導語

在平衡態熱力學中，我們很清楚地知道物理系統的動態漲落與其到周圍環境的能量耗散之間的關系。但是，對于遠離平衡態的物理系統，我們缺乏同樣精確的工具來描述這種關系。2019年發表在 Nature Physics 的這篇經典綜述就一類新的不等式——熱力學不確定性關系（Thermodynamic Uncertainty Relations, TURs）提出一種新觀點。熱力學不確定性關系表明，在任意遠離平衡態的穩態系統中，能量的耗散會限制流漲落（current fluctuation）。文章探討了這些不等式的隨機熱力學起源，并強調了最近為擴大其適用范圍所做的努力，特別是將流漲落與漲落定理相聯系的研究。

為了探討統計物理學的前沿進展，集智俱樂部聯合西湖大學理學院及交叉科學中心講席教授湯雷翰、紐約州立大學石溪分校化學和物理學系教授汪勁、德累斯頓系統生物學中心博士后研究員梁師翎、香港浸會大學物理系助理教授唐乾元，以及多位國內外知名學者共同發起「」讀書會。讀書會從12月12日開始，每周四晚20:00-22:00進行，持續時間預計15周。歡迎感興趣的朋友一起討論交流！

研究領域：非平衡態統計物理，隨機熱力學，熱力學不確定性關系，漲落定理，流漲落，熵產生，對稱性

Jordan M. Horowitz & Todd R. Gingrich| 作者

雋山| 譯者

龔銘康，梁金 | 審校

論文題目： Thermodynamic uncertainty relations constrain non-equilibrium fluctuations 論文地址： https://www.nature.com/articles/s41567-019-0702-6

目錄

摘要

1. 引言

2. 隨即熱力學

3. 耗散抑制流漲落

4. 實踐應用

5. 擴展到新的動力學類別

6. 超越流漲落的耗散界限

7. 下一步是什么？

摘要

在平衡態熱力學中，我們很清楚地知道物理系統的動態漲落與其到周圍環境的能量耗散之間的關系。但是，對于遠離平衡態的物理系統，我們缺乏同樣精確的工具來描述這種關系。本文就一類新的不等式，即熱力學不確定性關系 （Thermodynamic Uncertainty Relations, TURs） 提出一種新觀點。這些關系顯示，在任意遠離平衡態的穩態系統中，能量的耗散會限制流漲落 （current fluctuation） 。我們探討了這些不等式的隨機熱力學起源，并強調了最近為擴大其適用范圍所做的努力，特別是將流漲落與漲落定理相聯系的研究。

1. 引言

我們對宏觀平衡系統性質的理解建立在一系列普遍原理之上。玻爾茲曼分布允許我們預測系統的溫度或壓力等熱力學性質，而無需解決任何動力學方程。熱力學第二定律告訴我們，只有那些熵增加的熱力學過程才是可能發生的。這讓人們對機器的設計原理——例如卡諾循環 （Carnot Cycle） 對任何熱機效率的限制——獲得洞察。

相對而言，無論是單個布朗粒子、分子馬達或少量化學反應等小系統，都會受到周圍環境的影響而產生劇烈漲落，常常處于非平衡狀態。雖然沒有像玻爾茲曼分布這樣的簡單公式來描述非平衡系統，但如果我們能夠找到類似第二定律的熱力學約束，就能更好地理解非平衡狀態下的基本規律。

在這方面，現在有越來越多關于非平衡漲落的定量預測。雖然漲落看起來可能是不相關的隨機噪聲，但人們逐漸認識到熱力學賦予了它們可預測的結構。最突出的例子可能是漲落定理，它揭示了熱力學可觀測量 （如系統與熱庫之間傳遞的熱量） 漲落的對稱性[1–3]。這些定理不僅揭示了熱力學漲落的基本特性，還推動了利用驅動非平衡過程來測量平衡性質 （如自由能） 的新型實驗和計算技術的發展。

在此，我們討論一組新發現的不等式，它們為非平衡穩態中的流漲落提供了相關約束。這些被稱為熱力學不確定性關系（thermodynamic uncertainty relations, TURs） 的不等式，以非平衡系統的耗散或熵產生為基準，為非平衡流的精度設定了限制[4]。

