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小樂數(shù)學科普:當1+1+1等于1時——James Propp教授專欄

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本文開場曲——吉格舞曲“愛爾蘭浣女” The Irish Washerwoman

(作者在文中舉例時有用到)

作者:James Propp教授 2024-12-19

譯者:zzllrr小樂(數(shù)學科普公眾號)2024-12-21

有各種各樣的數(shù)學運算(操作),其特性是執(zhí)行兩次運算等于什么都不做。這樣的運算被稱為對合(involution),你可以在數(shù)學中隨處找到它們:取一個數(shù)的負數(shù),取一個數(shù)的倒數(shù),將一個物體旋轉(zhuǎn)180度1,否定一個命題,取一個集合的補集,我可以繼續(xù)舉例······。

當執(zhí)行 X 兩次相當于什么都不做時,那么執(zhí)行 X 三次相當于執(zhí)行 X 一次,執(zhí)行 X 四次相當于執(zhí)行 X 兩次,依此類推。在這種情況下,要知道當你多次執(zhí)行 X 時會發(fā)生什么,只需知道你執(zhí)行 X 的次數(shù)n是偶數(shù)還是奇數(shù)。如果 n 是奇數(shù),則執(zhí)行 n 次運算與執(zhí)行一次相同;如果 n 為偶數(shù),則執(zhí)行 n 次運算與什么都不做相同。(參見我之前的文章“當 1+1 等于 0 時”) 。

試圖對所有這種行為方式的數(shù)學運算進行分類,甚至只對重要的數(shù)學運算進行分類,將是一項艱巨的任務(wù),而我今天的目標不是進行這樣的綜合調(diào)查。但是還有其他一些運算并不完全是對合 – 可以稱它們?yōu)椤皽蕦稀?strong>2– 它們具有做 3 次等于做 1 次、做 4 次等于做 2 次等性質(zhì)。這些較罕見的運算是我今天的主題。

對于這類運算,如果你想知道當你做一個運算 n 次時會發(fā)生什么,按n 是正奇數(shù)、正偶數(shù)還是零,對應(yīng)三種情況3。與“0、1、0、1、0、1······”的模2算術(shù)不同,控制這些運算的計數(shù)類型是“0、1、2、1、2、1、2······”。

下面我給你看三個例子。其中前兩個是技術(shù)性的,但第三個很容易理解,值得被更多地了解。如果前兩個看起來太神秘,請隨意跳到第三個。

正交補 Orthocomplementation

我們的第一個例子來自線性代數(shù),但為了方便起見,我將切換到三維幾何,以通常的方式配備 x、y 和 z 坐標。給定此空間中的一組直線的集合 S,設(shè) Perp(S)或者P(S) 為垂直于 S 中每條直線的所有直線的集合。例如,假設(shè) S 由三條在xy-平面上圍出一個三角形的直線組成。然后,P(S) 由平行于 z 軸的所有直線組成,P(P(S)) 由平行于xy-平面的所有直線組成,P(P(P(S))) 由平行于z軸的所有直線組成,依此類推。P(P(S)) 與 S 不同,但 P(P(P(S))) 與 P(S) 相同。

如果我們設(shè) S 是由三條相互垂直的直線組成的集合,就會出現(xiàn)一個更令人費解的例子。那么 P(S) 根本不包含任何直線;也就是說,它是空集,也寫成 { }。那么,在這種情況下,我們應(yīng)該如何看待 P(P(S)) 呢?也就是說,P({ }) 到底是什么?如果你做了很多數(shù)學運算,你就可以猜到會發(fā)生什么,因為你以前見過我們數(shù)學家這樣做:我們將“我見過愛爾蘭的每一只獨角獸”這樣的斷言視為(空洞的)正確的。(如果你認為我聲稱見過愛爾蘭的所有獨角獸的陳述是錯的,那就請你找出一只我沒見過的;事實上,因為愛爾蘭沒有獨角獸,所以我聲稱見過愛爾蘭所有的獨角獸,肯定是一句正確但空洞的話)

因此,對于平面中的每一條直線 L,L 垂直于 { } 的每一條直線(因為 { } 中沒有一條直線是不垂直于 L 的,事實上,因為 { } 中根本沒有直線),這意味著 P({ }) 是我們空間中所有直線L 的完全集合(全集)。因此我們看到,當 S 由三條相互垂直的直線組成時,P(S) = { } 是不包含任何直線的集合,而P(P(S)) 是包含所有直線的集合,P(P(P(S)))是不包含任何直線的集合,依此類推。同樣,P(P(S)) 與 S 不同,但 P(P(P(S)) 與 P(S) 相同。

