一題一課話作圖

宜昌市張欽博士“生動課堂”示范課

2024年4月26日上午，在宜昌市第十六中學錄播教室，由宜昌市教科院初中數學教研員張欽博士給全市數學老師帶來了一節“生動課堂”示范課《中考數學二輪復習之一題一課：幾何綜合問題——如何畫圖》，這個話題在張欽博士工作室壓軸題研題活動中屢次被提及，圍繞如何教會學生作圖，并進一步作好圖，從而更高效地研究數學問題，是初中數學教學中的重要課題。

在前2分鐘時間，張博士開宗明義，站在整個初中幾何學習的高度，闡述了三大變換，并確定了研究幾何變換和幾何性質間的關系，盡管我們在紙上作圖是靜態圖形，但頭腦中卻需要讓這些圖形動起來，這意味著本節課所要研究的問題，正是中考壓軸題最常見的幾何動態問題，順便點明課題，如何畫圖。

其實這近3分鐘的內容，可以認為是給學生講初中幾何變換和幾何性質的關系，更大程度上是講給聽課老師們，也可稱之為“聽課指南”。

本節課所要研究的數學題如下：

試題來源是2022年浙江省紹興市中考數學第24題，也是最后一道壓軸題，通常情況下選擇幾何綜合作為壓軸題的地市，幾何命題質量非常高，可供挖掘的東西也非常多，正如課堂上張博士所講，雖然看上去是軸對稱變換，但實際上也包含旋轉變換、相似等。

給學生審題時間，然后第1小題很快便解決了，簡單講了正確結論及方法，轉到第2小題。

有一名男生的思路非常快，我留意到他在上臺作圖時，使用了規范的尺規作圖，而不是估計作圖，并且描述解題過程時，思路非常清晰，如下圖：

這個學生優秀之處在于，他已經通過思考，發現了此時的點E在邊CD上，并且作圖順序是先找到點N，再去畫點E，這和普通學生的作圖并不相同，如果是先把點E在圖上描出來，再去作點E的對稱點，由于事先并不清楚點N的具體位置，很有可能出現較大的誤差，所以作圖前先進行了推演，用他的話講“由于點N與點D是關于BE對稱的，所以BD=BN，前面已經計算出BD=10，而BC長度只有8，所以點N落在BC延長線上，必定在C右側2個單位處”，非常精彩！正好印證了幾何變換與幾何性質的關系。

并在這個環節中，讓學生明白作圖時，如果點的位置不好確定，那么可以先畫容易確定的點，再由幾何性質去推導剩下的點的位置并作圖。

學生講解求DE的過程，很順暢，雖然途中有口誤，但解答結果正確，只是個人認為，解法簡潔程度上還可以優化，如下圖：

仍然由該學生所得△ACE∽△DCN出發，tan∠CBE=tan∠CDN=1/3，求出CE=8/3，所以DE=6-8/3=10/3；

不過另一位女生也提出了新的方法，即利用角平分線上的點到角兩邊距離相等，作垂線，如下圖：

然后在△DEF中用勾股定理列方程來求DE，也是不錯的思路。

當然還有更多方法，例如連接EN利用勾股定理，但無論哪一種，角平分線也好，垂直平分線也好，都是軸對稱圖形，利用了軸對稱的性質，再一次點題。

在這一小題的解法中，第一位男生給出的解法是證明△ABD≌△MBN，后面張博士點評很到位，其實這兩個三角形本身也是關于BE軸對稱的，此時如果用軸對稱效果會更好，更進一步，∠ABN和∠MBD這兩個角也是關于BE軸對稱的，則∠ABN=∠MBD=90°，最后得到∠MBD+∠BMN=180°，于是BD∥MN。

第3小題，作圖非常重要，在張博士引導下，學生很快發現，只要將第2小題的圖中點E向上“抬一點”，就可以讓MN經過點C，然后就是學生自行嘗試作圖，我身邊的小組內，有不少成功找到了能讓MN經過點C的位置，盡管是草圖不精確。

課堂上張博士專門解釋了草圖的作用，黑板上也示范了畫草圖，作為聽課者，我也認為，作草圖，實際上對學生的作圖思維有極大幫助，本小題中的點E確實可以通過嘗試得到，最終作出的圖大致符合MN過點C，在這個過程中，學生會自然尋求更精確的方法，有的學生將原先不太精確的擦掉，將點E再次上移，得到更精確的圖，甚至還有學生重復了兩次，在學生筆下，圖是靜態的，然而此時學生的頭腦中，圖已經動了。

