廣義對(duì)稱性是一種超越群論的新型的對(duì)稱性，其需要用高一維的拓?fù)湫騺?lái)描寫。演生的廣義對(duì)稱性可能完全決定無(wú)能隙態(tài)（也就是量子場(chǎng)論）的低能性質(zhì)，這 改變了我們對(duì)量子場(chǎng)論和無(wú)能隙系統(tǒng)的基本看法和思路。這將成為量子場(chǎng)論與強(qiáng)關(guān)聯(lián)量子物質(zhì)研究的一個(gè)重要方向，甚至可能是一個(gè)主導(dǎo)的方向。

撰文|文小剛（美國(guó)國(guó)家科學(xué)院院士、麻省理工學(xué)院格林講席教授）

編輯 | 陳鋼（北京大學(xué)）

凝聚態(tài)物理是研究多體系統(tǒng) （如材料） 物理性質(zhì)的學(xué)科。該領(lǐng)域最重要的問(wèn)題之一是理解材料中大量自由度在量子基態(tài) （即低溫態(tài)） 下的組織形式，因?yàn)橄到y(tǒng)幾乎所有的低溫性質(zhì)都由此決定。我們將量子基態(tài)中的這種組織形式稱為“量子糾纏模式”。

數(shù)學(xué)上，N粒子系統(tǒng)的基態(tài)由波函數(shù)，一個(gè)關(guān)于N個(gè)變量的復(fù)函數(shù)Φ(m1,m2, …,mN)，來(lái)描述。要理解多體系統(tǒng)的量子糾纏模式 （即理解多體系統(tǒng)的量子相——這里的“相”指液相、固相等相態(tài)） ，我們需要對(duì)N→∞極限下的復(fù)波函數(shù)Φ(m1,m2, …,mN)進(jìn)行分類。這種分類問(wèn)題是物理學(xué)最基礎(chǔ)的問(wèn)題之一，因?yàn)樗鼪Q定了多體系統(tǒng)可能存在的相態(tài)。

由于歷史原因，長(zhǎng)期以來(lái)物理學(xué)家認(rèn)為波函數(shù) （即量子糾纏模式） 可通過(guò)對(duì)稱性分類，例如波函數(shù)是否在"自旋"旋轉(zhuǎn)Φ(mi) → Φ(mi+m)下保持不變。基于此種觀點(diǎn)，人們認(rèn)為物質(zhì)的相也由對(duì)稱性分類，而對(duì)稱性都可用數(shù)學(xué)中的群論來(lái)描寫。這就是群論成為物理學(xué)重要數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的原因，也是每位物理學(xué)生都需要學(xué)習(xí)群論的原因。然而1989年的研究發(fā)現(xiàn)，僅憑對(duì)稱性不足以完全分類波函數(shù)Φ(m1,m2, …,mN)具備的所有可能的組織形式。為了理解超越對(duì)稱性的新型多體組織形式，我們需要把物質(zhì)態(tài)分為兩類。一類是有能隙的物質(zhì)態(tài)，一類是無(wú)能隙的物質(zhì)態(tài)。有能隙的物質(zhì)態(tài)，包括絕緣體，量子霍爾態(tài)等等，其需要注入一個(gè)有限大小的能量來(lái)產(chǎn)生一個(gè)激發(fā)。無(wú)能隙的物質(zhì)態(tài)，包括超導(dǎo)體，超流體，量子相變的臨界點(diǎn)等等，其產(chǎn)生一個(gè)激發(fā)所需的能量可以是無(wú)限小。這兩種物質(zhì)態(tài)，都具有超越對(duì)稱性的組織形式（也具有由對(duì)稱性所描寫的組織形式）。

在有能隙系統(tǒng)中，這種超越對(duì)稱性的新型多體組織形式被稱為“拓?fù)湫?/strong>” （2010年，我們意識(shí)到拓?fù)湫虮举|(zhì)上是長(zhǎng)程糾纏的模式） ，這開(kāi)啟了凝聚態(tài)物理理論研究的一個(gè)新方向。

超越對(duì)稱性框架，在N→∞極限下，對(duì)波函數(shù)Φ(m1,m2, …,mN)進(jìn)行完全分類，這一數(shù)學(xué)問(wèn)題極具挑戰(zhàn)性。而發(fā)展這一描述多體糾纏模式的數(shù)學(xué)理論至關(guān)重要，代表著理論物理的未來(lái)方向。

