幾何推理的邏輯

2024年海淀區二模第27題

數學是一門講求邏輯的學科，無論是學習還是教學，教與學中的邏輯，最終通過學生解題呈現其思維是否具備嚴密的邏輯。在新課標第67頁中關于定義、命題、定理的要求中，明確寫出了“知道數學要合乎邏輯”，并給出了例78來說明，如下圖：

當然，這里并非要研究邏輯學的內涵，也無此必要，主要是針對幾何綜合題中，部分學生在思維邏輯上容易犯的錯，以及由此產生的一系列偽證，扒一扒那些看上去正確解答的背后，到底錯在哪里，從而更深入理解題目、理解幾何、理解數學。

題目

在△ABC中，AB=AC，∠BAC<60°，點D在邊AC上（不與點A、C重合），連接BD，平移線段BD，使點B移到點C，得到線段CE，連接DE.

(1)在圖1中補全圖形，若∠BAC=2∠E，求證：∠CBD與∠CDE互余；

(2)連接AE，若AC平分∠BAE，用等式表示∠CBD與∠BAE之間的數量關系，并證明.

解析：

01

(1)作圖如下：

線段CE是由線段BD平移得到，由平移的性質，BD∥CE且BE=CE，因此可證明四邊形BCED是平行四邊形，于是∠E=∠CBD=x，而在等腰△ABC中，頂角∠BAC=2x，可求其底角∠BCD=90°-x，所以∠CBD+∠BCD=90°，而平行四邊形BCED中，DE∥BC，可得∠BCD=∠CDE，所以∠CBD與∠CDE互余；

02

(2)作圖如下：

我們先捋一下條件：△ABC是等腰三角形，四邊形BCED是平行四邊形，AC是∠BAE的角平分線；

需要探究數量關系的兩個角分別是∠CBD和∠BAE，其中∠CBD是平行四邊形的一個內角，而∠BAE則被AC分成了相等的兩部分∠BAC和∠EAC；

不妨設BE、CD相交于點O，對于△ABE，AO是其一邊上的中線，同時也是∠BAE的角平分線，這極易令人想起等腰三角形中的“三線合一”，但是，△ABE是等腰三角形嗎？題目現有條件并未說明，所以，我們的探究從它是否等腰三角形開始，如下圖：

方法一：

由于平行四邊形BCED是中心對稱圖形，因此我們過點E作EF∥AB，交AC延長線于點F，這樣就能將∠BAC轉移到∠EFD處，由于∠BAC=∠EAC，所以∠EFD=∠EAC，得AE=EF；

由平行四邊形BCED得BC=ED，∠ACB=∠FDE，再加上∠BAC=∠EFD，利用AAS判定△ABC≌△FED，則AB=EF，所以得到AB=AE，現在△ABE是等腰三角形了，AO是它的對稱軸，所以AO是BE的垂直平分線，于是BD=ED，四邊形BCED是菱形；

對于△BCD，它也是等腰三角形，并且有一個底角與△ABC底角重合，所以△BCD∽△ABC，所以∠BAC=∠CBD，于是∠BAE=2∠CBD；

方法二：

分別過點O向AB、AE作垂線OG和OH，如下圖：

由于AO是∠BAE角平分線，所以OG=OH，然后在Rt△BOG和Rt△EOH中，利用HL可證其全等，則∠GBO=∠HEO，所以AB=AE，同樣可得等腰△ABE，后面的推導同方法一；

解題反思

在學生解題過程中，我發現有幾種偽證值得注意：

偽證一：由AO是∠BAE角平分線，并且AO是BE中點，得到△ABE是等腰三角形；

這種思路的錯誤之處在于，將等腰三角形“三線合一”的條件和結論顛倒了，我們是先有等腰三角形，再有“三線合一”，事實上一個三角形一邊上的中線與其對角的角平分線重合，能說明它是等腰三角形，但不能直接得到，需要證明，如下圖：

若△ABC中，AD平分∠BAC且點D為BC中點，我們過點D分別向AB、AC作垂線DE和DF，由角平分線定理可知DE=DF，然后在Rt△BDE和Rt△CDF中，利用HL可證其全等，這才有∠B=∠C，最終AB=AC；

這也是前面方法二的主要思路。

若不作這兩根垂線，直接想證明△ABD≌△ACD，實際上用的是SSA，這是錯誤的。

偽證二：

作圖如下：

他的作圖是這樣的，過點B作BO⊥AC，延長BO至點E，使OE=OB，再連接DE和CE；

理由是BD平移至CE，得平行四邊形BCED，然后對角線互相垂直，可得菱形BCED，從而AC是BE的垂直平分線，得到等腰△ABE……

顯然這并不符合題目中描述的作圖順序，盡管最終得到的圖形與前面方法一中的圖形一樣，但順序不同，意味著這些幾何元素間的邏輯不同，相當于“自我創造”了一道新的題目。

原題中給出的作圖順序是①先平移BD至CE，得平行四邊形BCED；②連接AE，給出條件AC平分∠BAE，再去探索∠BAE與∠CBD的關系；

而這位同學的作圖順序是①先平移BD至CE，得平行四邊形BCED；②“調整”平行四邊形為菱形BCED；把本題中最為精華的部分——證明等腰△ABE，完美規避掉了……

諸如此類的錯誤在平時練習中還很多，例如在作輔助線時，連接AB，使AB⊥CD等，說明學生在審題時，對圖形各元素間的關系沒有理解清楚，僅憑看上去像，就得到相應的結論，或者把自已需要的結論假設成立，再在這個假設基礎上推導，形成了循環證明。

無論是證明還是作圖，內在邏輯非常重要，我們的平時課堂上進行作圖操作時，盡量解釋操作步驟以及為什么這樣作圖，并且教學語言要嚴格遵守規范，越是簡單的問題，越不可跳步驟，要知道“道高一尺，魔高一丈”，老師偷的懶，學生會加倍償還。