本文轉載自普林斯頓讀書匯微信公眾號

（圖片來源于作者）

作為一個數學老師，我在上中學時候最喜歡看的是語文書，物理書和化學書里的一些實驗和歷史故事也蠻有意思，但最不喜歡數學書，因為實在是太枯燥了。

因此，當我一開始看到普林斯頓的這三本“厚厚的數學教材”的時候，我的第一反應是：這么厚的教材真的會有人看完嗎？

作者們背景都很牛：Banner（微積分）是普林斯頓博士，他的書就源于校內超火的微積分復習課，直擊學生痛點；Miller（概率論）是威廉姆斯學院教授、普林斯頓博士，致力讓復雜的概率論變得更易懂；Grinberg（數學分析）也是普林斯頓博士，在讀研時就以“過來人”的經驗為初學者導航。

看完我才覺得，作者確實用心了，這是一套不枯燥、“有意思”的數學教材。

很多讀者都有個錯覺，就是覺得書“越厚越難讀”，其實在數學教材上是反過來的。對于同樣的知識點，如果書寫的薄，那就需要讀者自己去彌補書中的很多知識點和思路之間的縫隙，這會給讀者帶來很多困難。

因此反而是厚書，讀起來比較連貫，不容易喪失學習的熱情。

作為一個從業多年的數學老師，我在選擇數學教材上也有我自己的幾個“核心標準”。

● 知識完整全面：不能把核心知識點藏在習題甚至省略不講；

●難點精準提示：在學生容易卡殼的推導或概念處，必須有清晰的解釋和引導，而不是作者“自嗨”；

●動機驅動學習：講解概念需有引入動機（數學美、應用、考試等），不能突兀地丟出定義，最好能聯系舊知，但避免泛泛而談的“偽科普”；

●硬核技能培養：必須包含扎實的計算、推導、證明等數學核心技能訓練，不能只是“名詞黨”。

當然很多時候很多教材“看起來”也符合上面的標準，至少在教材的前言里也會言之鑿鑿的說自己做到了以上種種。但往往學生讀完之后，發現實際上并不是那么回事兒之后，卻已經浪費了大量的時間閱讀。更有很多人因為一本爛教材直接放棄了學習數學。

因此知道什么是“爛教材”也很重要。爛教材一般有以下幾個特征：

1. “短小精悍”的迷思：過于簡潔的講義是給老師備課用的，不適合學生自學，跳躍性太大。學生直接第一頁就卡住，整個一個“微積分從入門到放棄”；

2. “天降符號”：對數學符號缺乏解釋（為何這樣寫？為何加粗/大寫？），默認讀者“應該懂”。錯失了通過命名加深理解的機會。很多數學符號的命名都有自己的道理和歷史淵源，即使教材不說清楚這些，也至少在引入的時候要有清晰的說明；

3. “防御性證明”的危害：數學證明中有一種證明叫“防御性證明”，就是能通過閱讀這個證明能夠確認需要證明的命題是對的。但是從這個證明中你完全無法得到對數學概念的深入理解，你也看不出來這個證明到底是怎么來的。

這個壞頭是高斯開的，數學家阿貝爾就吐槽過：“高斯就像一只狐貍，走過之后要用尾巴把自己的足跡抹掉?！?/strong>高斯自己也說“當一棟建筑物完成之后，就應該把腳手架拆除干凈”。問題是，如果數學論文這么寫是可以理解的，但是教科書也這么寫就有點太過分了，完全是不想讓學生學會。

Lifesaver 系列作為微積分、概率論和數學分析的銜接高中和大學的教材好在哪里呢？

首先是完美的契合了我前面提出的4條標準，并成功避開了剛才說的三個“大坑”。一些其他教材，過度強調“探索式教學”和“啟發式教學”，假設學生都是天才。有的教材上甚至連核心的公式都要等著學生“自己發現”，在實踐教學中，絕大多數學生如果沒有老師持續不斷的引導，根本不可能發現相關的結論。