其實(shí)，多體糾纏 （即拓?fù)湫颍?是物理學(xué)中的全新現(xiàn)象，其需要全新數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述。這正像牛頓時(shí)代曲線運(yùn)動(dòng)需要全新的數(shù)學(xué)——微積分——來(lái)描述。這種新數(shù)學(xué)是什么？2005年以來(lái)的研究表明，高階融合范疇理論可能正是描述長(zhǎng)程糾纏的數(shù)學(xué)框架，正如群論是描述物理中對(duì)稱破缺的數(shù)學(xué)框架，這為我們?nèi)胬斫庥心芟段飸B(tài)提供了數(shù)學(xué)的框架及語(yǔ)言。這讓我們對(duì)有能隙物態(tài)有了一個(gè)完全系統(tǒng)的理解。

下一步，我們想要完全系統(tǒng)地理解聯(lián)無(wú)能隙量子物態(tài)與量子場(chǎng)論 （這兩個(gè)名稱指向同一問(wèn)題） 。這些無(wú)能隙的量子物質(zhì)可能甚至沒(méi)有弱相互作用的準(zhǔn)粒子激發(fā)。這是理論物理學(xué)長(zhǎng)期懸而未決的難題。我們?cè)诹孔由珓?dòng)力學(xué) （QCD） 、早期宇宙相變、高溫超導(dǎo)體、量子自旋液體、量子材料臨界點(diǎn)等問(wèn)題中都面臨這一困境。近年來(lái)理論物理學(xué)的新進(jìn)展，讓我們有望在這一長(zhǎng)期難題上取得突破，這或?qū)⑼苿?dòng)理論物理學(xué)進(jìn)入新紀(jì)元。

這一新發(fā)展受到兩個(gè)方面的推動(dòng)：第一個(gè)是過(guò)去三十余年通過(guò)對(duì)有能隙高度糾纏物質(zhì)相 （即拓?fù)湫颍?的研究，我們發(fā)現(xiàn)拓?fù)湫蚝投囿w糾纏模式可通過(guò)新數(shù)學(xué)理論——高階融合范疇——來(lái)進(jìn)行描述和分類；第二個(gè)是近十年對(duì)對(duì)稱性本質(zhì)有了更全面深入的理解。

眾所周知，對(duì)稱性可約束低能動(dòng)力性質(zhì)，也就是限制無(wú)能隙態(tài)和量子場(chǎng)論的性質(zhì)。同樣值得注意的是，無(wú)能隙態(tài)和量子場(chǎng)論在低能區(qū)可呈現(xiàn)演生對(duì)稱性，我們可利用這種演生對(duì)稱性來(lái)表征無(wú)能隙態(tài)和量子場(chǎng)論的低能性質(zhì)。

過(guò)去十年來(lái)，我們發(fā)現(xiàn)量子系統(tǒng)演生對(duì)稱性的形式十分豐富：既包括傳統(tǒng)群論描述的對(duì)稱性，也包含反常對(duì)稱性、高階群所描述的高階對(duì)稱性、反常高階對(duì)稱性，以及超越群與高階群的不可逆對(duì)稱性等。所有這些廣義對(duì)稱性都可用于表征無(wú)能隙態(tài)和量子場(chǎng)論的低能性質(zhì)。

當(dāng)對(duì)稱性被如此深度推廣后，其與 （不可逆的） 引力反常已難以區(qū)分——后者同樣可約束低能動(dòng)力性質(zhì)。我們又知道 （不可逆的） 引力反常本質(zhì)上就是高一維的拓?fù)湫?。這兩點(diǎn)發(fā)現(xiàn)引導(dǎo)我們建立了描述上述廣義對(duì)稱性的統(tǒng)一理論。這一統(tǒng)一理論不是群論，而是高一維的拓?fù)湫?，也就是?shù)學(xué)上的高階融合范疇。

當(dāng)把對(duì)稱性理論如此深遠(yuǎn)地?cái)U(kuò)展之后，我們突然發(fā)現(xiàn)，有一個(gè)愿景，或者說(shuō)是夢(mèng)想，也許可以成真：演生的廣義對(duì)稱性可能完全決定無(wú)能隙態(tài) （也就是量子場(chǎng)論） 的低能性質(zhì)。換言之，每一個(gè)可能的低能性質(zhì)都對(duì)應(yīng)于一個(gè)演生的廣義對(duì)稱性。如此一來(lái)，對(duì)高階融合范疇的分類 （既對(duì)高一維的拓?fù)湫虻姆诸悾?將導(dǎo)致對(duì)所有可能低能性質(zhì) （即可能的共形場(chǎng)論） 的分類。若此猜想成立，我們對(duì)無(wú)能隙態(tài)和量子場(chǎng)論的理解將躍升至新高度。量子場(chǎng)論問(wèn)題，將不是一個(gè)微積分問(wèn)題、微分方程問(wèn)題、格林函數(shù)問(wèn)題或纖維叢問(wèn)題，而是一個(gè)范疇問(wèn)題?；蛘吒M(jìn)一步，是一個(gè)數(shù)論問(wèn)題。這完全改變了我們對(duì)量子場(chǎng)論和無(wú)能隙系統(tǒng)的基本看法和思路。這將成為量子場(chǎng)論與強(qiáng)關(guān)聯(lián)量子物質(zhì)研究的一個(gè)重要的方向，甚至可能是一個(gè)主導(dǎo)的方向。

