女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

眾所周知，在自然界中，螺旋以其頻繁的出現和眾多的變化，激發了許多世紀以來的建筑形式。希臘人將對數螺線用于愛奧尼克螺線；許多代建筑師發展了幾何構造來近似螺線的曲線。螺旋主題的一個發展是扇形圖案，在這種圖案中，螺旋段圍繞圓心平移。相反扇形圖案的疊加導致了玫瑰花結。容易建造的圓形玫瑰花結是一種古老而美麗的路面圖案，可以變化為許多其他動機奠定基礎。

介紹

到目前為止，我們對自然環境中螺旋的出現已經進行了很好的研究和分類，這是我們大多數人所熟悉的。動物世界中的螺旋形生長模式見于鸚鵡螺殼、蝸牛殼和羊角；在植物界，我們可以在向日葵、松果和菠蘿中找到它們。自然螺旋可能與螺旋星云一樣大，也可能與人耳中耳蝸的螺旋結構一樣小(圖1)。1幾個世紀以來，建筑師已經將來自大自然的螺旋圖案，以及受螺旋啟發的圖案(如果不是由螺旋實際構建而成)融入到建筑環境中。本文將討論在建筑中螺旋是如何被用來表達結構和空間的概念的。

圖1 內耳耳蝸的螺旋結構，包含聽覺神經末梢。

愛奧尼克式渦卷

希臘建筑師設計了三種建筑形式：多立克式、愛奧尼克式和科林斯式；羅馬建筑師采用了希臘建筑形式，并創造了自己的兩種建筑形式：托斯卡納式和復合式。建筑的 "秩序 "是由所使用的柱子的風格以及與柱子搭配的細節來定義的。建筑裝飾中對數螺旋的原型可能就出現在希臘建筑愛奧尼克式的柱頭渦卷上（圖 2）。

圖2 愛奧尼克柱頭及其組成部分:a)算盤;b)墊子;c)海膽;d)蝸殼;e)眼睛。

關于建筑秩序的起源，有一種觀點認為，秩序中的各個元素不僅是為了實現結構功能，也是為了以某種方式表達這種功能。先考慮一下作為承重構件的柱子。柱子的形狀表明，它被傳遞到基座的重量壓緊了：直徑不是一個均勻的圓柱體，而是向柱子的下半部分增大，產生一種被稱為 "entasis "的輕微變形。愛奧尼克柱頭的渦形結構也能以類似的方式表達壓縮力：在這種情況下，算盤下方的構件被迫形成一條向下的曲線。讀者可能對埃及建筑中的玫瑰花結柱頭并不陌生。為了直觀地理解渦形的起源，不妨想象一下玫瑰花結受到擠壓的結果，即花瓣在必須承受的重壓下被迫向下卷曲。

關于愛奧尼克式渦旋結構及其構造的首次描述，要歸功于一位羅馬建筑師和理論家，他就是維特魯威（Vitruvius）的《建筑十書》（Ten Books on Architecture）。由于缺乏插圖，維特魯威的描述很難解釋，而在文藝復興時期重新發現古典建筑之后，各種建造渦旋結構的公式相繼問世，所有這些公式都聲稱是以其羅馬前輩的公式為基礎。在此不一一列舉所有倡導各種方法的人，其中最重要的包括 15 世紀的萊昂·巴蒂斯塔·阿爾貝蒂（Leon Battista Alberti），16世紀的安德烈亞·帕拉迪奧（Andrea Palladio）、塞巴斯蒂亞諾·塞爾里奧（Sebastiano Serlio）和賈科莫·維格諾拉（Giacomo Vignola），以及18世紀的威廉·錢伯斯（William Chambers）和詹姆斯·吉布斯（James Gibbs）。為本研究之目的，我選擇了班尼斯特·弗萊徹的權威性歷史建筑調查報告中提出的方法（圖 3）。這種方法主要是建造形成渦形的對數螺旋。第二步，在渦卷的第一條螺旋線上添加第二條螺旋線，形成渦卷的圓角或厚度3。