還有的教材正式內容和習題難度脫節，直接讓學生“上課1+1，下課造飛機”。

Lifesaver 系列作為自學教材則十分友好，基本不需要老師，只要稍微花點時間，你也能一點一點把書看下去。接下來我會把這三本書每本書突出的亮點簡要的做個介紹。

微積分讀本：讀者友好的微積分入門書

《微積分讀本》(The Calculus Lifesaver):

● 視覺友好：大量清晰的圖像輔助理解。這本書里的圖像并不像很多教材一樣敷衍了事，而是作者有意要通過圖像讓學生對每一個概念和原理有清晰地直覺認識。這能幫助很多學生在入門的時候少走很多彎路。即使最簡單的函數，作者也會放張圖進去，幫你“零基礎入門”。

（圖：P620 例如積分求體積的殼方法中，形象的圖片能夠幫助學生快速把握積分方法的本質）

● 步步為營：計算推導過程極其詳盡，每一步都有解釋，杜絕初學者常見的“卡殼點”。學數學最重要的就是推導和過程。這本書的過程講解可謂完全是“防御性證明”的反面，每一步作者都會把他的推導思路掰開揉碎了給你講：

“我們現在得到了一個XXX的東西，這個時候我們可以XXX，或許我們也可以XXX，或許你覺得我們需要XXX，那我們不妨試試XXX”

（圖：P665 在講解微分方程推倒思路之前會用用很大篇幅講解基本思路，并且在之后的每一步推導過程都有詳細解釋。讓學生能夠一步一步跟著教材的思路把題目做出來。）

● 概念透徹：以自然對數e的講解為例，很多教材才提到e的時候都一筆帶過，直接說明e被定義為“自然對數”的底，但是關于這個“自然”對數到底自然在哪里卻沒有明確說明。很多同學稀里糊涂把高中數學和大學的微積分都學完了，也不知道這個e到底是怎么來的。

而這本書里則很自然地從利息的無限分割引入了e,讓初學者也能對e 有一個良好的把握。

（圖：P173 本書自然地從利息的無限分割引入了自然對數的概念）

● 結構清晰易跟：書籍版式設計（如游泳圈、海浪圖標）引導閱讀，章節劃分明確（例題、概念）。

每個部分都清晰地標注了“游泳圈”，來劃分各個不同的知識點，在書的一開始還有明確的知識點結構說明，每個知識模塊相對獨立，即使學生學習的順序和書不一樣，也可以根據表格跳著看，選擇適合他自己進度的內容。

（圖：清晰的知識點結構讓學生即使學習順序不同，也能很方便的找到書中的講解材料）

● “無習題”設計：將練習融入正文并詳盡解答，特別適合自學。當然，這也是這本書這么厚的原因。但是如果想把微積分學好，除非你天賦異稟，或者已經學過了，不然讀這本書并不會讓你浪費時間。反而是一些沒那么厚的書，可能你要耗費大量的時間在一些在一些練習題上。

概率論讀本：豐富詳實的概率論教參

《概率論讀本》(The Probability Lifesaver):

● 符號釋義：會解釋關鍵符號的含義與用法。

● 理論與實踐結合：包含 Mathematica 代碼，展示概率論的應用，對做項目（如IB數學IA）的學生很有幫助。

● 例證豐富詳實：大量例子支撐概念講解，文字解釋遠超公式量，但保持了數學嚴謹性，通過流暢閱讀促進理解。

（圖：針對不同概念給出大量例子，并且每個例子都有多種解法）

● 難度匹配：書中題目與例題難度相當，避免了難度陡增。

數學分析讀本：非“防御性”證明范本

《數學分析讀本》(The Real Analysis Lifesaver):

● 獨特的“填空題”：針對數學分析入門難點（證明書寫），設計了填空形式的練習，引導學生理解和構建證明。很多數學分析教材可課后習題的部分都是直接留證明題，但對于證明思維較弱的高中生和剛上大學的大學生來說，單獨寫出一個證明可能是非常困難的。因此這樣能讓初學者更好地參與到證明過程中來。

