廣義對稱性是一種超越群論的新型的對稱性，其需要用高一維的拓撲序來描寫。演生的廣義對稱性可能完全決定無能隙態（也就是量子場論）的低能性質，這 改變了我們對量子場論和無能隙系統的基本看法和思路。這將成為量子場論與強關聯量子物質研究的一個重要方向，甚至可能是一個主導的方向。

撰文|文小剛（美國國家科學院院士、麻省理工學院格林講席教授）

編輯 | 陳鋼（北京大學）

凝聚態物理是研究多體系統 （如材料） 物理性質的學科。該領域最重要的問題之一是理解材料中大量自由度在量子基態 （即低溫態） 下的組織形式，因為系統幾乎所有的低溫性質都由此決定。我們將量子基態中的這種組織形式稱為“量子糾纏模式”。

數學上，N粒子系統的基態由波函數，一個關于N個變量的復函數Φ(m1,m2, …,mN)，來描述。要理解多體系統的量子糾纏模式 （即理解多體系統的量子相——這里的“相”指液相、固相等相態） ，我們需要對N→∞極限下的復波函數Φ(m1,m2, …,mN)進行分類。這種分類問題是物理學最基礎的問題之一，因為它決定了多體系統可能存在的相態。

由于歷史原因，長期以來物理學家認為波函數 （即量子糾纏模式） 可通過對稱性分類，例如波函數是否在"自旋"旋轉Φ(mi) → Φ(mi+m)下保持不變。基于此種觀點，人們認為物質的相也由對稱性分類，而對稱性都可用數學中的群論來描寫。這就是群論成為物理學重要數學基礎的原因，也是每位物理學生都需要學習群論的原因。然而1989年的研究發現，僅憑對稱性不足以完全分類波函數Φ(m1,m2, …,mN)具備的所有可能的組織形式。為了理解超越對稱性的新型多體組織形式，我們需要把物質態分為兩類。一類是有能隙的物質態，一類是無能隙的物質態。有能隙的物質態，包括絕緣體，量子霍爾態等等，其需要注入一個有限大小的能量來產生一個激發。無能隙的物質態，包括超導體，超流體，量子相變的臨界點等等，其產生一個激發所需的能量可以是無限小。這兩種物質態，都具有超越對稱性的組織形式（也具有由對稱性所描寫的組織形式）。

在有能隙系統中，這種超越對稱性的新型多體組織形式被稱為“拓撲序” （2010年，我們意識到拓撲序本質上是長程糾纏的模式） ，這開啟了凝聚態物理理論研究的一個新方向。

超越對稱性框架，在N→∞極限下，對波函數Φ(m1,m2, …,mN)進行完全分類，這一數學問題極具挑戰性。而發展這一描述多體糾纏模式的數學理論至關重要，代表著理論物理的未來方向。

其實，多體糾纏 （即拓撲序） 是物理學中的全新現象，其需要全新數學語言來描述。這正像牛頓時代曲線運動需要全新的數學——微積分——來描述。這種新數學是什么？2005年以來的研究表明，高階融合范疇理論可能正是描述長程糾纏的數學框架，正如群論是描述物理中對稱破缺的數學框架，這為我們全面理解有能隙物態提供了數學的框架及語言。這讓我們對有能隙物態有了一個完全系統的理解。

下一步，我們想要完全系統地理解聯無能隙量子物態與量子場論 （這兩個名稱指向同一問題） 。這些無能隙的量子物質可能甚至沒有弱相互作用的準粒子激發。這是理論物理學長期懸而未決的難題。我們在量子色動力學 （QCD） 、早期宇宙相變、高溫超導體、量子自旋液體、量子材料臨界點等問題中都面臨這一困境。近年來理論物理學的新進展，讓我們有望在這一長期難題上取得突破，這或將推動理論物理學進入新紀元。

這一新發展受到兩個方面的推動：第一個是過去三十余年通過對有能隙高度糾纏物質相 （即拓撲序） 的研究，我們發現拓撲序和多體糾纏模式可通過新數學理論——高階融合范疇——來進行描述和分類；第二個是近十年對對稱性本質有了更全面深入的理解。

眾所周知，對稱性可約束低能動力性質，也就是限制無能隙態和量子場論的性質。同樣值得注意的是，無能隙態和量子場論在低能區可呈現演生對稱性，我們可利用這種演生對稱性來表征無能隙態和量子場論的低能性質。

過去十年來，我們發現量子系統演生對稱性的形式十分豐富：既包括傳統群論描述的對稱性，也包含反常對稱性、高階群所描述的高階對稱性、反常高階對稱性，以及超越群與高階群的不可逆對稱性等。所有這些廣義對稱性都可用于表征無能隙態和量子場論的低能性質。

當對稱性被如此深度推廣后，其與 （不可逆的） 引力反常已難以區分——后者同樣可約束低能動力性質。我們又知道 （不可逆的） 引力反常本質上就是高一維的拓撲序。這兩點發現引導我們建立了描述上述廣義對稱性的統一理論。這一統一理論不是群論，而是高一維的拓撲序，也就是數學上的高階融合范疇。