自TUR首次被證明以來[5]，許多后續研究進一步闡明了這一不等式的起源和在非平衡熱力學中的潛在應用。我們分享了對當前研究現狀的觀點，探討了各種TUR結果如何相互關聯、如何應用以及如何擴展。

2. 隨機熱力學

想象一個非平衡系統與環境相互耦合，可以交換粒子、熱量、電荷等，如圖1a所示。系統的構型變化與這些交換過程本質上相互關聯。例如，如果系統的轉變需要能量增加，那么這部分能量必須以熱的形式由環境提供。隨機熱力學（stochastic thermodynamics）的理論框架將系統的動力學描述與環境的熱力學聯系起來[1-3]，使我們能夠一致地研究非平衡系統在能量和熱力學方面的漲落。

這種分析的第一步是建立一個描述漲落動力學的隨機模型。通常，這些動力學可以很好地建模為系統在一組離散狀態或構型 （如x、y、z等） 之間的隨機跳躍。例如，對于以離散步驟前進的分子馬達，或者通過量子點傳輸單個電子以產生電流的過程。這種跳躍過程的物理動力學可以編碼在一系列轉移概率 r(x, y) 中，這些轉移概率指定了從狀態 y 跳到狀態 x 的單位時間概率。然后，在適當的假設下，系統的概率密度在長時間極限下會弛豫到一個唯一的穩態 π(x)。

圖1. 粒子流漲落的熱力學約束

a. 用于描述兩個粒子庫之間非平衡輸運的玩具模型，兩個粒子庫的化學勢分別為 μleft 和 μright，溫度為 T。該系統由兩個相鄰的位點組成，其能量差為 ΔE。每個位點可以是空的或被單個粒子占據。粒子以概率 p、q、α、β、γ、δ 進入/跳出粒子庫或在位點之間跳躍。隨機熱力學根據粒子庫的平衡性質（T、μleft、μright）對這些概率進行約束，詳見方框1。

b. 這是通過設定 α = 2，β = γ = δ = q = 1，然后調整概率 p 來改變不可逆性（以平均耗散 Στ 衡量，顏色從紫色到紅色）生成的系統粒子流時間軌跡的代表性示例。噪聲導致流 Jτ 的積累隨時間和在不同實現之間漲落。在低耗散情況下（紫色），平均流以速率 ?j? 緩慢增長，同時其分布（或方差）也隨之增加，但方差相對于平均流較大。在高耗散情況下（橙色），平均流增加的同時，方差也相應增加（內插圖），但流的不確定性減小。

c. 有限時間（τ = 1）內粒子流的不確定性始終超過三種形式的熱力學不確定性關系（TUR）。在低耗散極限下，三種界限完全一致且緊密。在高耗散極限下，TUR 界限變弱，因為漲落的最終約束是動力學的，這可以用動力學活動的不確定性關系來量化。通過在相對較短的時間（τ = 1）內繪制三種 TUR 界限，我們確保耗散適中且界限大小相似，但隨著觀察時間增加，雙曲和指數界限變弱，并在 τ → ∞ 極限下趨于零（內插圖）。

不過僅憑動力學本身還不足以進行任何熱力學推斷。為此，我們提出隨機熱力學的核心假設，并對轉移概率的形式施加物理約束。系統狀態之間的轉變是通過與具有明確 （平衡） 熱力學性質 （如溫度和化學勢） 的單個熱庫相互作用來實現。這里的噪聲動力學由許多平衡熱庫的影響產生，這一事實對系統的轉移概率施加了特定的物理約束，稱為局部細致平衡（local detailed balence） 。這一約束要求，任何一對狀態之間轉移概率的不對稱性必須由介導熱庫的無量綱熵變化來平衡。

圖1a的物理示例在方框1中進行了分析，以明確說明動力學與熱力學之間的這種聯系。粗略地說，我們可以將這種熵產生視為轉變過程中耗散到周圍環境的能量。因此，要施加更不對稱的概率，熱力學需要更陡峭的能量代價。

隨著系統在狀態之間跳躍演化，它將與周圍環境交換能量 （有時是物質） ，導致根據方程（1）熵產生。最終，系統將收斂到其非平衡穩態 π(x)，而在時間窗口τ內產生的平均熵Στ將以恒定速率累積，

