素數等差數列及素數級數的探討

《正整數》一書草稿的第一章已經公開發布到了網上，標題是“新素數理論體系”。這一章雖然把新發現的“新數論理論”闡述了一遍，有了“定義”和“定理”，對素數產生的原因和基本規律做了一個基本的描述。也有了幾個基本公式，但是它主要還是針對合數所講的，而素數在正整數中的分布規律闡述得還是不夠詳盡。

我們看到合數在正整數中有“合數項數列”、“合數項方程”和一個相對的“素數項公式”，但是沒有真對“素數數列”和“素數級數”的研究。素數等差數列和素數級數的連續性都是被“合數數列”打斷了。（這里必須注意，我所講的“合數項數列”與“合數數列”是有區別的。就是差一個“項”就是天壤之別，這一點讀我的文章時必須注意。）我們從最基本的起點講起，就是素數與合數產生的原因。我們才會看到“素數等差數列和素數級數”是如何產生的？是如何被“合數項數列”打斷的？我們使用的理論工具還是“正整數空間”。就是分別從正整數空間N+A至正整數空間6N+A中尋找規律和總結歸納。

這篇文章就是對《正整數空間》第一章的補充。

關于“定義”和“定理”之類的數學概念、數學語言和書寫格式等，我就不再去抽象的闡述和按規范的去做了。因為畢竟我不是數學專業的，一些數學上的“規范要求”和“標準用語”我還是外行。就像我們搞機電的或企業管理的，一些“語言”和概念是要求標準化的，要求使用“專業術語”。在數學上我所做的工作就是發現規律，把它闡述出來，讓感興趣的人們（最好是數學專業的）接著按數學語言的要求去完成。

其它行業都有“國家標準”，數學專業有沒有“國家標準”規范，我不知道。不過我個人覺得，數學的“定義”，“定理”應該有條件和要求。有些本身不是定理，不是嚴格意義上的命題，就不要歸屬為“定理”了。有些一旦形成了“公理”也不需要證明。而對于“定理”的證明也不是公式的“堆積”應該是步驟分明，引用的“證據”清晰。定理的證明不一定都是“數學公式的推導”，其它方法的證明也是可行的。

數學是思想，是一種數學思維，更是藝術品，它牽扯到了哲學和邏輯學。邏輯學不是數學，但是沒有邏輯“數學”也是一鍋漿糊，這一點必須注意。

讀下面的內容前，必須首先看懂和理解透上面的“正整數空間”的定義，才能夠繼續理解和看懂下面章節的內容。

一、素數數列和素數級數產生的原因

我們首先使用正整數空間的N+1數列，來研究素數和合數出現的原因。然后使用4N+A空間和其它KN+A空間，探討素數等差數列以及素數奇數產生的原因和規律。

1、素數以及合數出現的原因

我們假設現在的時空是空虛的，什么都沒有。從0點開始我們就是“無中生有”，那就是從0到1。從0到1之間有多個多維空間，現在我們僅僅是在“一維空間”里擴展。就是以1為單位，向無窮的遠方逐漸鋪滿單位為一的格子，就像火車鐵軌的枕木一樣。

自然數不但有數量的性質，如1、2、3……，還有序號順序的特性。我們把“格子”看成數量是1+1+……逐漸增多的，同時用一個“數字”1、2、3……來標識每一個格子里面的數量的多少。而每一個“數字”我們都標記一個序列號，就是0、1、2、3……。

