老師的研題過程，就像一個縱橫捭闔的將軍，研題過程中對例題習題關聯，對第8題通過作平行或旋轉構造新的等邊三角形將分散的條件集中，又由本題的圖形與情景關聯到費馬點問題，進而將本題從不同角度進行變式拓展，對新課改下的大單元整體設計教學有很好的啟發。

個人感言

解題能力是數學老師的一個專業制高點，研究解題是專業攀登的一座發展里程碑。對數學老師而言，解題活動是不同于常人的，不僅要自己知道“怎樣解題”，更為重要的是指導學生“學會解題”。數學老師與學生的思維、知識儲備、技能方法、數學活動經驗、觀題視角等方面差別巨大，所以解題不能滿足于“解出”，更要思考“探源”、“溯流”等一系列問題。簡單來說，解題是解決“是什么”，而教學生解題還要解決“為什么”。所以研題的重要性不言而喻。

本次研題活動，我選的是2023年濱州市中考數學第8題、第16題。選題階段，做了今年大量中考的選填題，最終選定了這兩道初看很常規、再看有新意的試題。第8題屬于“三線碰頭”問題，題中的P點是在三角形的邊上，將P點一般化放在三角形的內部，我第一時間想到了三角形的費馬點問題。費馬點問題的解決給的啟示是：三線碰頭思旋轉，于是本題基于“旋轉”批量產生了眾多解法。研第8題的過程中再讀教材教參和2022版課程標準，又有了新的體會。解法1和解法2均源于人教版教材八上13.3.2等邊三角形的例、習題，利用等邊三角形的性質轉移邊角是我在之前的教學中所忽略的，現在想來著實汗顏。解法3-解法6本質是通過旋轉轉移邊角位置，也可以理解為利用等邊三角形三邊相等的性質構造全等三角形從而轉移線段，我在研題中也有闡述，解法幾乎全部源自課本習題。第16題本質是理解“邊邊角”為何不能證明三角形全等，源自人教版課本八上12.2第39頁的思考題。通過本次研題，厘清“邊邊角”不能證全等的實質及其應用，在本學期的教學中，講這一節課時感到格外清晰，學生理解起來、運用起來也有如神助，深感研題之重要。而這僅僅是書上的一兩道思考題和三五道例習題，整個初中階段的六本教材六本教參和一本課標，還有多少這樣的細枝末節等待著我去探究、去發現，體會到這樣的“探究”、“發現”的重要性，讓我越來越感到學習的必要性、重要性和緊迫性。

以前的我不重視課程標準，甚至有時連教參也未精讀細讀，只想多做幾個題，多刷幾套卷，認為課標無足輕重。本次研題恰逢暑假，就靜下心來讀了讀課標，收獲頗豐。如2022版課程標準第85頁在教學建議篇寫到：整體把握教學內容要注重教學內容的結構化、注重教學內容與核心素養的關聯。這不就是前兩年提出的“結構化教學”嗎？確實啊，學生學習到的知識與技能、思想與方法，如果沒有形成網絡、沒有構建體系、沒有筑成結構，就會是零散點狀分布的，碰到問題時就無法產生知識、方法上的聯結，就會有一聽就懂、一做就錯的學習感覺。一部分原因還是沒有從整體上來把握教學。所以今后對課標的學習，對教參教材的研讀，還要繼續，還要加深。

這次研題，也翻閱了很多雜志和數學教學相關的書籍，有張鶴最新發表在中國數學教育的文章《思維是可以教的》，有劉霞老師發表在初中數學教與學的文章《與“費馬點”相關問題的處理策略》，還有黃偉建老師寫的書《教數學，在路上》等等。甚至從抖音、b站等網絡平臺上也學習了很多高手對相關問題的高見，發現其實想研究、想學習，門路還是蠻多的，還是自己不夠勤奮不夠用心。言及于此不由得想起一段話：業精于勤，荒于嬉；行成于思，毀于隨。看來今后還得更加努力。

當然，最為重要的是感謝張欽博士搭建的研題平臺，促進我多思考多研題，感謝黃毅老師對我提的寶貴意見，感謝五中數學組的老師，特別是程雪瓊老師對我的幫助。感謝陳仁蓉老師、是海松老師、曹榮老師、鄒正陽老師、朱丹花老師、陳麗君老師的精彩點評，讓我受益匪淺。本次研題活動雖然告一段落，但新的征程已然開啟，路漫漫其修遠兮，吾將上下而求索。

孫園園老師簡介

孫園園，男，31歲，宜昌市初中數學工作室成員，宜昌市第五中學數學老師。自2014年畢業于華中師范大學數學與應用數學專業以來，一直耕耘在中學數學教學一線。立志于通過數學教學，讓不聰明的孩子變聰明，讓聰明的孩子更聰明。