這個恒定的熵產生率在某種意義上代表了維持非平衡狀態的熱力學代價。

Box 1 關于局部細致平衡和隨機熱力學的簡要入門指南

考慮圖1a中描繪的非平衡系統。我們可以將這個模型的動力學想象為圖上的隨機游走，其中頂點代表構型，邊代表允許的狀態轉變：

注意頂點之間的轉變不需要粒子數或能量守恒。因此，開放系統的每一次轉換都需要與外部庫交換粒子或能量。局部細致平衡條件假設這種交換是與一個大型平衡庫進行。

我們專注于與溫度為T的紅色熱庫的交換。單個粒子能夠以概率 p 從具有高能量 E1 的位點移動到低能量 E2 的位點，但在此過程中系統會損失能量 ΔE = E1 ? E2 。根據能量守恒定律，這部分能量并沒有真正丟失，而是以熱量的形式轉移到了熱庫中。同樣，概率 q 的從低能量到高能量的轉移過程需要熱庫為系統提供 ΔE 的能量。因此，我們可以轉換視角；不是問向右或向左跳躍的概率是多少，而是問一個等價的問題，觀察到紅色熱庫多出 ΔE 能量的可能性有多大。這種平衡熱庫中能量漲落的概率由玻爾茲曼因子給出，即，

同樣的邏輯也適用于與粒子庫的粒子交換，這些庫被涂成藍色和綠色，因此，

其中，μleft 和 μright 分別是左側（綠色）和右側（藍色）粒子庫的化學勢。我們注意到，所有三個指數項中的表達式都表示在轉移一個額外單位能量（以及一個額外粒子）時，粒子庫的無量綱熵增，這與方程（1）中的一般局部細致平衡條件一致。

在構建模型時，假設每個環境庫都非常巨大，使得與系統的相互作用不會改變其平衡狀態，因此能量（和粒子）在系統和庫之間可逆地交換。盡管在這種意義上，每次轉變都接近平衡態，但如果各個庫的平衡態差異很大，系統作為一個整體可能遠離平衡態。在這種情況下，圖中會出現循環概率流。每個循環使系統回到初始狀態，同時在庫之間傳遞粒子和能量。值得注意的是，局部細致平衡條件要求，順時針和逆時針遍歷循環的相對概率，由循環過程中所有庫的熵產生決定。例如：

因此，我們看到，當物理系統的動力學由平衡庫介導時，動力學速率不可能是獨立的，而是必須通過環境的熱力學性質相互關聯，這由局部細致平衡條件所體現。

3. 耗散抑制流漲落

非平衡穩態的特征不僅在于耗散率，還在于不可逆的流動或流。這些流在物理上可以表現為通過電阻的電流，分子馬達的運輸，或熱量沿溫度梯度的流動。在跳躍過程的語境下，每一種物理流都可以表示為狀態間跳躍的加權和[6]。

Jτ(x,y) 表示在時間 τ 內從狀態 y 到狀態 x 的凈轉移次數，d(x,y) 是一組不對稱的跳躍權重，滿足 d(x,y)=-d(y,x)。例如，如果一個狀態轉移代表電子進出量子點的傳輸，那么電流就是由粒子電荷加權的跳躍。熵產生（entropy production） 本身是一種重要的“流”，其中 d(x,y) = σ(x,y)。

由于動力學中固有的噪聲，這些“流”在比較不同實現軌跡時會出現漲落。我們可以用其均值 ?Jτ? 和方差 Var(Jτ) 來刻畫這些漲落，如圖1b和c所示。人們認識到，這些穩態流的精度 （即方差與均值的比值） 可以普遍地通過熵產生來限制：

其中 kB 是玻爾茲曼常數[4,7,8]。這一觀察結果在跳躍過程的大偏差理論框架內通過變分方法得到了證明，該方法利用了跳躍過程的統計特性[5,9,10]，并且已被擴展以包括流的聯合漲落[11]。隨后，人們通過信息論概念[15] （如 Cramer–Rao 不等式[16,17]或鞅理論[18]） ，發展了進一步的分析[12,13]和替代推導方法[14]，這些方法自然地擴展到多流擴散動力學。

方程（4）被稱為不確定性關系，因為其左側可以解釋為在時間 τ 內觀察到的穩態流的不確定性。這種不確定性源于動力學的隨機性，但可以將其來源分為兩類。

一類不確定性來自于跳躍序列中的隨機漲落，包括可能出現的回溯現象，即在一對狀態之間來回躍遷而不會產生凈的流積累。為了減少這種噪聲，我們可以使狀態轉移更加具有方向性，也就是提高不對稱性，但這伴隨著熱力學代價，如方程（1）所示。所有狀態轉移的方向性的總代價是熵產生 Στ。

