巧用中線倍長

2024年海淀區(qū)九年級數(shù)學(xué)第27題

本題是2024年北京市海淀區(qū)九年級期末數(shù)學(xué)第27題，幾何綜合題，主要考察學(xué)生識(shí)別、分析題目幾何情境中的基本圖形，通過畫圖觀察、分析圖形運(yùn)動(dòng)變化的過程，猜想并探索其中的不變關(guān)系，題目圖形取材于課本習(xí)題，也是學(xué)生平時(shí)練習(xí)中的常見題型，但條件與結(jié)論間的邏輯關(guān)系進(jìn)行了調(diào)整，巧妙建構(gòu)了各元素間新的關(guān)聯(lián)，突破舊的解題思維，是道不可多得的優(yōu)秀試題。

題目

如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D，E分別在邊AC，BC上，連接DE，∠EDC=∠B.

(1)求證：ED=EC；

(2)連接BD，點(diǎn)F為BD的中點(diǎn)，連接AF，EF.

①依題意補(bǔ)全圖形；

②若AF⊥EF，求∠BAC的大小.

解析：

0 1

(1)非常簡單，由AB=AC得∠ABC=∠C，而∠EDC=∠B，則∠EDC=∠C，故ED=EC；

0 2

(2)①補(bǔ)全圖形如下：

②題目中唯一知道的角度是由AF⊥EF得90°角，因此猜測此題∠BAC=90°，這是我們找思路的方向。

方法一：中線倍長法

由點(diǎn)F是BD中點(diǎn)，不妨將EF加倍延長，可構(gòu)造出全等三角形，如下圖：

第一對全等非常好證，△GBF≌△EDF，得BG=ED，由第1小問ED=EC，得到BG=CE；

仍然由△GBF≌△EDF，得點(diǎn)F是EG中點(diǎn)，再加上AF⊥EF，即AF是EG的垂直平分線，于是AG=AE，最后加上AB=AC，得△ABG≌△ACE，所以∠ABG=∠C，并進(jìn)一步得到∠ABG=∠C=∠ABC，即∠GBC=2∠ABC，依然由△GBF≌△EDF，得∠GBF=∠EDF，于是BG∥ED，所以∠GBC=∠DEC，現(xiàn)在我們得到了∠DEC=2∠C，則在△EDC中，設(shè)∠C=x，則∠CDE=x，∠EDC=2x，列方程x+x+2x=180°，求出x=45°，所以∠BAC=90°.

方法二：還是中線倍長法，嚴(yán)格講也屬于方法一，如下圖：

延長AF至點(diǎn)G，使得FG=AF，連接DG，AE，EG，第一對全等三角形是△ABF≌△GDF，得到AB=GD，∠ABF=∠GDF，AF=GF，于是可證AB∥DG，點(diǎn)F是AG中點(diǎn)，再由AF⊥EF得EF是線段AG的垂直平分線，于是AE=GE，根據(jù)題目中的AB=AC，前面證過的AB=GD得AC=GD，加上CE=DE，AE=GE，得第二對全等三角形，△ACE≌△GDE，所以∠C=∠GDE，即∠GDC=2∠C，而AB∥DG，則∠BAC=∠GDC=2∠C，接下來和方法一相同，得到∠BAC=90°；

解題反思

我們將這道題的條件稍作調(diào)整，將△ABC改為等腰直角三角形，求證AF⊥EF，難度立馬降低不少，如下圖：

在等腰Rt△ABC中，α+β=45°，∠EDC=∠B保證了∠DEC=90°，于是在Rt△ABD和Rt△BDE中，AF=EF=1/2BD，從而利用三角形外角定理得到∠AFD=2α，∠EFD=2β，于是∠AFE=90°；

本題抽掉了∠BAC=90°這個(gè)條件，而是把它作為結(jié)論，由AF⊥EF反向推導(dǎo)，所以學(xué)生在面對它時(shí)，沒有了直角條件，所以上述過程中的一系列與直角有關(guān)的定理都無法順利得到，包括45°角，135°角，斜邊上的中線等于斜邊的一半等。

用這道題來檢驗(yàn)學(xué)生證明是否有條理也很有效，基本上在一開始就得到了45°角的證明，大概率是偽證。

這也提供了一種命題思路，將教材上的習(xí)題條件與結(jié)論互換，增加或減掉部分條件，再看結(jié)論是否能夠得到。整個(gè)題干部分?jǐn)⑹銎饋硪睬逦髁耍瑘D形也不會(huì)出現(xiàn)繁多線條，更符合數(shù)學(xué)命題的簡潔特點(diǎn)。