試題研究與改編

菱形背景下的旋轉與軸對稱

臨近中考，在給學生講幾何綜合題的過程中，發現不少優秀的試題，解完練完講完之后，意猶未盡，嘗試深入理解命題者意圖，并結合自已的教學，對題目進行改編，是幾何命題的必經之路。

要達到完全原創一道優秀的幾何綜合題，是很難的一件事，有時自已想了半天的點子，卻發現網上早已有人想到了，所謂再快也有比你更快的，誠不欺我也。

本題原型是2024年朝陽區一模第27題，圖形簡潔，解法眾多，難度中等，在原型基礎上，進行了適當的拓展，限于本人水平，不敢說錦上添花，只要不是畫蛇添足就好。

原題呈現

如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，E是CD上一點（不與C，D重合），將線段AE繞點A逆時針旋轉60°得到線段AF，連接DF，連接BF交AC于點G.

（1）依據題意，補全圖形；

（2）求證：GB=GF；

（3）用等式表示線段BC，CE，BG之間的數量關系.

解析：

0 1

(1)作圖如下：

0 2

(2)多數學生很容易發現其中的一對全等三角形，△ACE≌△ADF，然后便不知所措了，我們不妨觀察這對全等三角形到底能起什么作用？除了對應邊、對應角相等，還需要更進一步思考它們帶來的更多位置關系和數量關系。

方法一：

由于菱形中含120°角，所以對角線AC能將菱形成成兩個等邊三角形，于是由∠ACE=∠ADF=60°，再結合∠CAD=60°，得DF∥AC，聯想到菱形對角線互相垂直，不妨連接BD，則可得DF⊥BD，如下圖：

因此在Rt△BDF中，由于AC是菱形的對稱軸，所以BG=DG，所以∠GBD=∠GDB，而∠GDB+∠GDF=90°，∠GBD+∠GFD=90°，所以∠GDF=∠GFD，即DG=FG，我們得到了斜邊上的中線DG，等量關系建立起來了，最后得到GB=GF.

方法二：

過點D作DH∥BF，如下圖：

仍然由△ACE≌△ADF，得∠ACE=∠ADF=60°，而∠CAD=60°，因此∠CAD=∠ADF，所以AC∥DF，于是得到平行四邊形DFGH，所以DH=FG，再證明一次全等，△ABG≌△CDH，所以BG=DH=FG.

0 3

(3)在前面方法一中，我們已經得到Rt△BDF，如下圖：

△BCD是含120°等腰三角形，于是BD=√3BC，CE=DF，BF

=2BG，所以由勾股定理得BD2+DF2=BF2，所以3BC2+CE2=4BG2.

解題反思

本題第二問還有更多解法，圍繞菱形性質，結合軸對稱和旋轉變換的方式很多，不再一一一列舉。

在完成第三問的解答之后，感覺意猶未盡，應該還能就原題條件挖掘更多結論出來，于是便有了以下拓展：

(4)當DF=AG時，求tan∠CAE的值.

我們不妨恢復原來的輔助線，連接BD，我們依然可以證明OG是△BDF的中位線，所以設OG=t，則DF=2t，所以AG=2t，OA=3t，因此AC=6t，我們再過點E作AC的垂線，構造出求三角函數所需的直角三角形△AEH，如下圖：

其中CE=DF=2t，Rt△CEH是特殊直角三角形，可求出CH=t，EH=√3t，然后AH=AC-CH=5t，最后求出tan∠CAE=√3/5.

本題中的菱形，是特殊菱形，教材中對菱形的對稱性有如下描述：

所以當菱形中出現一個120°角的時候，整個菱形立刻可以被對角線分成等邊三角形，特殊等腰三角形，特殊直角三角形，而它們之間的邊角關系幾乎全部可以相互關聯，所以造成第2問的解法非常多，在推導過程中，盡量多利用軸對稱，比起用全等更方便。

第1問只需要作圖，第2問則需要去探索邊角關系中最特殊的一種，第3問其實是在第2問基礎上，進一步探究更多數量關系，第4問則是在特定條件下，求特殊比值。

由特殊到一般，再由一般回歸到特殊。