另一類噪聲與熵產生無關，而是與轉變時間的統計特性相關。即使跳躍序列是固定的，跳躍之間的時間也是隨機的。跳躍時間的漲落是連續時間動力學的固有特性，無法通過增加耗散來避免[19?21]。事實上，離散時間隨機過程中的流漲落可能比連續時間過程更小，因為離散時間動力學不存在跳躍時間的噪聲[20,22,23]。

4. 實踐應用

不確定性關系已在多種場景中得到驗證，無論是在特定模型[24-32]還是在實驗中[7]。然而，最有趣的應用不僅限于驗證不等式本身，而是將其作為推斷的基礎[8,33]。一個很好的應用示例來自文獻[34]中對一種行進性分子馬達熱力學效率的分析。這種分子馬達由 ATP 水解的化學勢梯度 Δμ 驅動，以速度 v 對抗機械力 f 拉動貨物，同時以速率 消耗 ATP*。

熱力學效率是對抗機械力所做的功 vf 與ATP提供的化學功Δμ之比：η = vf/(Δμ)。分子馬達將化學功轉化為機械功，在這種情況下，第二定律僅將效率限制為 η ≤ 1，這并沒有提供太多信息。將馬達速度作為流，不確定性關系在已知馬達速度漲落的情況下，給出一個更為嚴格的效率限制：

*譯注：ATP 是三磷酸腺苷 Adenosine Triphosphate 的縮寫，是細胞內最直接的能量來源，其水解反應能夠釋放能量，促進生物體內的一系列生化反應。

如文獻[34]所述，這個不等式使得我們能夠單純通過馬達運動的動力學測量來獲取熱力學信息——即效率的界限，這比直接測量 ATP 消耗速率在實驗上更為簡便。文獻[35]研究了驅動蛋白馬達在不同負載力作用下的效率界限。

5. 擴展到新的動力學類別

方程（4）中的熱力學不確定性關系 （TUR） 適用于在連續時間內演化的跳躍或擴散過程，其非平衡驅動力與時間無關且在時間反演下不改變符號。這些條件排除了一些重要的動力學類別：受到含時約束影響的驅動系統[36]、量子非平衡動力學[37-39]，以及涉及動量或磁場等量的運動 [40-43]。人們很快意識到，放寬這些假設中的任何一個都可能導致方程（4）不再成立。然而，這種局限性反而激發人們發展了熱力學不確定性關系的擴展形式：

其中 f 是僅依賴于耗散的函數。初始的 TUR 方程（4）中，采用的是 f(x) = 2/x；擴展形式中的函數 f 相對更弱，但有更廣泛的適用性。

（1）從有限時間漲落定理出發

與其針對不同類型動力學逐一研究，不如考慮對稱性對流漲落的影響。也就是說，對于許多類型的非平衡模型，包括量子動力學、時間對稱周期性驅動和欠阻尼布朗運動，任何流與熵產生的聯合漲落都滿足漲落定理。基于這樣的漲落定理，文獻[44]證明流漲落可以通過形式為的指數界限來限制。此后不久，在幾乎相同的條件下，漲落定理對稱性所隱含的最嚴格界限被證明具有雙曲形式fh(x) = csch2(g-1(x/2)），其中 g(y)=y·tanh(y)[45]。

由于雙曲界限適用于廣泛的有限時間軌跡，人們可能會期待它取代初始的 TUR，其中 f(x)=2/x。然而，雙曲不等式較弱；跳躍過程流漲落比漲落定理對稱性單獨所能預測的更為嚴格。如果目標是使用 TUR 為基礎從流漲落推斷出熵產生，這種弱點可能尤其不利：較弱的界限會導致較差的推斷。

