巧用中線倍長

2024年海淀區九年級數學第27題

本題是2024年北京市海淀區九年級期末數學第27題，幾何綜合題，主要考察學生識別、分析題目幾何情境中的基本圖形，通過畫圖觀察、分析圖形運動變化的過程，猜想并探索其中的不變關系，題目圖形取材于課本習題，也是學生平時練習中的常見題型，但條件與結論間的邏輯關系進行了調整，巧妙建構了各元素間新的關聯，突破舊的解題思維，是道不可多得的優秀試題。

題目

如圖，在△ABC中，AB=AC，點D，E分別在邊AC，BC上，連接DE，∠EDC=∠B.

(1)求證：ED=EC；

(2)連接BD，點F為BD的中點，連接AF，EF.

①依題意補全圖形；

②若AF⊥EF，求∠BAC的大小.

解析：

0 1

(1)非常簡單，由AB=AC得∠ABC=∠C，而∠EDC=∠B，則∠EDC=∠C，故ED=EC；

0 2

(2)①補全圖形如下：

②題目中唯一知道的角度是由AF⊥EF得90°角，因此猜測此題∠BAC=90°，這是我們找思路的方向。

方法一：中線倍長法

由點F是BD中點，不妨將EF加倍延長，可構造出全等三角形，如下圖：

第一對全等非常好證，△GBF≌△EDF，得BG=ED，由第1小問ED=EC，得到BG=CE；

仍然由△GBF≌△EDF，得點F是EG中點，再加上AF⊥EF，即AF是EG的垂直平分線，于是AG=AE，最后加上AB=AC，得△ABG≌△ACE，所以∠ABG=∠C，并進一步得到∠ABG=∠C=∠ABC，即∠GBC=2∠ABC，依然由△GBF≌△EDF，得∠GBF=∠EDF，于是BG∥ED，所以∠GBC=∠DEC，現在我們得到了∠DEC=2∠C，則在△EDC中，設∠C=x，則∠CDE=x，∠EDC=2x，列方程x+x+2x=180°，求出x=45°，所以∠BAC=90°.

方法二：還是中線倍長法，嚴格講也屬于方法一，如下圖：

延長AF至點G，使得FG=AF，連接DG，AE，EG，第一對全等三角形是△ABF≌△GDF，得到AB=GD，∠ABF=∠GDF，AF=GF，于是可證AB∥DG，點F是AG中點，再由AF⊥EF得EF是線段AG的垂直平分線，于是AE=GE，根據題目中的AB=AC，前面證過的AB=GD得AC=GD，加上CE=DE，AE=GE，得第二對全等三角形，△ACE≌△GDE，所以∠C=∠GDE，即∠GDC=2∠C，而AB∥DG，則∠BAC=∠GDC=2∠C，接下來和方法一相同，得到∠BAC=90°；

解題反思

我們將這道題的條件稍作調整，將△ABC改為等腰直角三角形，求證AF⊥EF，難度立馬降低不少，如下圖：

在等腰Rt△ABC中，α+β=45°，∠EDC=∠B保證了∠DEC=90°，于是在Rt△ABD和Rt△BDE中，AF=EF=1/2BD，從而利用三角形外角定理得到∠AFD=2α，∠EFD=2β，于是∠AFE=90°；

本題抽掉了∠BAC=90°這個條件，而是把它作為結論，由AF⊥EF反向推導，所以學生在面對它時，沒有了直角條件，所以上述過程中的一系列與直角有關的定理都無法順利得到，包括45°角，135°角，斜邊上的中線等于斜邊的一半等。

用這道題來檢驗學生證明是否有條理也很有效，基本上在一開始就得到了45°角的證明，大概率是偽證。

這也提供了一種命題思路，將教材上的習題條件與結論互換，增加或減掉部分條件，再看結論是否能夠得到。整個題干部分敘述起來也清晰明了，圖形也不會出現繁多線條，更符合數學命題的簡潔特點。