該程序包括建立與柱直徑相關的構造模塊。蝸殼眼的尺寸與模數成比例確定。這里討論的方法將眼睛確定為模塊的1/9，或者具有30個部分的模塊的3-1/3部分。畫出等于1/2模數的垂直線A-B。通過繪制與模塊中心同心的眼睛(圖3中的B點)來進行構造。眼睛的直徑被分成4個相等的長度(C-1、1-B、B-4和4-D)；1-B和B-4被分成三等份。三個正方形的邊分別是1-4、5-8和9-12。從圓規點1處開始，半徑等于1-A，繪制一條弧到點E。在E處，圓規點移動到點2，半徑為2- E的弧被繪制到點f。繼續以這種方式進行構造，在每個90°交叉點處改變圓規位置和半徑，直到最后，圓規在點12處，半徑為O-12，螺旋在蝸殼的眼睛上閉合。

圖3 蝸殼建筑，在高曼之后。蝸殼的構造基于所選擇的模塊，該模塊與柱的直徑相關。施工準備如下：畫一條等于1/2模數的豎線AB。以B為圓心，畫一個直徑為1/9模數的圓：這是蝸殼的眼睛。將眼睛的垂直直徑分成4等份(C1，1B，B4，4D。)進一步將1B和B4細分為三分之一(1-5，5-9，9-B，B-12，12-8，8-4。)在1-4，5-8，9-12上構造正方形。為了構建蝸殼的實際螺旋，三個正方形的頂點1到12按照它們的數字順序用作形成蝸殼的弧的中心..第一個圓弧，圓心在A，半徑等于1-A，從A到E；第二個，它的中心在2，半徑等于2-F，從E到F。一個繼續以同樣的方式通過所有剩余的中心。最后一個弧，圓心在12，半徑等于12-O，在眼睛c處閉合。

扇形圖案和玫瑰花結

對蝸殼中對數螺線的介紹將我們帶到了我的特殊研究領域，即意大利建筑史中鋪裝設計的變化性質。4鋪裝通常被視為一種次要的裝飾藝術，但在任何特定的時代，鋪裝往往會給數學和空間設計的概念帶來新的啟示。考慮到地面是建筑作品中最大的不間斷平面：實際上，它可以成為一種畫布，在上面表達與建筑有關的想法。以螺旋為基礎的設計構成了路面設計的一個子群，我發現它特別有趣。

龐貝的馬賽克路面展示了一系列的圖案，這些圖案似乎暗示了螺旋圖案在創造新的鋪路圖案中的應用。一種模式基于圍繞圓心旋轉的類似曲線，形成扇形圖案(圖4)。5這種圖案的一個例子是在意大利法恩扎的Aula del palatium的馬賽克路面上發現的(圖5)。

圖4 扇形圖案

圖5意大利法恩扎宮殿的馬賽克路面上的扇形圖案。

扇形圖案的下一步是將曲線的方向反轉，然后將新的曲線疊加到第一組曲線上。這樣就產生了一組曲線區域，用兩種顏色渲染后，就形成了由同心帶狀的曲線三角形組成的圖案（圖 6）。6 因為阿爾布雷希特·丟勒將這種圓形圖案稱為 "玫瑰花結"7 ，所以我就用這個名字來稱呼這一類相關的圖案。羅馬人在龐貝發掘時發現的路面上也有這樣的圖案，其年代為公元前一世紀（圖 7）8。