關鍵在于，不確定性關系之間的差異在長軌跡極限下變得尤為明顯，雙曲和指數不等式在這一極限下失去效力，如圖1c所示。

（2）長時間極限

為了觀察不同的長時間行為，首先考慮有限時間 TUR，即方程（4）在 τ→∞ 時的極限。實際上，人們在知道有限時間結果之前，已經觀察并證明了這個長時間極限，但我們在此顛倒了時間順序，以突出一個結果如何從另一個結果中得出。在長時間下，處于非平衡穩態的系統會以速率σ = limτ→∞ Στ/τ 持續產生熵。此外，任何累積流都會以固定速率 ?j? =limτ→∞ τ>/ τ 增長，其漲落以 Var( j) = lim τ→∞Var( Jτ)/ τ 擴散。方程（4）預測了長時間漲落的一個非平凡界限[4,5]：

類似地，人們可能希望將方程（6）形式的有限時間結果轉換為長時間不等式，并將右側替換為熵產生率 σ 的某個函數。目標仍然是揭示僅依賴于漲落定理的不等式，這些不等式即使在方程（7）失效的動力學過程中仍然有效。自然的候選方案是使用有限時間界限 fe 和 fh 的 τ→∞ 極限，但兩個極限都只給出了平凡的長時間不等式 Var(j)/?j?2 ≥ 0。盡管漲落定理對稱性足以用Στ 來約束有限時間流的漲落 Var(Jτ)/?Jτ?2，但卻沒有用熵產生率 σ 對 Var(j)/?j?2 產生類似的約束。

盡管存在這種局限性，對于時間對稱周期性驅動的情況，確實存在一個非平凡界限，而對于這種情況方程（7）通常不成立。使用大偏差變分方法，長時間極限下每個周期 τ 內的流漲落被一個修正的指數函數所約束[23]：

其中 στ 是一個周期內產生的平均熵。值得注意的是，這個界限涉及與有限時間結果中出現的相同指數函數 fe。這種共同的結構暗示，圍繞 fh 構建的類似方程（8）的形式也可能適用于時間對稱周期性驅動。一個仍然有待解決的問題是，僅通過類似漲落定理這樣的對稱性考慮，是否能夠發展這些和其他長時間流漲落的界限。

（3）打破時間反演對稱性

到目前為止，無論是有限時間還是長時間結果，都假定動力學過程具有時間反演對稱性。當我們需要考慮那些打破時間反演對稱性的驅動因素，例如磁場、時間不對稱的外部約束或反饋時，需要對不確定性關系進行適當的調整。

在這種情況下，時間反演作用會改變過程的物理特性，例如磁場會改變方向。因此，我們可以同時考慮初始過程中的流漲落和時間反演過程 （例如磁場方向相反的過程） 中的流漲落。接著，將這兩個過程的流漲落相加，得到時間對稱的總流漲落，它遵循相同的有限時間不確定性關系[47,48]。這種對稱化的要求似乎加強了時間反演對稱性與 TUR 之間的聯系，但這種聯系僅限于有限時間漲落。將這種關系擴展到長時間結果，例如方程（8），對于研究周期性驅動熱機的效率特別有用，因為外部驅動很少是時間對稱的。

6. 超越流漲落的耗散界限

我們這里關注的熱力學不確定性關系通過平均熵產生率的某種函數來約束流漲落。用于推導這些關系的方法非常強大且通用，允許我們推導出多種類似 TUR 的關系，不僅適用于流，也適用于其他變量。這些關系已經被應用于推導各種權衡 （trade-off） 關系，例如活性[21,49]、首次通過時間 （first passage times） [49,50]和平衡序參量[51]。雖然其中一些漲落界限也涉及熵產生率，其他界限則通過不同方式來約束漲落，包括通過動力學的運動特性 （如平均活性[52-54]） 、通過依賴于狀態空間拓撲結構的度量[41,55]，或通過包含對驅動的動態敏感性從而能夠限制周期性熱機的效率[56]。

每一種這樣的不等式都有其優點和缺點，無論是在概念洞察還是在實際應用上。根據系統參數和測量精度的不同，每種界限對漲落大小的約束也有所不同。我們設想，通過結合針對不同可觀測量的一系列漲落界限，可以對模型參數施加有用的約束，甚至可能有助于模型選擇。這種洞察對于推斷精確微觀機制具有挑戰性的生物系統尤其有價值。