見表格1，如下

N+1是“正整數空間”里面的“一維空間”，我們可以用等差數列公式表示

KN+A （公式 1.1）

其中，K是空間的維數，取值范圍 1、2、3……

N是項數，取值范圍 0、1、2、3……

A是空間里面等差數列的相位數。

比如 3N+A 空間。3是空間維數，N是項數，A是相位數，就是1、2、3。

就是由三個等差數列一組，3N+1、3N+2、3N+3代表全部正整數。

合數項數列不同于“正整數空間”的數列，這是兩個不同的概念。為了嚴格的區別開來，我們用等差數列公式表示

SK+n (公式1.2）

其中，S是正整數中的全部素數，取值是1、2、3、5、7……

K是項數，取值是1、2、3 ……

英文小寫n是 這個素數首次出現的合數的初始項。

比如 3K+2 ,K=1 n=5 3的合數是N+1=6。

注意，合數項數列不是“合數數列”，需要轉換一下。

一維正整數空間N+1的“合數項數列”如下，

1K+0

2K+1

3K+2

5K+4

7K+6……

SK+n

顯然正整數里面的合數都是以自己的素數為周期的。比如7的合數，14、21、28……

1我們定義成一個“單位”，但是它在不同的數學環境里既可以是素數，也可以是合數。

1的合數數列 1K+0 第一個1 我們就把它定義成素數。

這樣，從K=1 1XK=1X1開始 1、2、3……就都是1的合數。就是說全部正整數都是1的合數。

1后面出現了2，2是最小的偶數也是素數（注意奇數、偶數是我們人類自己規定），本質上講它與3、5、7……等素數的性質都一樣，都是不同“整整數空間”的維數K。

相位N=2時，此時也是一個它前面沒有被2的合數數列所覆蓋的位置，所以出現了一個新的素數3。

到這里我們就知道了：1是一個素數，以1為單位在一維空間里（可以是多維空間，需要分別去探討）擴展一個無限遠的數軸。每一個空格里都有兩個屬性，一個是數量；另一個就是順序號（項數N）。從1后面的格子2開始，也是把1的性質的重復一遍，不過它就是跳躍一個格子形成了以素數2為周期的合數項數列 2K+1 。在2的后面的一個格子，沒有被2的合數項數列所覆蓋，所以就用一個新的素數3來填充……，以此類推至無窮。這就是素數和合數產生的原因。

注意1我們一般定義成1個“單位”，在不同的數學環境里，它既可以是素數，也可以是合數。

2、素數數列和素數級數產生的初始原因

上面我們講了素數與合數產生的原因，下面我們講“素數等差數列和素數級數”產生的原因。

看下圖，表格2

看這個表格，如果假設“正整數中只有素數2和由它形成的合數”會出現什么情況？

此時新的素數和它們的合數，只能在表格的紅圈相位上出現。確切地說素數只能出現在帶紅圈的項數上。我們可以把這項的位置稱作“素數空穴”。

用一個“素數空穴”的等差數列表示就是

2H+2 （公式 1.3）

它得到的項數數列是2、4、6、8、10……

由假設我們可以得到，素數的等差數列是

S、S+2、S+4、S+6、S+8……

S、S+4、S+8、S+12、S+14……

取不同的項數就是素數級數。

S是某一素數數列的第一項的素數。由正整數的自然結構就注定了，各種素數等差數列的公差，只能是2、4、6、8……這些偶數。

由于后面還有大量的素數以及他們的合數出現，這些紅圈的項數上會有越來越多的合數出現。但是我們知道在正整數中的素數是有無窮多的，并且它們都有自己的周期，所以這些形式的素數等差數列和級數數列，雖然“密度會降低”但是數量都是無窮多的。

以上就是素數等差數列和素數級數產生的原因，在奇數里面形成了“素數空穴”，而這些素數空穴的位置是滿足等差數列 2H+2的，而新的素數的合數會逐漸打斷這個素數空穴數列的連續性。

這些素數等差數列和素數級數是如何被打間斷的？

二、素數空穴數列被打斷的原因

所有等差數列組都是無窮擴展的，素數及其它的合數，永遠都不會填滿正整數形成的“素數空穴”。

1、正整數空間4N+A圖形規律

現在我們使用正整數4N+A來探討素數空穴2H+2，是如何被素數3的合數打斷的。我們看下表，

首先我們把單位1形成的一維數軸，變成“四車道”。我們叫它“4維正整數空間”。由四個等差數列并行組成一組代表全部正整數。數列4N+1和數列4N+3是“奇數數列”，里面包含著正整數里面的全部素數。4N+2和4N+4包含著正整數中的全部偶數。