圖6玫瑰花結圖案

圖7 龐貝玫瑰花結人行道板

在文藝復興時期，玫瑰花結似乎受到了特別的青睞。在佛羅倫薩，人們在大教堂的人行道上發現了一種玫瑰花結圖案，而圣皮里托教堂的圣器室則完全被玫瑰花結圖案覆蓋。在16世紀，米開朗基羅被認為設計了兩條帶有玫瑰花結圖案的人行道，一條是佛羅倫薩圣洛倫索的勞倫森圖書館，另一條是羅馬著名的坎皮多利奧或國會大廈。11文藝復興時期的建筑理論特別重視中央規劃的教堂，將空間的中心點與宇宙的創造者等同起來。這種對中心的強調可以解釋為什么在路面設計中經常使用玫瑰花結。作為一個對其中心有強烈視覺參考的主題，它以一種清晰的方式向穿過空間的觀察者傳達了建筑中這一點的重要性。

對數和圓形玫瑰花結

英國心理學家 J. 弗雷澤（J. Frazer）創造了一個巧妙的視覺設計，并轉載于拉爾夫-埃文斯（Ralph Evans）的《色彩導論》（Introduction to Color）一書中，該設計以一種引人注目的方式說明了玫瑰花結圖案與螺旋線之間的關系12。但是，請讀者注意，必須指出的是，雖然基本的玫瑰花結圖案很容易辨認，但并不是所有的玫瑰花結都是以同樣的方式構成的，也就是說，只有部分玫瑰花結是以真正的對數螺旋構成的。其他的則采用簡易方法，這種方法看起來像是由螺旋曲線構成的，但其優點是建造速度更快。16世紀的建筑師和理論家塞巴斯蒂亞諾·塞爾利奧坦率地承認，建筑的美學效果取決于工人的運氣，他們的運氣超過了他們的技術，他感嘆很難向不學無術的工人解釋復雜的構造。也許正是出于這個原因，一種建造古老而又屢試不爽的玫瑰花結設計的捷徑才廣受歡迎。這種捷徑方法的基礎是一組簡單的圓形結構，我們將在下文中詳細介紹。但首先，如何區分對數玫瑰花環和圓形玫瑰花環呢？答案就在于重疊曲線所形成的間隙的比例。如果間隙越遠離設計中心越大，但比例卻保持不變，那么玫瑰花結形就是真正的對數螺旋。圓形玫瑰花環的間距會根據其在圖案中的位置而改變大小和形狀。現在比較一下龐貝的玫瑰花環（圖 7）和佛羅倫薩洗禮堂的玫瑰花環（圖 8），雖然它們的著色方式相同，但曲線三角形的構造卻明顯不同。

圖8 佛羅倫薩洗禮堂的玫瑰花結嵌板。

Construction of the circular rosette

The construction begins with the establishment of a “reference circle” to define the outer limit of the rosette. Next, the reference circle is divided into a number of segments by radial lines passing through the center; the greater the number of radials, the denser the rosette. In the next step, a “centrum ring” is determined, a circle concentric with the reference circle. Finally, the “radial circles” are drawn, one for each radial, the center of which lies at the intersection of the centrum ring and the radials (Figure 9). There will be, obviously, as many radial circles as there are radial lines; their overlapping creates the modules of the rosette. Proportions of the modules of the rosette depend upon the relationships between the reference circle and the radial circles. Albrecht Dürer constructed the rosette for a wooden pavement in 1525.13 In his design, the diameter of each of the twelve radial circles, as well as that of the centrum ring, is equal to the radius of the reference circle. Using the same proportions but doubling the number of radial circles produces a denser rosette.

圓形玫瑰花結的構造

構建從建立“參考圓”開始，以定義玫瑰花結的外部界限。接下來，參考圓被穿過中心的徑向線分成若干段；輻射線的數量越多，玫瑰花結越密。下一步，確定“中心圓”，即與參考圓同心的圓。最后，畫出“徑向圓”，每個徑向一個，其中心位于中心圓和徑向圓的交叉點(圖9)。顯然，有多少徑向線，就會有多少徑向圓；它們的重疊創造了玫瑰花結的模塊。玫瑰花結的模數比例取決于參考圓和徑向圓之間的關系。阿爾布雷特·丟勒在1525年為木制路面建造了玫瑰花結圖案。13在他的設計中，12個徑向圓的直徑，以及中心圓的直徑，等于參考圓的半徑。使用相同的比例，但將徑向圓的數量增加一倍，會產生更密集的玫瑰花結。