7. 下一步是什么？

所有這些工作使用多種技術推導出一系列關系，適用于各種不同場景。這種多樣性既令人興奮，也帶來了挑戰。事實上，當前狀況讓人聯想到漲落關系發展的早期階段：基于不同的物理假設，人們對動力學提出了許多看似不同的預測，比如非平衡穩態漲落與有限時間做功協議。但后來人們認識到，所有這些預測都是同一漲落關系的變體，可以在一個統一框架內進行解釋。從中我們學到，普遍的熱力學原理往往不太依賴于精確的建模假設。

雖然我們并不期望能有一個統一的熱力學不確定性關系，但希望建立一個有組織的不等式層級結構，并明確界定其適用范圍。這樣一幅廣闊圖景對于從實驗測量中提取信息尤其有價值，因為它允許我們根據對動力學的任何具體知識，將各種關系有機整合起來。

非平衡統計熱力學正迅速揭示隱藏在非平衡系統漲落中的熱力學聯系和對稱性。在這里，我們探討了其中一類最近的預測。盡管展望未來，我們不禁期望能發現更多類似的權衡關系，來定量描述熱力學如何決定非平衡結構和功能。例如，平衡態統計物理學中的一個經典主題是漲落與響應之間的聯系。TUR 教會我們關于某些動態漲落的基本非平衡限制，這自然引出了類似的約束是否也適用于動態響應的問題[15,57]。我們預計，關于遠離平衡的漲落和響應之間的熱力學聯系，還有更多需要我們去探索和理解的領域。

參考文獻

1. Van den Broeck, C. & Esposito, M. Ensemble and trajectory thermodynamics: a brief introduction. Physica A 418, 6–16 (2015).

2. Seifert, U. Stochastic thermodynamics, fuctuation theorems and molecular machines. Rep. Prog. Phys. 75, 126001 (2012).

3. Jarzynski, C. Equalities and inequalities: irreversibility and the second law of thermodynamics at the nanoscale. Ann. Rev. Condens. Matter Phys. 2, 329–351 (2011).

4. Gingrich, T. R., Horowitz, J. M., Perunov, N. & England, J. L. Dissipation bounds all steady-state current fuctuations. Phys. Rev. Lett. 116, 120601 (2016).

5. Pietzonka, P., Barato, A. C. & Seifert, U. Universal bound on the efciency of molecular motors. J. Stat. Mech. Teor. Exp. 2016, 124004 (2016).

6. Seifert, U. Stochastic thermodynamics: from principles to the cost of precision. Physica A 504, 176–191 (2018).

7. Hasegawa, Y. & Van Vu, T. Fluctuation theorem uncertainty relation. Phys. Rev. Lett. 123, 110602 (2019).

8. Timpanaro, A. M., Guarnieri, G., Goold, J. & Landi, G. T. Termodynamic uncertainty relations from exchange fuctuation theorems. Phys. Rev. Lett. 123, 090604 (2019).

9. Barato, A. C. & Seifert, U. Termodynamic uncertainty relation for biomolecular processes. Phys. Rev. Lett. 114, 158101 (2015).

10. Proesmans, K. & Horowitz, J. M. Hysteretic thermodynamic uncertainty relation for systems with broken time-reversal symmetry. J. Stat. Mech. Teor. Exp. 2019, 054005 (2019).

11. Potts, P. P. & Samuelsson, P. Termodynamic uncertainty relations including measurement and feedback. Preprint at https://arxiv.org/abs/1904.04913 (2019).

12. Di Terlizzi, I. & Baiesi, M. Kinetic uncertainty relation. J. Phys. A 52, 02LT03 (2018).

13. Garrahan, J. P. Simple bounds on fuctuations and uncertainty relations for frst-passage times of counting observables. Phys. Rev. E 95, 032134 (2017).

14. Gingrich, T. R. & Horowitz, J. M. Fundamental bounds on frst passage time fuctuations for currents. Phys. Rev. Lett. 119, 170601 (2017).

15. Guioth, J. & Lacoste, D. Termodynamic bounds on equilibrium fuctuations of a global or local order parameter. Europhys. Lett. 115, 60007 (2016).

16. Barato, A. C., Chetrite, R., Faggionato, A. & Gabrielli, D. Bounds on current fuctuations in periodically driven systems. New J. Phys. 20, 103023 (2018).

17. Barato, A. C., Chetrite, R., Faggionato, A. & Gabrielli, D. A unifying picture of generalized thermodynamic uncertainty relations. J. Stat. Mech. Teor. Exp. 2019, 084017 (2019).

