學透概念，秒殺壓軸

2024年海淀區一模第27題

一次普通的軸對稱變換，一次普通的旋轉變換，能給圖形帶來哪些變化？

答案是無數種。

我們看到了，一個特殊的含30°角的直角三角形，其中一條短直角邊旋轉后再軸對稱，簡單的幾何元素，簡潔的變換，卻讓很多學生思考很久才得到解法。而思考出解法的學生又有相當一部分走了彎路，事實上這道題，看透之后，完全可以秒殺。這里沒有技巧，沒有套路，更沒有模型，只有對幾何概念的深入理解。

題目

在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，將線段AC繞點A順時針旋轉α(0 <α≤60°)得到線段ad，點d關于直線bc的對稱點為e，連接ae，de.<>

(1)如圖1，當α=60°時，用等式表示線段AE與BD的數量關系，并證明；

(2)連接BD，依題意補全圖2，若AE=BD，求α的大小.

解析：

01

(1)秒殺思路：連接BE得等邊△BDE，等腰△ADE且其頂角為120°，由特殊等腰三角形底邊與腰的數量關系得AE=√3AD，即AE=√3BD；

思路詳解：連接BE之后，由于D、E關于BC軸對稱，所以BD=BE，∠DBC=∠EBC=30°，所以∠DBE=60°，于是得到等邊△BDE；

我們知道特殊直角三角形中，AB=2AD，此時點D落在AB上，即為AB中點，由等邊△BDE得DE=BD，然后DE=AD，頂角∠ADE=120°，這個特殊等腰三角形中，底是腰的√3倍，可以用三角函數、特殊直角三角形證明，所以結果由此得來；

02

(2)秒殺思路一：作點A關于BC的對稱點F，連接EF、CF，如下圖：

圖中的△ABD≌△FAE，得∠DAB=∠EFA，而∠DAC與∠EFA關于BC軸對稱，故∠DAC=∠EFA，所以∠DAB=∠DAC=30°，即α=30°；

思路詳解：輔助線作法可得AC=FC，即AF=2AC，而AB=2AC，所以AB=AF，由軸對稱可得AD=FE，題目條件給了AE=BD，由SSS判定△ABD≌△FAE；

由∠DAC與∠EFA關于BC軸對稱得∠DAC=∠EFA，等量代換后得到∠DAB=∠DAC，而∠BAC=60°，所以α=30°；

秒殺思路二：作點A關于BC的對稱點F，連接BE，FE，FB，如下圖：

由于D，E關于BC軸對稱，因此BD=BE，而BD=AE，則BE=AE，又由AF=AB且∠BAC=60°，得等邊△ABF，于是FA=FB，即EF是線段AB的垂直平分線（點E、F到線段AB兩端距離分別相等，故點E、F都在AB的垂直平分線上），由三線合一可知∠BFE=30°，∠BAD與∠BFE也關于BC軸對稱，所以∠BAD=30°，即α=30°；

思路詳解：事實上本法構造出了兩次軸對稱，第一對是△ABD與△FBE，第二對是△FBE與△FAE，即圖中△ABD、△FBE、△FAE互為全等三角形；

解題反思

你憑啥能夠秒殺？

其實第1小題的方法非常多，例如連接CD，CE證明菱形ADEC，但如果能夠掌握特殊三角形的邊長關系，這道題的思考方向就不會錯，無論是走含30°角的直角三角形，等邊三角形，含120°角的等腰三角形，菱形等，都能夠很快找到思路，所以這并不是本題難點。

在第2小題中，旋轉只是小道，軸對稱才是需要深入理解的對象，在證明全等時，AD=FE就是利用軸對稱性質得到的，所以我們在作圖時，需要清楚哪些圖形是軸對稱圖形，不妨來翻下教材：

所以軸對稱的概念中，兩個圖形重合是我們要深入理解的，怎么深入？其實我們在學習全等的時候，同樣也是用“圖形重合”來描述的，所以當兩個圖形是軸對稱關系的時候，全等能干的事，軸對稱同樣能干！

不妨把全等的性質借用到軸對稱上面，兩條線段、兩個角、兩個三角形等，只要它們是軸對稱關系，則重合，則全等，則相等……

題目是解完了，我們繼續探究這道題，點D在以A為圓心，AC為半徑的圓上，其中點E是點D關于直線BC的對稱點，因此點E的軌跡與點D也應具備相同的對稱性，即點E在以點F為圓心，半徑也為AC的圓上，如下圖：

而當AE=BD時，點E在線段AB的垂直平分線上，這條直線與圓F有兩個公共點，那么另一個公共點又是什么情況呢？如下圖：

我們依然可以得到AE=BD，當然，這已經超出了本題的研究范圍，此時的點D旋轉到△ABC外了，旋轉角α=150°+60°=210°；

一點感悟是，這道題解完之后感覺并不算難，方法眾多，基本上在套路之外，如果不是對軸對稱、旋轉有足夠深刻的認知，會走很多彎路，實際上在學生思考這道題的時候，也曾出現過嘗試用某模型而不得要領的結果，對于少數基礎不扎實的學生，在第1小題中出現偽證，把看上去像的結論當作條件。

再次研究這道題，還會發現更多有趣的地方，這三個三角形中，△ABD與△FBE始終是軸對稱，而隨著點D的旋轉，第三個三角形△AFE會和△FBE全等（軸對稱），只有當兩次軸對稱都成型，第2小題的結論就成立了，此時的旋轉角α有兩個結果，在本題條件限制下，得α=30°.