圖9. 丟勒提出的玫瑰花結以及玫瑰花結的要素：a) 參考圓；b) 中心圓；c) 徑向圓。

另外三個例子說明了結構元素之間的關系。當徑向圓的周長穿過參考圓的圓心時，圓心處就會形成一個花朵狀。當徑向圓的直徑大于參考圓的半徑時，就會形成一個空的內圈。例如，在玫瑰花結中，徑向圓的直徑等于參考圓直徑的 6/10，而中心圓的直徑等于參考圓直徑的 4/10。將徑向圓的直徑增大到參考圓直徑的 2/3（將中心圓的直徑減小到參考圓直徑的 1/3），可使中心圓與空內環的圓周重合。徑向圓的圓心直徑與參考圓直徑的比值越大，空內圈的直徑就越大。在最后一個例子中，徑向圓的直徑等于參考圓直徑的 3/4（而圓心圓的直徑等于參考圓直徑的 1/4 ）；此時圓心圓的直徑小于空內圈的直徑。

可以注意到，在所有情況下，圓心環的直徑總是等于參考圓的直徑減去徑向圓的直徑。在分析現有的玫瑰花結以確定其結構時，圓形玫瑰花結結構的這一特性很有幫助。

玫瑰花結設計中的空內環是使其看起來像是由重疊的對數螺旋構成的關鍵之一，因為內環就像是曲線閉合的眼睛。但是，為了讓人充分感受到這一設計是由對數螺旋構成的，必須在看到間隙縮小之前將玫瑰花結切斷。事實上，在我所研究的幾乎所有路面設計中，都是這樣處理玫瑰花結的。讀者會注意到，在圓形玫瑰花結中，徑向圓重疊產生的間隙會隨著從中心向外移動而增大，直到某個極限（如前所述，間隙的比例一直在變化）。此時，當它們接近參考圓的圓周時，大小開始減小。在真正的對數玫瑰花結中，間隔的大小并沒有減小，而是不斷增大。

玫瑰花結的銜接

玫瑰花結的一個特性使其成為一種有價值的圖形裝置，那就是基本的玫瑰花結可以通過顏色的使用而產生不同的圖案。圖案中最簡單的色彩運用是將兩種顏色交替涂抹在間隙處，形成一種螺旋狀的棋盤圖案。埃皮達魯斯（Epidaurus）托洛斯（Tholos）的路面就是這樣描繪的。最常見的處理方法可能是使用兩種顏色，一種用于每個間隔的下半部分，另一種用于上半部分。這在羅馬馬賽克路面和佛羅倫薩洗禮堂中都有發現。佛羅倫薩大教堂的馬賽克鋪板采用了更復雜的色彩處理方法，三個間隔的連續組形成條帶，條帶交織在一起，形成編織圖案。然后通過添加陰影線增加了設計的深度。米開朗基羅的勞倫森圖書館人行道板與佛羅倫薩大教堂中的編織圖案相似，但分隔圖案間隙的條帶并非由單一的玫瑰花結圖案形成，而是通過添加相同的第二個玫瑰花結圖案，其徑向與基本玫瑰花結圖案的徑向略有偏離。除了施工簡便和可以通過顏色變化之外，圓形玫瑰花結的第三個特點也推薦將其用作鋪路設計，那就是它可以像任何重復的圖案一樣有效地建造。實際的建造過程是這樣的：大理石加工廠的藝術家繪制圖案，并標明需要切割的木模板；用模板在大理石板上劃線；在加工廠切割大理石并進行粗加工，然后運到工地；在工地上像拼圖一樣拼接大理石塊，然后用砂漿鑲嵌，最后進行精細拋光。通過觀察佛羅倫薩洗禮堂嵌板上的圓形圖案，我們可以數出共有 409 塊大理石組成了嵌板。對佛羅倫薩大教堂中的籃形編織壁板進行研究后發現，其制作效率較低，拼塊數量略少，為 396 塊，但形狀數量較多，為 25 個（圖 10）。玫瑰花結設計的另一個特點是，除了產生尺寸增大和減小的間隙外，它還產生了一組組點，這些點可以連接成一系列直徑越來越大的同心圓。在圓形玫瑰花結中，圓的直徑只增加到一定限度，然后再減小到最外層的圓最終與參考圓重合。這類似于圓形玫瑰花結的間隙先增大后縮小的過程。在對數玫瑰花結中，圓的直徑不斷增大。這些同心圓可以作為創造新設計的比例裝置。其中一個設計將扭曲的方形排列投射到路面上，就像人們仰望一個格子連接的穹頂：三個同心圓從中心向外移動時，彼此間的距離越來越遠（圖 11）。這些圓環的間距與圓形花結的間距相吻合。