當把對稱性理論如此深遠地擴展之后，我們突然發現，有一個愿景，或者說是夢想，也許可以成真：演生的廣義對稱性可能完全決定無能隙態 （也就是量子場論） 的低能性質。換言之，每一個可能的低能性質都對應于一個演生的廣義對稱性。如此一來，對高階融合范疇的分類 （既對高一維的拓撲序的分類） 將導致對所有可能低能性質 （即可能的共形場論） 的分類。若此猜想成立，我們對無能隙態和量子場論的理解將躍升至新高度。量子場論問題，將不是一個微積分問題、微分方程問題、格林函數問題或纖維叢問題，而是一個范疇問題。或者更進一步，是一個數論問題。這完全改變了我們對量子場論和無能隙系統的基本看法和思路。這將成為量子場論與強關聯量子物質研究的一個重要的方向，甚至可能是一個主導的方向。

中國和華裔科學家在這一新方向有眾多開創性的貢獻。下面羅列一些這方面早期的直接相關和間接相關的研究工作：

[1] Alexei Kitaev, Liang Kong

Models for gapped boundaries and domain walls

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[2] L. Kong and X.-G. Wen,

Braided fusion categories, gravitational anomalies, and the mathematical framework for topological orders in any dimensions,

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[3] D. Fiorenza and A. Valentino,

Boundary conditions for topological quantum field theories, anomalies and projective modular functors,

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https://arxiv.org/abs/1409.5723

[4] Maissam Barkeshli, Parsa Bonderson, Meng Cheng, Zhenghan Wang

Symmetry Fractionalization, Defects, and Gauging of Topological Phases

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[5] D. Gaiotto, A. Kapustin, N. Seiberg, and B. Willett,

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[6] L. Kong, X.-G. Wen, and H. Zheng,

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[7] Meng Cheng, Cenke Xu

A series of (2+1)D Stable Self-Dual Interacting Conformal Field Theories

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[8] Tian Lan, Liang Kong, Xiao-Gang Wen

A classification of 3+1D bosonic topological orders (I): the case when point-like excitations are all bosons

https://arxiv.org/abs/1704.04221

[9] L. Kong and H. Zheng,

Gapless edges of 2d topological orders and enriched monoidal categories,

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[10] C.-M. Chang, Y.-H. Lin, S.-H. Shao, Y. Wang, and X. Yin,

Topological defect lines and renormalization group flows in two dimensions,

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[11] F. Benini, C. Córdova, and P.-S. Hsin,

On 2-group global symmetries and their anomalies,

J. High Energ. Phys. 2019 (3), 118,

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[12] C. Zhu, T. Lan, and X.-G. Wen,

Topological nonlinear σ-model, higher gauge theory, and a systematic con-

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[13] Qing-Rui Wang, Zheng-Cheng Gu

Construction and classification of symmetry protected topological phases in interacting fermion systems

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Higher anomalies, higher symmetries, and cobordisms I: classification of higher-

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Bulk anyons as edge symmetries: Boundary phase diagrams of topologically ordered

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Anyon Condensation: Coherent states, Symmetry Enriched Topological Phases, Goldstone Theorem, and Dynamical Rearrangement of Symmetry

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Exactly Solvable Lattice Hamiltonians and Gravitational Anomalies

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Kramers-Wannier-like duality defects in (3+1)d gauge theories

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Construction and classification of crystalline topological superconductor and insulators in three-dimensional interacting fermion systems

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Higher-group symmetry in finite gauge theory and stabilizer codes

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Emergent Symmetry in Quantum Phase Transitions: From Deconfined Quantum Critical Point to Gapless Quantum Spin Liquid

https://arxiv.org/abs/2212.00707

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Fermionic Higher-form Symmetries

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Quantum Current and Holographic Categorical Symmetry

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Intrinsically/Purely Gapless-SPT from Non-Invertible Duality Transformations

https://arxiv.org/abs/2307.04788

[35] Ruizhi Liu, Ho Tat Lam, Han Ma, Liujun Zou

Symmetries and anomalies of Kitaev spin-S models: Identifying symmetry-enforced exotic quantum matter

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[36] Xing-Yu Ren, Shang-Qiang Ning, Yang Qi, Qing-Rui Wang, Zheng-Cheng Gu

Stacking Group Structure of Fermionic Symmetry-Protected Topological Phases

https://arxiv.org/abs/2310.19058

[37] Gong Cheng, Lin Chen, Zheng-Cheng Gu, Ling-Yan Hung

Precision reconstruction of rational CFT from exact fixed point tensor network

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Higher condensation theory

https://arxiv.org/abs/2403.07813

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Quantum Cellular Automata on Symmetric Subalgebras

https://arxiv.org/abs/2411.19280

[41] Ryohei Kobayashi, Yuyang Li, Hanyu Xue, Po-Shen Hsin, Yu-An Chen

Universal microscopic descriptions for statistics of particles and extended excitations

https://arxiv.org/abs/2412.01886

本文轉載自《返樸》微信公眾號

《物理》50年精選文章