中國(guó)和華裔科學(xué)家在這一新方向有眾多開(kāi)創(chuàng)性的貢獻(xiàn)。下面羅列一些這方面早期的直接相關(guān)和間接相關(guān)的研究工作：

[1] Alexei Kitaev, Liang Kong

Models for gapped boundaries and domain walls

https://arxiv.org/abs/1104.5047

[2] L. Kong and X.-G. Wen,

Braided fusion categories, gravitational anomalies, and the mathematical framework for topological orders in any dimensions,

https://arxiv.org/abs/1405.5858

[3] D. Fiorenza and A. Valentino,

Boundary conditions for topological quantum field theories, anomalies and projective modular functors,

Commun. Math. Phys. 338, 1043 (2015),

https://arxiv.org/abs/1409.5723

[4] Maissam Barkeshli, Parsa Bonderson, Meng Cheng, Zhenghan Wang

Symmetry Fractionalization, Defects, and Gauging of Topological Phases

https://arxiv.org/abs/1410.4540

[5] D. Gaiotto, A. Kapustin, N. Seiberg, and B. Willett,

Generalized global symmetries,

J. High Energ. Phys. 172, (2015);

https://arxiv.org/abs/1412.5148

[6] L. Kong, X.-G. Wen, and H. Zheng,

Boundary-bulk relation for topological orders as the functor mapping higher

categories to their centers,

https://arxiv.org/abs/1502.01690

[7] Meng Cheng, Cenke Xu

A series of (2+1)D Stable Self-Dual Interacting Conformal Field Theories

https://arxiv.org/abs/1609.02560

[8] Tian Lan, Liang Kong, Xiao-Gang Wen

A classification of 3+1D bosonic topological orders (I): the case when point-like excitations are all bosons

https://arxiv.org/abs/1704.04221

[9] L. Kong and H. Zheng,

Gapless edges of 2d topological orders and enriched monoidal categories,

Nucl. Phys. B 927, 140 (2018),

https://arxiv.org/abs/1705.01087

[10] C.-M. Chang, Y.-H. Lin, S.-H. Shao, Y. Wang, and X. Yin,

Topological defect lines and renormalization group flows in two dimensions,

J. High Energ. Phys. 2019 (1), 26,

https://arxiv.org/abs/1802.04445

[11] F. Benini, C. Córdova, and P.-S. Hsin,

On 2-group global symmetries and their anomalies,

J. High Energ. Phys. 2019 (3), 118,

https://arxiv.org/abs/1803.09336

[12] C. Zhu, T. Lan, and X.-G. Wen,

Topological nonlinear σ-model, higher gauge theory, and a systematic con-

struction of 3+1D topological orders for boson systems,

Phys. Rev. B 100, 045105 (2019),

https://arxiv.org/abs/1808.09394

[13] Qing-Rui Wang, Zheng-Cheng Gu

Construction and classification of symmetry protected topological phases in interacting fermion systems

https://arxiv.org/abs/1811.00536

[14] Z. Wan and J. Wang,

Higher anomalies, higher symmetries, and cobordisms I: classification of higher-

symmetry-protected topological states and their boundary fermionic/bosonic anomalies via a generalized cobordism theory,

Annals of Mathematical Sciences and Applications 4, 107 (2019), https://arxiv.org/abs/1812.11967

[15] Ce Shen, Ling-Yan Hung

A Defect Verlinde Formula

https://arxiv.org/abs/1901.08285

[16] R. Thorngren and Y. Wang,

Fusion Category Symmetry I: Anomaly In-Flow and Gapped Phases,

J. High Energ. Phys. 2024, 132,

https://arxiv.org/abs/1912.02817

[17] W. Ji and X.-G. Wen,

Categorical symmetry and non-invertible anomaly in symmetry-breaking and topological phase transitions,

Phys. Rev. Res. 2, 033417 (2020),

https://arxiv.org/abs/1912.13492

[18] T. Lichtman, R. Thorngren, N. H. Lindner, A. Stern, and E. Berg,

Bulk anyons as edge symmetries: Boundary phase diagrams of topologically ordered

states,

Physical Review B 104, 075141 (2021),

https://arxiv.org/abs/2003.04328

[19] L. Kong, T. Lan, X.-G. Wen, Z.-H. Zhang, and H. Zheng,

Algebraic higher symmetry and categorical symmetry: A holographic and entanglement view of symmetry,