這并非巧合:可以證明 P(P(P(S)) 與 P(S) 始終相同。

連續(xù)執(zhí)行兩次 Perp(取垂直線 perpendicular) 是一種數(shù)學家所說的 “閉包” (closure operation)的例子。閉包運算是一種具有這種性質(zhì)的運算(操作):一個事物的閉包的閉包與這個事物的閉包相同。也就是說,它是執(zhí)行 “兩次等于一次” 的那種操作?。如果把C(S)定義為 P(P(S)),則 C(C(S)) 為 P(P(P(P(S)))),等于 P(P(S)),即 C(S);所以 C 是一種閉包操作。

通常,操作 Perp 應(yīng)用于向量空間(或者更技術(shù)上稱為內(nèi)積空間inner-product space)。你有一些大的向量空間 V 和一些較小的位于 V 內(nèi)部的向量空間 W 。然后 Perp(W) 是位于V 內(nèi)部的另一個向量空間,Perp(Perp(W)) 也是如此,依此類推。當 V 是有限維的向量空間時,Perp(Perp(W)) 始終等于 W,但在無限維空間中這不再是正確的。盡管如此,在那些無限維空間中,Perp(Perp(Perp(W))) 始終等于 Perp(W) 仍然是正確的。因此,Perp 是執(zhí)行“三次等于一次”(thrice-equals-once) 操作的一個示例。Perp(W) 被稱為 W 的“正交補”(orthogonal complement,orthocomplement)——因此作為本節(jié)的標題。

直覺主義否定 Intuitionistic Negation

我們本文三個“三次等于一次”的運算(操作)案例中最奇怪的是非經(jīng)典(更具體地說,構(gòu)造主義)框架中的邏輯否定。在這里,我使用“構(gòu)造主義的”(constructivist)這個詞來表示 20 世紀出現(xiàn)的一種邏輯風格,而不是英文同名的教育運動(建構(gòu)主義)。構(gòu)造主義(constructivism)類似于另一個叫做 “直覺主義” (intuitionism)的運動,并且確實與之糾纏不清,事實上,我所說的那種邏輯通常被稱為直覺邏輯(intuitionistic logic)。在構(gòu)造主義的設(shè)置中,斷言“非p” 的意思更接近于斷言“我有一個程序,以給定的 p 的證明作為輸入,以 0 = 1 的證明作為輸出”(你可以用任何你喜歡的假命題替換 0 = 1)。在經(jīng)典邏輯中,“p 或 非p” 是一個老生常談,稱為排除中間定律,但這個定律在直覺邏輯中不再有效。事實上,拒絕排除中間的定律(排中律)是數(shù)學直覺主義風格的核心。在這種觀點下,如果你無法證明 p 是真的,也不能證明非 p 是真的,那么你就沒有理由聲稱知道 “p 或 非p” 是真的。因此,如果一個不果斷的哈姆雷特說“明天我要么生存(be),要么毀滅(not be)”,直覺主義者會反駁這個斷言,或者至少反駁哈姆雷特聲稱知道它的理由。

在直覺主義邏輯中,“非非p” 不等同于 p,但盡管如此,p 仍然蘊含著“非非p”,盡管我將用“產(chǎn)生 yield”一詞替換“蘊含 imply”一詞,以阻止您經(jīng)典地解釋該斷言。讓我們看看為什么 p 會產(chǎn)生“非非p”。用符號表示,p 的直覺主義否定寫為 p ? ⊥,其中 ⊥(將其視為T的顛倒,T表示True真)表示不可能是真的(有時稱為“假” falsehood——可能性為假),p ? q 表示“p 的證明產(chǎn)生 q 的證明”。因此,為了證明 p 產(chǎn)生 “非非p”,我們必須證明 p 的證明會產(chǎn)生 (p ? ⊥) ? ⊥ 的證明。在這里,我們可以使用經(jīng)典邏輯規(guī)則的直覺主義版本,稱為modus ponens(假言推理,分離規(guī)則),它斷言如果 p 為真并且 p ? q 為真,則 q 為真,或者等價地說,如果 p 為真,則 (p ? q) ? q 為真。直覺主義版本說“如果你有一個 p 的證明,那么你有一個程序可以將 p ? q 的每個證明都變成 q 的證明。” 將 q 替換為 ⊥,我們得到我們想要的結(jié)果。