18. Koyuk, T., Seifert, U. & Pietzonka, P. A generalization of the thermodynamic uncertainty relation to periodically driven systems. J. Phys. A 52, 02LT02 (2018).

19. Macieszczak, K., Brandner, K. & Garrahan, J. P. Unifed thermodynamic uncertainty relations in linear response. Phys. Rev. Lett. 121, 130601 (2018).

20. Pietzonka, P., Barato, A. C. & Seifert, U. Afnity-and topology-dependent bound on current fuctuations. J. Phys. A 49, 34LT01 (2016).

21. Koyuk, T. & Seifert, U. Operationally accessible bounds on fuctuations and entropy production in periodically driven systems. Phys. Rev. Lett. 122, 230601 (2019).

22. Dechant, A. & Sasa, S.-I. Fluctuation-response inequality out of equilibrium. Preprint at https://arxiv.org/abs/1804.08250 (2018).

23. Owen, J. A., Gingrich, T. R. & Horowitz, J. M. Universal thermodynamic bounds on nonequilibrium response with biochemical applications. Preprint at https://arxiv.org/abs/1905.07449 (2019).

24. Falasco, G., Pfaller, R., Bregulla, A. P. & Kroy, K. Exact symmetries in the velocity fluctuations of a hot Brownian swimmer. Phys. Rev. E 94, 030620(R) (2016).

25. Hyeon, C. & Hwang, W. Physical insight into the thermodynamic uncertainty relation using Brownian motion in tilted periodic potentials. Phys. Rev. E 96, 012156 (2017).

26. Barato, A. C. & Seifert, U. Coherence of biochemical oscillations is bounded by driving force and network topology. Phys. Rev. E 95, 062409 (2017). Proesmans, K., Peliti, L. & Lacoste, D. in Chemical Kinetics: Beyond the

27. Textbook (eds Lindenberg, K. et al.) Ch. 17 (World Scientific, 2019).

28. Wierenga, H., ten Wolde, P. R. & Beck, N. B. Quantifying fluctuations in reversible enzymatic cycles and clocks. Phys. Rev. E 97, 042404 (2018).

29. Marsland, R., Cui, W. & Horowitz, J. M. The thermodynamic uncertainty relation in biochemcial oscillations. J. R. Soc. Interface 16, (2019).

30. Brown, A. I. & Sivak, D. A. Pulling cargo increases the precision of molecular motor progress. Europhy. Lett. 126, 40004 (2019).

31. Shankar, S. & Marchetti, M. C. Hidden entropy production and work fluctuations in an ideal active gas. Phys. Rev. E 98, 020604(R) (2018).

32. Lee, S., Hyeon, C. & Jo, J. Thermodynamic uncertainty relation of interacting oscillators in synchrony. Phys. Rev. E 98, 032119 (2018).

33. Li, J., Horowitz, J. M., Gingrich, T. R. & Fakhri, N. Quantifying dissipation using fluctuating currents. Nat. Commun. 10, 1666 (2019).

34. Pietzonka, P., Barato, A. C. & Seifert, U. Universal bound on the efficiency of molecular motors. J. Stat. Mech. Theor. Exp. 2016, 124004 (2016).

35. Seifert, U. Stochastic thermodynamics: from principles to the cost of precision. Physica A 504, 176–191 (2018).

36. Barato, A. C. & Seifert, U. Cost and precision of Brownian clocks. Phys. Rev. X 6, 041053 (2016).

37. Ptaszynński, K. Coherence-enhanced constancy of a quantum thermoelectric generator. Phys. Rev. B 98, 085425 (2018).

38. Agarwalla, B. K. & Segal, D. Assessing the validity of the thermodynamic uncertainty relation in quantum systems. Phys. Rev. B 98, 155438 (2018).

39. Liu, J. & Segal, D. Thermodynamic uncertainty relation in quantum thermoelectric junctions. Phys. Rev. E 99, 062141 (2019).

40. Brandner, K., Hanazato, T. & Saito, K. Thermodynamic bounds on precision in ballistic multiterminal transport. Phys. Rev. Lett. 120, 090601 (2018).

41. Macieszczak, K., Brandner, K. & Garrahan, J. P. Unified thermodynamic uncertainty relations in linear response. Phys. Rev. Lett. 121, 130601 (2018).

