現(xiàn)在的數(shù)學(xué)中，有一重要的門類叫“方程”。

這個名字，源自中國先秦——“方”為并列、對等；“程”，表示以“算籌”列成豎式的計算過程。

英語中現(xiàn)在通用的“equation”一詞，大概率由9世紀(jì)中亞一位數(shù)學(xué)家提出的概念輾轉(zhuǎn)生成。

《九章算術(shù)》由秦朝舊臣張蒼，在西漢初年搜集先秦“算簡”整理而成，桑弘羊等學(xué)者也為此書貢獻(xiàn)不小——書名，據(jù)說依據(jù)的是戰(zhàn)國“遺卷”。

無論如何，在經(jīng)歷了秦皇焚書的浩劫之后，這些人的孜孜不倦功在千秋，使兩千多年后現(xiàn)在的我們，在傳承寶貴文化的同時，亦可觀止感嘆先民的厚積睿智。

《九章算術(shù)》卷第八為“方程”，全部從農(nóng)耕的現(xiàn)實生活出發(fā)，通過“解題”的方式，總結(jié)概括了計算“線性方程組的解法”。

以卷第八【一】為例——

原文——“【一】今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗。

問上、中、下禾實一秉各幾何？”

上禾、中禾、下禾，指“禾黍（糧食總稱）”之“品等”。

秉，束、捆。

譯成白話——現(xiàn)有上等禾黍3束、中等禾黍2束、下等禾黍1束，打出的糧食共有39斗；有上等禾黍2束、中等禾黍3束、下等禾黍1束，打出的糧食共有34斗；有上等禾黍1束、中等禾黍2束、下等禾黍3束，打出的糧食共有26斗。問：1束上等禾黍、1束中等禾黍、1束下等禾黍各能打出多少斗糧食？

原文——“答曰：上禾一秉，九斗（又）四分斗之一；中禾一秉，四斗（又）四分斗之一；下禾一秉，二斗（又）四分斗之三。

方程術(shù)曰：置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗，于右方。中、左禾列如右方。以右行上禾遍乘中行，而以直除。又乘其次，亦以直除。然以中行中禾不盡者遍乘左行而以直除。左方下禾不盡者，上為法，下為實。實即下禾之實。求中禾，以法乘中行下實，而除下禾之實。余如中禾秉數(shù)而一，即中禾之實。求上禾亦以法乘右行下實，而除下禾、中禾之實。余如上禾秉數(shù)而一，即上禾之實。實皆如法，各得一斗?！?/p>

以上，是《九章算術(shù)》列出的典型“三元一次方程組”采用 “遍乘直除”消元以解此題。

現(xiàn)今的解法，見下圖二。

《九章》所云“方程術(shù)”解題如下——

一，“置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗，于右方”。見下圖三。

二，“以右行上禾遍乘中行”。即以右行最上之3，遍乘中行各項。見下圖四。

三，“而以直除”。由中行連續(xù)減去右行各對應(yīng)項的若干倍數(shù)，直到中行頭位數(shù)為0。直除，為連續(xù)相減。見下圖五。

四，“又乘其次，亦以直除”。中行頭位消除后，以右行上禾3遍乘左行各項，連續(xù)減去右行各對應(yīng)項，消去右行頭位?！坝殖似浯巍薄Ｒ娤聢D六。

“亦以直除”。見下圖七。

五，“然以中行中禾不盡者遍乘左行而以直除。左方下禾不盡者，上為法，下為實。實即下禾之實?！毕ブ行?、左行頭位后，再以中行中禾數(shù)遍乘左行而以直除，消除左行中位，所得“99” 即“36秉”之“下禾之實”。以中行中禾數(shù)5，遍乘左行各數(shù)。見下圖八、下圖九。

六，“求中禾，以法乘中行下實，而除下禾之實。余如中禾秉數(shù)而一，即中禾之實。”

法，為36；中行下實，為24；中行秉數(shù)，為5，中禾之實為：（36x24-99）/5=253。

七，“求上禾亦以法乘右行下實，而除下禾、中禾之實。求上禾亦以法乘右行下實，而除下禾、中禾之實。余如上禾秉數(shù)而一，即上禾之實”。

“求上禾亦以法乘右行下實，而除下禾、中禾之實?！薄?9x36-2x153-99=999.

“余如上禾秉數(shù)而一，即上禾之實”——余數(shù)999，右行上禾秉數(shù)3，按“術(shù)”999/3=333，即上禾之實。

八，“實皆如法，各得一斗”。

上禾、中禾、下禾一束之實各為：99、153、333；皆以“法”36除之——99/36斗=2又3/4斗；153/36斗=4又1/4斗；333/36斗=9又1/4斗。

怎能不佩服兩千多年前的上古先民！