除1以外我們把它看成最原始的空間單位，假設我們現在就有兩個數2、3和它們形成的合數。表格里那些紅色的圓圈就是“素數空穴”，這里可能出現新的素數，也可能出現新素數形成的合數。但是有一點很明確：素數空穴總是多于素數的合數。這一點我們會逐漸的看到得到證明。這一條可以是一個“定理”。

看項數0、1、2與從縱向的4個等差數列形成的數字，它們組成了一個“單位”（這里我們不使用“集合論”的概念）。我們發現這個結構在4N+A空間里是固定的。后面的3、4、5項形成的結構與0、1、2項形成的單位是一樣的，僅僅是相差了12。就是說把第一個“紅框”全程的圖形看成是基礎的，是第一頁，那么它后面的紅框就是第二頁、第三頁……

用等差數列表示就是可以形成一個更大的數列組，12N+1至12N+12。這種擴展最早期投稿我進行過，可以形成一個“定義”。

任何一個等差數列組都可以無限的擴展和放大自己。

這個定義我感覺非常重要，它像宇宙大爆炸、生物的繁衍和電腦中的復制。這個問題我們在這里不做探討，我們需要的是這個由12個數字組成的“結構”它的性質是固定的。比如對角線是素數3和它們的合數。每一頁上的“素數空穴”的位置都是固定不變的。如果出現了新的素數，這些“素數空穴”來填充的。

我們問了：素數是有無窮多的，你這里就有3個空穴，夠用嗎？別著急，我說了：這些空間都是隨著新素數的出現可以無現擴展的，空間的擴展出現的新位置，遠遠大于新素數和它們的合數出現位置的需要。

說明上面這個問題之前，我們先看一看“素數等差數列”的變化。

在N+1空間時形成的“素數空穴等差數列”2H+2，現在被素數3和它的合數打斷了，只能有（S、S+2）這樣的素數對了或（S、S+4）這樣的孿生素數對了。這一點在表格上不用證明就可以看到。

下面我們用正整數空間6N+A來說明等差數列空間可以無限擴展的問題，這個問題說明了就證明孿生素數對猜想等一些列數論里面的古老難題。

2、正整數空間6N+A圖形規律

我們把單位1形成的一維數軸，變成“6車道”，看表格4

我們還是假設，正整數只有2、3、5以及它們形成的合數。這是我們看到“素數空穴數列”S、S+4被素數5和它的合數所打斷。這上面的“素數空穴”的位置也是固定不變的，以后還會被新的素數和它的合數繼續打斷。

但是我們看到“新素數出現及它的合數，都是落后于正整數空間擴展的。也就是正整數中的素數空穴永遠都不會被新素數和它們的合數填滿”。

這樣做表格我們會做到無窮多，但是沒有必要，我們已經清楚的看到了“素數等差數列”產生的原因及其他的規律了。至于“素數級數”僅僅是排列的問題，本質上與素數數列是相同的。

以上我就研究到這里。這一部分是對《正整數空間》一書，第一章的理論補充。當然我自己都不滿意，這些東西應該規范化，用“數學語言”來闡述。使用概念、公理、定義、定理和證明來論證，還有公式和習題。這些以后讓對此感興趣的數學專業人士們去完成吧，我這能做到這些了，已經完成了我自己的使命。對于第二章、第三章的內容我也不做整理了。

作為一個業余數學愛好者，做到這一步也是千古一人了。我所承受的壓力和打擊別人是體會不到的。

在東亞大地上，我是炎黃子孫，我對得起生我養我的這片土地了。我也為中華民族爭了光，爭了氣，我是問心無愧的，以后這個民族會因為我的出現而驕傲。

夕陽無限好，只是近黃昏。在燦爛的夕陽里，我坦然地走完我余生最后的一段路，微笑的走下去。

2025年3月22日星期六