42. Fischer, L. P., Pietzonka, P. & Seifert, U. Large deviation function for a driven underdamped particle in a periodic potential. Phys. Rev. E 97, 022143 (2018).

43. Chun, H.-M., Fischer, L. P. & Seifert, U. Effect of a magnetic field on the thermodynamic uncertainty relation. Phys. Rev. E 99, 042128 (2019).

44. Hasegawa, Y. & Van Vu, T. Fluctuation theorem uncertainty relation. Phys. Rev. Lett. 123, 110602 (2019).

45. Timpanaro, A. M., Guarnieri, G., Goold, J. & Landi, G. T. Thermodynamic uncertainty relations from exchange fluctuation theorems. Phys. Rev. Lett. 123, 090604 (2019).

46. Seifert, U. From stochastic thermodynamics to thermodynamic inference. Annu. Rev. Condens. Matter Phys. 10, 171–192 (2019).

47. Proesmans, K. & Horowitz, J. M. Hysteretic thermodynamic uncertainty relation for systems with broken time-reversal symmetry. J. Stat. Mech. Theor. Exp. 2019, 054005 (2019).

48. Potts, P. P. & Samuelsson, P. Thermodynamic uncertainty relations including measurement and feedback. Preprint at https://arxiv.org/abs/1904.04913 (2019).

49. Garrahan, J. P. Simple bounds on fluctuations and uncertainty relations for first-passage times of counting observables. Phys. Rev. E 95, 032134 (2017).

50. Gingrich, T. R. & Horowitz, J. M. Fundamental bounds on first passage time fluctuations for currents. Phys. Rev. Lett. 119, 170601 (2017).

51. Guioth, J. & Lacoste, D. Thermodynamic bounds on equilibrium fluctuations of a global or local order parameter. Europhys. Lett. 115, 60007 (2016).

52. Barato, A. C., Chetrite, R., Faggionato, A. & Gabrielli, D. Bounds on current fluctuations in periodically driven systems. New J. Phys. 20, 103023 (2018).

53. Barato, A. C., Chetrite, R., Faggionato, A. & Gabrielli, D. A unifying picture of generalized thermodynamic uncertainty relations. J. Stat. Mech. Theor. Exp. 2019, 084017 (2019).

54. Koyuk, T., Seifert, U. & Pietzonka, P. A generalization of the thermodynamic uncertainty relation to periodically driven systems. J. Phys. A 52, 02LT02 (2018).

55. Pietzonka, P., Barato, A. C. & Seifert, U. Affinity-and topology-dependent bound on current fluctuations. J. Phys. A 49, 34LT01 (2016).

56. Koyuk, T. & Seifert, U. Operationally accessible bounds on fluctuations and entropy production in periodically driven systems. Phys. Rev. Lett. 122, 230601 (2019).

57. Owen, J. A., Gingrich, T. R. & Horowitz, J. M. Universal thermodynamic bounds on nonequilibrium response with biochemical applications. Preprint at https://arxiv.org/abs/1905.07449 (2019).

（參考文獻可上下滑動查看）

非平衡統計物理讀書會啟動！

2024年諾貝爾物理學獎授予人工神經網絡，這是一場統計物理引發的機器學習革命。統計物理學不僅能解釋熱學現象，還能幫助我們理解從微觀粒子到宏觀宇宙的各個層級如何聯系起來，復雜現象如何涌現。它通過研究大量粒子的集體行為，成功地將微觀世界的隨機性與宏觀世界的確定性聯系起來，為我們理解自然界提供了強大的工具，也為機器學習和人工智能領域的發展提供了重要推動力。

為了深入探索統計物理前沿進展，集智俱樂部聯合西湖大學理學院及交叉科學中心講席教授湯雷翰、紐約州立大學石溪分校化學和物理學系教授汪勁、德累斯頓系統生物學中心博士后研究員梁師翎、香港浸會大學物理系助理教授唐乾元，以及多位國內外知名學者共同發起。讀書會旨在探討統計物理學的最新理論突破，統計物理在復雜系統和生命科學中的應用，以及與機器學習等前沿領域的交叉研究。讀書會從12月12日開始，每周四晚20:00-22:00進行，持續時間預計12周。我們誠摯邀請各位朋友參與討論交流，一起探索愛因斯坦眼中的普適理論！

詳情請見：

1.

2.

3.

4.

5.

6.