由于 p 對所有 p 都產(chǎn)生 “非非p”,我們可以用 “非非p” 替換 p 以獲得另一個直覺上有效的斷言:“非p” 產(chǎn)生 “非非非p”。我聲稱相反的含義也成立:即,“非非非p” 產(chǎn)生 “非p”。為了證明它(非正式地),假設(shè)我們得到了 “非非非p”。我們必須產(chǎn)生“非p”,也就是說,我們必須產(chǎn)生 p ? ⊥。要做到這一點,只需將 p 視為已知給定條件,看看我們是否可以產(chǎn)生 ⊥。也就是說,我們處于這樣一種情況:我們得到了 “非非非p” 和 p,我們想用這些成分產(chǎn)生 ⊥。但在前面一段中,我們證明了 p 產(chǎn)生 “非非p”,因此我們免費得到了第三種成分,“非非p”,我們的目標是使用 “非非非p”、p 和 “非非p” 來產(chǎn)生 ⊥。我們似乎正在偏離軌道,但我們幾乎完成了。看看這三種成分中的第一種和第三種,即 “非非非p” 和 “非非p”。前者等價于 “非非p” ? ⊥,因此我們可以將其與 “非非p” 相結(jié)合得出⊥。因此,我們已經(jīng)成功地證明了 “非非非p” ? “非p”,即便如果你的大腦和我一樣,你也不太明白這個技巧是如何完成的。

(這個證明讓我想起了小說《好兆頭》Good Omens的開頭,其中三個嬰兒被調(diào)換得如此頻繁,以至于我永遠無法理解它!)

無論如何,既然我們已經(jīng)證明了 “非p” 蘊含著 “非非非p”,反之亦然,我們已經(jīng)證明了 “非p” 和 “非非非p” 在邏輯上是直覺主義意義的等價物,所以直覺主義否定是“三次等于一次”操作的另一個例子。?

網(wǎng)絡(luò) Networks

我們的最后一個例子來自組合學,更具體地說是圖論,但我會把它表述為人們在社交網(wǎng)絡(luò)中相互聯(lián)系的方式。想象一個網(wǎng)絡(luò),其中節(jié)點對應(yīng)于人,兩個節(jié)點之間的鏈接表明兩個鏈接的人彼此認識。(我將假設(shè)如果 A 認識 B ,那么 B 就認識 A 。)然后,對于網(wǎng)絡(luò)中的任何一組人員的集合S,我們可以將 K(S) 定義為認識 S 中每個人的一組人員的集合。

很容易將 K(S) 與認識 S 中某個人的那群人的集合混淆,所以讓我舉一個例子來幫助消除混淆。


假設(shè)我們的網(wǎng)絡(luò)由六個人 a、b、c、d、e 和 f 組成,如上圖所示,當兩個相應(yīng)的人彼此認識時,兩個節(jié)點通過鏈接連接起來。設(shè)集合 S 為 {b},其唯一元素為 b 。那么 K(S) 由 b 認識的每個人組成,所以 K(S) 由 d 和 e 組成。現(xiàn)在,在它們兩個之間,d 和 e 認識 a、b 和 c,但 b 和 c 是 d 和 e 都認識的,所以它們是 K(K(S)) 中僅含有的元素。也就是說,K(K(S)) 是 {b,c},而不是 {a,b,c}。那么 K(K(K(S))) 呢?你應(yīng)該檢查它是否為 {d,e} —— 與 K(S) 相同。

我第一次遇到這種 K-運算 時,我還是伯克利的一名數(shù)學研究生,當時我正在為我的預(yù)考做準備;其中一個練習題要求我們(用圖論術(shù)語)證明 K(K(K(S))) 等于 K(S),而不管網(wǎng)絡(luò)的細節(jié)如何。我想這個問題一定是某種“栗子”(盡管它長在一棵相當特殊的“樹”上),而且我在職業(yè)生涯的后期會遇到它,然而我從來沒有遇到過。大約三十年后,我判斷這樣一個好問題值得廣泛的讀者關(guān)注,如果還沒有人寫過關(guān)于它的文章,那么這個責任就落在了我身上。因此,我發(fā)表了一篇名為“社交網(wǎng)絡(luò)中的伽羅瓦連接”(A Galois Connection in the Social Network,《數(shù)學雜志》 Mathematics Magazine 85卷,34-36頁 https://faculty.uml.edu/jpropp/galois.pdf )的文章,描述了這個問題,證明了結(jié)果,并將其與一些更高級的數(shù)學聯(lián)系起來。(上圖改編自該文章)。

斷言 K(K(K(S))) 的每個元素都是 K(S) 的一個元素,反之, K(S) 的每個元素都是 K(K(K(S))) 的一個元素,可以在 S 僅包含一個人的特殊情況下表示為:“認識所有認識所有認識你的人都是你認識的人,而你認識的人都是認識所有認識所有認識你的人。” 按照吉格舞曲“The Irish Washerwoman”的曲調(diào)唱出這些詞的練習留給喜歡音樂的讀者。


相同還是不同?