當點E在CD邊上的時候，結果已經出來一種了，如下圖：

有一名女生思路講得很好，說明課堂進行到這個時候，學生基本沒有遇到什么障礙。

接下來拋出的問題，才是整堂課最精彩之處，是否只有一個E點位置滿足“直線MN經過點C”？

從現場學生反應來看，多數學生立刻明白，當點E在AD邊上時，應該還有一處位置能使MN經過點C，但繼續追問，當點E在CD邊上時，是否只有剛才畫出的點E滿足條件呢？

有了剛才的作圖經驗，圖形在學生頭腦中動起來，便可以描述出結果了，這從學生現場描述語言可以看出來，剩下一處應該是當點E在AD邊上。

在這個環節，鼓勵學生動手作圖，學案上為學生準備了多個備用圖，就是提供了作圖的情景，在這個情景中，學生通過作草圖，作靜態的草圖，從而讓整個圖形在大腦中動起來，實現由靜到動的過程。

同時這個過程也極考驗教師的耐性，我們在很多所謂“高效”課堂上，為了節省時間，教師用幾何畫板代替了學生作圖，方便快捷地用動畫直接告訴學生，這對于培養學生幾何構圖能力是極大的傷害，這個時候，不能怕拖進度，并且在學生作圖時，要巡視到位，盡可能到每一位學生身邊，看下他們作圖的過程，收集足夠的課堂信息。

當學生在AD邊上尋找適合的點E位置時，有一部分發現了MN會經過點E，于是順勢在課堂上提問，為什么會經過點E？

其實根據題目條件，AD與MN關于直線BE對稱，由軸對稱性質，它們的交點一定在對稱軸上，故MN必經過點E，這就引導學生完成了必然性探究。并在這個時機，引出了反演原則。

至此，解出本小題的結果已經水到渠成，不再贅述。然而本節課的高潮，正借此展開。

學生此時也一定有所感悟，滿足條件的點E位置是確定的，也是一定能夠精確畫出來的，那么剛才的草圖，顯然是不夠的，本著“知其然更要知其所以然”的探究思想，繼續在本題之后研究如何精確畫出點E，并借此向學生展現反演原則的大幕，讓這節課在思想上更深一層，達到普通課堂所不能企及的高度。

這個班的學生精神狀態非常好，并沒有一般班級里，得到答案之后便急著去完成下一道題（雖然學案上也有），而是靜靜地思考張博士提出的為什么，這十分難能可貴，班級原數學老師培養的探究習慣此時便展現了出來。

由于對稱性，AB=BM，因此點M一定在以A為圓心，AB為半徑的定圓上，而我們兩次探究出的點E位置下，∠BMN=90°，且這個直角所對的是定長線段BC，所以聯想到以BC為直徑的圓，兩圓分別有兩個交點，恰好是點M兩種位置，如下圖：

這就讓學生意識到，原來我們是可以精確地作出點E位置的，并且是先找到點M，再找點E，至此解決了點E的確定性問題，比起解答原題，更進了一步，然而還沒有完，繼續升華中……

張博士以化妝鏡為例，生動演繹了關系映射反演原則，對于那些已經對數學產生興趣的學生，無疑是打開了一扇新大門，門后的精彩呼之欲出，雖然現在只是一條門縫，也足以讓這些學生窺到前所未見的境界，埋下一顆探究的種子。

這個時候，這節課所呈現的，已經不僅僅是解題，也不僅僅是復習課教學，而是提升到了一個新的高度，普通一線教師難以達到的高度。

這節課的第一層，教會學生解題，這個任務完成得非常高效，事實上如果學生完成這道題所花費時間并不會很長；第二層，教會學生作圖，這已經比單純解題更進一步了，雖然是作草圖，但作圖之前要先算，胸有成竹，依靠的是平時的大量觀測與思考；第三層，數學思想方法的進化，從解題到教學，升華了整節課。

正如張博士在課堂上所講，題目只不過是個載體，背后的數學思想方法才是學生最大的收獲，用數學去描述世界，用數學去思考世界。

這也給了廣大一線教師更廣泛的思考，一節課，我該怎么上，學生收獲才最大？這節課也只是個引子，后續的精彩篇章，仍將由全體初中數學教師們共同完成。