Phys. Rev. Res. 2, 043086 (2020),

https://arxiv.org/abs/2005.14178

[20] Yuting Hu, Yidun Wan

Electric-Magnetic duality in twisted quantum double model of topological orders

https://arxiv.org/abs/2007.15636

[21] D. Gaiotto and J. Kulp,

Orbifold groupoids,

J. High Energ. Phys. 2021 (2), 132,

https://arxiv.org/abs/2008.05960

[22] Yuting Hu, Zichang Huang, Ling-yan Hung, Yidun Wan

Anyon Condensation: Coherent states, Symmetry Enriched Topological Phases, Goldstone Theorem, and Dynamical Rearrangement of Symmetry

https://arxiv.org/abs/2109.06145

[23] Yu-An Chen, Po-Shen Hsin

Exactly Solvable Lattice Hamiltonians and Gravitational Anomalies

https://arxiv.org/abs/2110.14644

[24] Yichul Choi, Clay Cordova, Po-Shen Hsin, Ho Tat Lam, Shu-Heng Shao

Non-Invertible Duality Defects in 3+1 Dimensions

https://arxiv.org/abs/2111.01139

[25] Justin Kaidi, Kantaro Ohmori, Yunqin Zheng

Kramers-Wannier-like duality defects in (3+1)d gauge theories

https://arxiv.org/abs/2111.01141

[26] F. Apruzzi, F. Bonetti, I. Etxebarria, S. Hosseini, and S. Sch?fer-Nameki,

Symmetry TFTs from string theory,

Communications in Mathematical Physics 402, 895 (2023),

https://arxiv.org/abs/2112.02092

[27] A. Chatterjee and X.-G. Wen,

Symmetry as a shadow of topological order and a derivation of topological holographic principle,

Phys. Rev. B 107, 155136 (2023),

https://arxiv.org/abs/2203.03596

[28] Jian-Hao Zhang, Shang-Qiang Ning, Yang Qi, Zheng-Cheng Gu

Construction and classification of crystalline topological superconductor and insulators in three-dimensional interacting fermion systems

https://arxiv.org/abs/2204.13558

[29] Zhi-Feng Zhang, Qing-Rui Wang, Peng Ye

Non-Abelian Fusion, Shrinking and Quantum Dimensions of Abelian Gauge Fluxes

https://arxiv.org/abs/2208.09228

[30] Maissam Barkeshli, Yu-An Chen, Po-Shen Hsin, Ryohei Kobayashi

Higher-group symmetry in finite gauge theory and stabilizer codes

https://arxiv.org/abs/2211.11764

[31] Wen-Yuan Liu, Shou-Shu Gong, Wei-Qiang Chen, Zheng-Cheng Gu

Emergent Symmetry in Quantum Phase Transitions: From Deconfined Quantum Critical Point to Gapless Quantum Spin Liquid

https://arxiv.org/abs/2212.00707

[32] Yi-Nan Wang, Yi Zhang

Fermionic Higher-form Symmetries

https://arxiv.org/abs/2303.12633

[33] T. Lan and J.-R. Zhou,

Quantum Current and Holographic Categorical Symmetry

https://arxiv.org/abs/2305.12917

[34] Linhao Li, Masaki Oshikawa, Yunqin Zheng

Intrinsically/Purely Gapless-SPT from Non-Invertible Duality Transformations

https://arxiv.org/abs/2307.04788

[35] Ruizhi Liu, Ho Tat Lam, Han Ma, Liujun Zou

Symmetries and anomalies of Kitaev spin-S models: Identifying symmetry-enforced exotic quantum matter

https://arxiv.org/abs/2310.16839

[36] Xing-Yu Ren, Shang-Qiang Ning, Yang Qi, Qing-Rui Wang, Zheng-Cheng Gu

Stacking Group Structure of Fermionic Symmetry-Protected Topological Phases

https://arxiv.org/abs/2310.19058

[37] Gong Cheng, Lin Chen, Zheng-Cheng Gu, Ling-Yan Hung

Precision reconstruction of rational CFT from exact fixed point tensor network

https://arxiv.org/abs/2311.18005

[38] Leonardo A. Lessa, Meng Cheng, Chong Wang

Mixed-state quantum anomaly and multipartite entanglement

https://arxiv.org/abs/2401.17357

[39] Liang Kong, Zhi-Hao Zhang, Jiaheng Zhao, Hao Zheng

Higher condensation theory

https://arxiv.org/abs/2403.07813

[40] Ruochen Ma, Yabo Li, Meng Cheng

Quantum Cellular Automata on Symmetric Subalgebras

https://arxiv.org/abs/2411.19280

[41] Ryohei Kobayashi, Yuyang Li, Hanyu Xue, Po-Shen Hsin, Yu-An Chen

Universal microscopic descriptions for statistics of particles and extended excitations

https://arxiv.org/abs/2412.01886

本文轉(zhuǎn)載自《返樸》微信公眾號(hào)

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