由于這篇文章是關(guān)于 “一等于三 ”的情況,所以第1個例子實際上是偽裝的第3個例子,這種說法再合適不過的了。你可以在我的《數(shù)學雜志》文章中讀到 K(K(S)) = K(S) 的證明,其中并未假設(shè)網(wǎng)絡(luò)是有限的。因此,在第一個例子的幾何情況中,想象直線是人,而兩條直線恰好在垂直時是朋友。在此上下文中,K 是 Perp,因此 K(K(K(S))) = K(S) 意味著 Perp(Perp(Perp(S))) = Perp(S)。

第二個例子是否與其他兩個例子相同?我將讓讀者在評論部分澄清這一點,因為我已經(jīng)晚了兩天發(fā)布這篇博客。

同時,讓我承認這篇文章的早期版本包含一個錯誤。在點集拓撲中,有一個操作(運算)稱為取拓撲空間的子集 S 的外部(我們將其寫為 Ext(S)),多年來,我一直認為 Ext(Ext(Ext(S))) 始終等于 Ext(S)。但我最終意識到,這種相等性可能會失敗。幫助我弄清楚這一點的一件事是 Kuratowski 的閉包補問題的證明百科Proof Wiki文章https://proofwiki.org/wiki/Kuratowski%27s_Closure-Complement_Problem 。這種相等有時會失敗,但 Ext(Ext(Ext(Ext(S)))) 等于 Ext(Ext(S)) 始終是正確的。所以 Ext 是我所知道的“1+1+1+1 等于 1+1”(但1+1+1 不等于 1)的唯一例子。

說到網(wǎng)絡(luò)資源,你可能已經(jīng)注意到,多年來我經(jīng)常向我博客的讀者推薦相關(guān)的維基百科頁面。維基媒體基金會(Wikimedia Foundation)在信息生態(tài)系統(tǒng)中發(fā)揮著至關(guān)重要的作用,因此如果您最近沒有這樣做,請在此時支持它!捐款可以免稅,有助于保持互聯(lián)網(wǎng)健康。

尾注

#1.在量子物理學中,如果你正在處理那種叫做費米子(fermion)的物體,那么物體繞軸旋轉(zhuǎn)180度不是對合,而旋轉(zhuǎn)360度才是!這個話題值得一寫,而且最終會有一篇文章來介紹它,但在那之前,你可以從我過去的文章中學到更多的東西《帶鋸片、臭蟲滅火器、橡皮筋和我》和《漢密爾頓的四元數(shù)或三元數(shù)的麻煩》(參閱 )。

#2.據(jù)我所知,最接近描述此類操作的技術(shù)術(shù)語是“三階的冪等”。

#3.在這些設(shè)置中,數(shù)字 0 的古怪狀態(tài)讓我想起了我的離散數(shù)學課程中的許多學生在吸收 0 是偶數(shù)這一事實時遇到的困難。我在上課的第一周解釋了為什么 0 是偶數(shù),并回到了整個學期如何定義“偶數(shù)”和“奇數(shù)”的話題,但是,到了考試時,我還是會收到一兩個學生的電子郵件,說“我一直忘記,零是偶數(shù)還是奇數(shù)?在數(shù)學上未經(jīng)訓練的大腦中,有一些東西抵制將 0 與 2、4、6、8······分類因為 0 似乎與正偶數(shù)整數(shù)截然不同。我今天談?wù)摰倪\算并不能驗證學生認為 0 可能很奇怪的傾向,但它們確實驗證了學生認為 0 是有所不同的潛在感覺。

#4.閉包操作(運算)的另一個詞是 “二階的冪等”,通常簡稱為冪等(idempotent)。

#5.有關(guān)直覺主義三重否定的更多信息,請參閱在Stackexchange網(wǎng)站的討論。 https://math.stackexchange.com/questions/2453533/triple-negation-in-intuitionistic-logic

參考資料

https://mathenchant.wordpress.com/2024/12/19/when-111-equals-1/

https://faculty.uml.edu/jpropp/galois.pdf

https://proofwiki.org/wiki/Kuratowski%27s_Closure-Complement_Problem

https://math.stackexchange.com/questions/2453533/triple-negation-in-intuitionistic-logic

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