圖10 佛羅倫薩圣瑪麗亞教堂人行道上的編織面板。

圖 11 源自玫瑰花結的 "拱形 "設計。

結論

螺旋被用作建筑元素壓縮力的風格化表達，也是一組重要路面設計的基礎。這兩者都是建筑師觀察自然世界的結果，這個世界同樣讓數學家著迷。在蝸殼和玫瑰花結的建造中，這兩個學科結合在一起，創造出的藝術作品至今仍能向我們傳達它們的真理。

參考文獻

1. For more about spirals, cf. Philip J. Davis, Spirals: From Theodorus to Chaos (Wellesley, Massachusetts: A.K. Peters, 1993); Theodore Cook, The Curves of Life (1914, reprinted New York: Dover Publications, 1986).

2. The spiral volute is found also in the Greek Corinthian order, and in the Roman Composite order. For descriptions of all the orders, cf. Robert Chitham, The Classical Orders of Architecture (New York: Rizzoli, 1985).

3. Cf. Bannister Fletcher, A History of Architecture on the Comparative Method, 12th ed. (New York: Charles Scribner’s Sons, 1945), p. 100, fig. Q.

4. Cf. Kim Williams, Italian Pavements: Patterns in Space (Houston: Anchorage Press, 1998).

5. Cf. Asher Ovadiah, Geometric and Floral Patterns in Ancient Mosaics (Rome: L’Erma di Bretschneider, 1980), p.153.

6. Cf. Asher Ovadiah, op. cit., p. 144.

7. Cf. Albrecht Dürer, The Painter’s Manual. Walter L. Strauss, trans. (New York: Abaris, 1977), p. 153 and fig. 21.

8. This pavement panel is now on display in the National Museum, Rome.

9. Cf. Cyril Harris, ed., Historic Architecture Sourcebook, 1977, reprinted as An Illustrated Dictionary of Historic Architecture, (New York: Dover Publications, 1983), illustration under heading “Tholos,” p. 531.

10. The pavement of the Baptistery of Florence is interesting as a geometric study in itself. Cf. Kim Williams, “The Sacred Cut Revisited: The Pavement of the Baptistery of San Giovanni, Florence” in Mathematical Intelligencer, Vol. 16, no. 2 (Spring 1994), pp. 18-24.

11. The rosette of this last is framed by an ellipse rather than a circle.

12. This figure appears in Harold Jacobs, Mathematics, A Human Endeavor, 2nd ed., (New York: John Wiley and Sons, 1980), p. 351.

13. See note 7.

14. For more about this pavement, cfr. Ben Nicholson and Jay Kappraff, “The Hidden Pavement Designs of the Laurentian Library” in Nexus II: Architecture and Mathematics, Kim Williams, ed. (Fucecchio, Florence: Edizioni dell’Erba, 1998), pp. 87-98.

15. I count the star-shaped piece in the center as one piece and one shape.

16. Kim Williams, Spirals and Rosettes in Architectural Ornament

最后放幾本扯犢子書目

青山不改，綠水長流，在下告退。

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