● 重視直觀：配備了較多數學分析教材更多的圖像，輔助理解抽象概念和證明思路。這本書也秉承Lifesaver 一貫的思路，重視對數學步驟的解釋，并且相比于其他的數學分析書，即使是簡單的步驟也配套了很多插圖。

● 非“防御性”證明：強調解釋證明思路的來龍去脈，而非僅僅給出最終證明。

● 定位清晰：作者在前言中明確指出，本書是優秀的入門和橋梁書，但數學專業深入學習仍需搭配更形式化、更“硬核”的教材（如Rudin）。這本書也在序言中提到了這一點，想要成為數學分析學的非常優秀的人，只靠這本書是不行的，如果用來入門，這本書當然是首選。

普林斯頓“Lifesaver”系列：哪些讀者不容錯過？

首先，我特別推薦給國內高二、高三的優秀高中生。無論你是在準備 A-Level、AP 還是 IB 體系的考試，微積分都是高中階段一個非常重要的知識模塊。特別是如果你計劃報考AP微積分BC或者AP統計學，那么《微積分讀本》和《概率論讀本》這兩本書將是非常對口的學習資源。這和國內體制內教學有所不同，體制內課程對微積分的重視程度和深度可能有所不及。通過這套書，你可以系統且深入地掌握微積分及相關知識。如果你的英語水平足夠好，甚至在初中畢業后就可以開始嘗試閱讀，你并不會覺得節奏過快，只要認真投入，完全能夠讀懂。

當然，這套書對于剛剛步入大學，尤其是第一次系統接觸微積分等高等數學知識的大學生們來說，同樣具有極高的參考價值。它能夠幫助你平穩過渡，打下堅實的基礎。不過，需要明確的是，以《微積分讀本》為例，它作為一本相對入門的優秀教材，如果你是理工科等對數學應用要求較高的專業學生，單靠這本書可能不足以讓你迅速解答各類復雜的習題。但用它來鞏固和深化對基本概念、定理的理解，那是完全沒有問題的。

此外，對于所有對數學抱有學習熱情和探索興趣的社會公眾和自學者，只要你的英語閱讀能力過關，這三本書——《微積分讀本》、《概率論讀本》以及《數學分析讀本》——都將是極佳的入門選擇，助你系統地進入這些迷人的數學分支。

最后，關于英語水平，閱讀這套書確實對英語的流暢度有一定基本要求。但這并不意味著你需要擁有多么龐大的詞匯量。數學專業詞匯相對固定，來來回回可能也就幾百個核心詞匯，稍微用心記憶和熟悉，比如掌握二三百個常用詞，就足以應對閱讀。而且，對于許多未來有志于出國留學深造的同學來說，閱讀原版教材本身就是一次非常寶貴的專業英語訓練機會。

告別“一看就困”，擁抱更友好的數學思維

綜上所述，普林斯頓“Lifesaver”這套系列教材，完美契合了我多年教學經驗中總結出的“好教材”標準，并且成功避開了那些常見于不良教材的缺陷與“雷區”。

當然，世界上沒有哪一本書是面面俱到、包治百病的“萬用藥”。這套書也不例外。但是，如果你希望在微積分、概率論或數學分析這三個領域選擇一套入門或初步學習的教材，那么我認為普林斯頓的這三本“Lifesaver”是非常合適的選擇。特別是對于自學者而言，我可以毫不夸張地說，這套書就是最合適的，沒有之一。

我真誠地希望，通過閱讀這套書，能有更多的學習者擺脫對數學“一看就困”的刻板印象，不再視其為畏途，而是能真正從中感受到樂趣，拓展自己的數學思維，體會到數學學科的內在魅力與強大力量。

*本文部分插圖選自The Calculus Lifesaver: All the Tools You Need to Excel at Calculus，The Probability Lifesaver: All the Tools You Need to Understand Chance，The Real Analysis Lifesaver: All the Tools You Need to Understand Proofs三本書的內頁

作者：朱繼川，香港科技大學數學經濟專業，

資深AP/A-Level數學教師，專注國際課程教學